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Laquelle des expressions suivantes est équivalente à cosinus trois 𝜃? Proposition (A) cosinus cube 𝜃 moins trois cosinus 𝜃 fois sinus carré 𝜃. Proposition (B) un moins sinus cube 𝜃. Proposition (C) cosinus cube 𝜃 plus trois cosinus 𝜃 fois sinus carré 𝜃. Proposition (D) cos cube 𝜃 moins trois fois cosinus carré 𝜃 fois sinus 𝜃. Ou la proposition (E) cosinus cube 𝜃 plus trois fois cosinus carré 𝜃 multiplié par sinus 𝜃.
Dans cette question, il faut trouver une expression égale au cosinus de trois 𝜃. Et il existe plusieurs moyens d’en trouver une. Par exemple, on pourrait écrire que c’est cosinus deux 𝜃 plus 𝜃, puis utiliser la formule d’addition d’angles pour le cosinus. On pourrait ensuite utiliser la formule du cosinus d’un angle double, et en déduire une expression de cosinus de trois 𝜃. On pourrait effectivement procéder ainsi et trouver la bonne réponse. Donc, c’est une méthode qu’on pourra utiliser. Cependant, il existe une deuxième méthode. La raison pour laquelle nous utilisons la deuxième méthode est qu’elle est bien plus facile à utiliser pour des coefficients plus élevés de 𝜃.
Pour utiliser cette méthode, rappelons d’abord la formule de Moivre. Une version de la formule de Moivre indique que pour tout entier 𝑛 et réel 𝜃, le cosinus 𝜃 plus 𝑖 sinus 𝜃 le tout élevé à la puissance 𝑛 est égal au cosinus 𝑛𝜃 plus 𝑖 sinus de 𝑛𝜃. Et c’est particulièrement utile pour trouver des formules sur les angles impliquant le cosinus et le sinus. Par exemple, dans cette question, on cherche une expression du cosinus de trois 𝜃. Du côté droit de l’expression, on a le cosinus 𝑛𝜃. Posons donc 𝑛 égale trois.
On voit que le cosinus 𝑛𝜃 du côté droit de l’expression est la partie réelle de l’expression et que le sinus 𝑛𝜃 est la partie imaginaire de l’expression. On peut donc utiliser cela pour trouver une expression du cosinus de trois 𝜃. On va donc inverser les deux côtés de l’équation et poser 𝑛 égale trois. On obtient cosinus trois 𝜃 plus 𝑖 sinus trois 𝜃 égale à cosinus 𝜃 plus 𝑖 sinus 𝜃, le tout au cube. Maintenant, simplifions le côté droit de l’expression. On voit que c’est la somme de deux valeurs le tout élevées à un exposant. Il s’agit d’un binôme. Donc, pour développer cette expression, nous allons utiliser la formule du binôme de Newton.
Rappelons que d’après cette formule, pour un entier positif 𝑚, 𝑎 plus 𝑏 le tout élevé à la puissance 𝑚 est égal à la somme pour 𝑘 allant de zéro jusqu’à 𝑚 de C m k fois 𝑎 puissance 𝑘 multiplié par 𝑏 puissance 𝑚 moins 𝑘. En l’appliquant à cosinus 𝜃 plus 𝑖 sinus 𝜃 le tout au cube, on obtient C trois zéro fois cosinus cube 𝜃 plus C trois un fois cosinus carré 𝜃 multiplié par 𝑖 sinus 𝜃 plus C trois deux multiplié par cosinus 𝜃 fois 𝑖 sinus 𝜃 le tout au carré plus C trois trois multiplié par 𝑖 sinus 𝜃 le tout au cube.
On peut maintenant simplifier chaque terme de cette expression séparément. Premièrement, C trois zéro est égal à un. Donc, le premier terme est simplement cosinus cube 𝜃. Dans le terme suivant, C trois un est égal à trois. Rappelez-vous qu’il y a un facteur 𝑖, on peut donc réécrire cela trois 𝑖 cosinus carré 𝜃 fois sinus 𝜃. Dans le troisième terme, C trois deux est égal à trois. On peut développer les parenthèses au carré, on obtient 𝑖 au carré fois sinus carré 𝜃. Mais rappelons-nous que 𝑖 est la racine carrée de moins un. Donc, 𝑖 au carré est égal à moins un.
On peut donc simplifier le troisième terme pour obtenir moins trois cosinus 𝜃 multiplié par sinus carré 𝜃. Et on peut procéder de façon similaire avec le quatrième et dernier terme. C trois trois est égal à un et on peut développer le cube et simplifier, ce qui donne moins 𝑖 sinus cube 𝜃. Rappelez-vous, d’après la formule de Moivre, tout ceci est égal à cosinus trois 𝜃 plus 𝑖 sinus trois 𝜃. Et, on cherche une expression de cosinus trois 𝜃, ce qui correspond à la partie réelle du membre gauche de cette équation.
On peut donc en déduire une expression de cosinus trois 𝜃 en prenant simplement la partie réelle du membre droit de l’équation. Il s’agit de tous les termes qui n’ont pas de facteur 𝑖. Ce qui donne cosinus trois 𝜃 égale cosinus cube 𝜃 moins trois cosinus 𝜃 fois sinus carré 𝜃, ce qui correspond à la proposition (A). Dans cette question, nous avons donc utilisé la formule de Moivre pour trouver une expression de cos trois 𝜃. Nous avons trouvé cosinus cube 𝜃 moins trois cosinus 𝜃 fois sinus carré 𝜃, ce qui correspond à la proposition (A).
