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Déterminez l’ensemble des solutions de 𝑥 plus 17 sur 𝑥 égale six dans l’ensemble des réels, en donnant les valeurs au dixième près.
Rappelons que toute équation du second degré de la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes et 𝑎 est non nul, peut se résoudre à l’aide de la formule quadratique. À savoir, 𝑥 égale moins 𝑏 plus ou moins racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐, le tout divisé par deux 𝑎.
La première étape de cet exercice est de réécrire l’équation 𝑥 plus 17 sur 𝑥 égale six pour la mettre sous la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro. Multiplions d’abord chacun des termes par 𝑥. 𝑥 multiplié par 𝑥 est égal à 𝑥 au carré. 17 sur 𝑥 multiplié par 𝑥 est égal à 17. Du côté droit, six multiplié par 𝑥 est égal à six 𝑥.
Ensuite, retranchons six 𝑥 de chaque côté de l’équation. On obtient l’équation du second degré 𝑥 au carré moins six 𝑥 plus 17 égale zéro. Les constantes 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont égales à un, moins six et 17, respectivement. En utilisant ces valeurs dans la formule quadratique, on trouve 𝑥 égale moins moins six plus ou moins racine carrée de moins six au carré moins quatre multiplié par un multiplié par 17 le tout divisé par deux fois un. Le carré de moins six est 36. Le produit de quatre, un et 17 donne 68. Deux fois un égale deux. 𝑥 est donc égal à six plus ou moins racine carrée de 36 moins 68 le tout divisé par deux. Sous la racine carrée, 36 moins 68 égale moins 32.
On nous demande les solutions dans l’ensemble des nombres réels. Or, on sait que la racine carrée d’un nombre négatif ne donne aucune solution réelle. Cela veut dire qu’il n’y a pas de solutions réelles à la racine carrée de moins 32. Cela implique que l’équation 𝑥 plus 17 sur 𝑥 égale six n’a aucune solution dans l’ensemble des nombres réels. La réponse est donc l’ensemble vide.
