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Vidéo de la leçon : Résoudre des équations du second degré : formule des racines du polynôme de second degré Mathématiques

Dans cette vidéo, on va apprendre à résoudre des équations du second degré en utilisant la formule des racines du polynôme de second degré.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, on va apprendre à résoudre des équations du second degré en utilisant la formule des racines du polynôme de second degré. Il s’agit d’une formule générale qu’on peut appliquer pour trouver les solutions à certains types d’équations du second degré. Soit l’équation du second degré générale 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes, c’est-à-dire de simples nombres et 𝑎 est non nul. Si 𝑎 était nul, il ne s’agirait en effet que d’une équation linéaire. La formule des racines du second degré nous dit que les solutions à cette équation, si elles existent, sont 𝑥 égale moins 𝑏 plus ou moins racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 sur deux 𝑎.

J’ai bien précisé « si elles existent » car certaines équations du second degré n’ont en fait aucune solution réelle. Et essayer d’utiliser cette formule dans ce cas ne fonctionnera pas. Pouvez-vous voir dans la formule pourquoi cela pourrait être le cas ? Eh bien, on peut voir que la formule inclut la racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐. Et on sait également que chaque fois qu’on applique une racine carrée, la valeur à l’intérieur de la racine doit être positive ou nulle. Donc, si l’expression sous la racine carrée, c’est-à-dire 𝑏 carré moins quatre 𝑎𝑐, s’avérait strictement négative, nous essayerions de calculer la racine carrée d’une valeur négative, ce qui n’est pas possible. Mais cela ne doit pas vous préoccuper pour le moment car les équations du second degré que vous serez invité à résoudre à ce niveau n’auront pas ce problème. Si vous continuez à étudier les mathématiques à un niveau supérieur, vous examinerez cependant cela plus en détail.

Si vous souhaitez en savoir plus sur l’origine de cette formule, elle peut être démontrée en réorganisant l’équation 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro pour isoler 𝑥. J’ai noté ici les premières étapes de cette démonstration. La première étape clé est de factoriser par 𝑎. C’est-à-dire par le coefficient de 𝑥 carré. Et, comme nous l’avons dit, 𝑎 doit être différent de zéro. On peut alors diviser les deux membres de l’équation par ce facteur. La prochaine étape est de compléter le produit remarquable. Et j’ai noté ici la première ligne de calculs. Si vous êtes prêt pour un challenge, terminer cette méthode est un excellent exercice pour mettre en application vos compétences en algèbre.

Il est également important de souligner que même si une équation du second degré peut être résolue par factorisation, la formule des racines du second degré fonctionne toujours et donnera exactement le même résultat. Bien qu’elle implique probablement plus de calculs et soit plus sujette aux erreurs. La formule des racines du second degré est particulièrement utile lorsqu’une équation du second degré ne peut pas être facilement factorisée. L’objectif de cette vidéo est que vous gagniez en confiance dans l’application de cette formule. Selon le pays dans lequel vous habitez et les exigences de vos enseignants, vous serez certainement amené à devoir apprendre cette formule par cœur. Ne vous inquiétez pas si elle semble un peu effrayante à ce stade. Plus vous l’utiliserez, plus elle deviendra naturelle. Et vous serez surpris de la rapidité avec laquelle vous l’apprendrez. Vous avez encore des doutes ? Eh bien, essayons quelques exemples.

Déterminez l’ensemble des solutions à l’équation cinq 𝑥 carré moins sept 𝑥 moins 32 égale zéro, en donnant les valeurs au millième près.

On a donc une équation du second degré et on doit déterminer son ensemble des solutions, ce qui est juste une autre façon de demander de résoudre l’équation. Et il est indiqué qu’on doit donner des valeurs au millième près. C'est donc un indice important que l'équation du second degré donnée ne pourra pas être résolue par factorisation. On doit donc utiliser une autre méthode. C’est à ce moment qu’on doit faire appel à la formule des racines du second degré, qu’on doit s’assurer de connaître par cœur. La formule des racines du second degré nous dit que pour l’équation du second degré générale 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro. L’ensemble de solutions ou les racines de cette équation, si elles existent, sont 𝑥 égale moins 𝑏 plus ou moins racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 sur deux 𝑎.

Pour appliquer cette formule, on doit donc déterminer les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐. 𝑎 est le coefficient de 𝑥 carré. Donc, pour cette équation, 𝑎 égale cinq. 𝑏 est le coefficient de 𝑥. Donc, 𝑏 égale moins sept. Et on doit s’assurer de bien inclure le signe moins. 𝑐 est le terme constant. Dans notre équation, il est égal à moins 32. Maintenant, tout ce qu’on doit faire est de substituer ces valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 dans la formule des racines du second degré. On a donc 𝑥 égale moins 𝑏, c’est-à-dire moins moins sept, plus ou moins racine carrée de 𝑏 au carré, donc moins sept au carré, moins quatre 𝑎𝑐, c’est-à-dire moins quatre fois cinq fois moins 32. Et le tout sur deux 𝑎. Soit deux fois cinq. Vous pouvez décomposer la formule en étapes si vous le souhaitez, ou vous pouvez remplacer directement les valeurs dans la formule. Mais vous devez être très prudent pour cela.

Simplifions un peu tout ça. On a moins moins sept. Ce qui fait sept. Et au dénominateur, deux fois cinq égale 10. Regardons maintenant la racine carrée. Tout d’abord, moins sept au carré égale 49. Si vous utilisez une calculatrice pour vous aider, vous devez être prudent avec ce que vous tapez pour ne pas commettre d’erreur. Certaines personnes tapent en effet à tort moins sept carré dans leur calculatrice comme je l’ai écrit en orange ici.

Dans ce cas, la calculatrice donne un résultat de moins 49, mais cela ne signifie pas que la calculatrice a fait une erreur. Cela signifie que la formule tapée dans la calculatrice est fausse. Moins sept carré signifie moins un fois sept au carré. Et en suivant l’ordre standard des opérations, on applique les exposants ou puissances avant la multiplication. Ainsi, moins sept carré signifie moins un fois sept au carré, ce qui fait moins un fois 49, soit moins 49. Ce qu’il faut taper dans la calculatrice est en fait moins sept entre parenthèses au carré. Cela garantit alors que la calculatrice prend d’abord une valeur négative, puis la met au carré. C’est une erreur vraiment courante et vous devez vous assurer d’être attentif à cela.

En continuant sous la racine carrée, on soustrait quatre fois cinq fois moins 32. Et quatre fois cinq fois moins 32 égale moins 640. On soustrait donc moins 640, ce qui revient à ajouter 640. Encore une fois, vous devez être très prudent avec les signes négatifs ici. En simplifiant sous la racine carrée, 49 plus 640 égale 689. On a donc 𝑥 égale sept plus ou moins racine carrée de 689 sur 10.

Et les valeurs doivent être exprimées sous forme décimale, on va donc maintenant utiliser une calculatrice pour évaluer ces deux expressions. La première racine ou valeur de notre ensemble de solutions est sept plus racine carrée de 689 sur 10, ce qui est égal à 3,32488. La deuxième racine ou deuxième valeur de l’ensemble de solutions est sept moins racine carrée de 689 sur 10. Et cela est égal à moins 1,92488. On doit donner les valeurs au millième près et dans les deux cas, la quatrième décimale est un huit. On arrondit donc au millième supérieur. On peut alors donner nos deux racines en notation d’ensemble. L’ensemble de solutions de cette équation est 3,325, moins 1,925.

Les étapes importantes de cette question étaient donc d’identifier correctement les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 de l’équation du second degré, y compris leurs signes, puis de travailler prudemment avec les signes lors de l’application de la formule des racines du second degré. Dans le prochain exemple, on va voir comment appliquer la formule des racines du second degré à une équation qui peut ne pas ressembler à une équation du second degré au premier abord.

Déterminez l’ensemble de solutions à l’équation deux 𝑥 moins cinq égale six sur 𝑥, en donnant les valeurs au millième près.

À première vue, il n’est peut-être pas évident de savoir comment résoudre cette équation car elle implique un terme inverse, six sur 𝑥. Il y a cependant une astuce qu’on doit repérer : si on multiplie la totalité de l’équation par 𝑥, cela élimine la fraction. Sur le membre gauche, on a 𝑥 fois deux 𝑥 moins cinq. Et sur le membre droit, 𝑥 fois six sur 𝑥. On peut distribuer ou développer les parenthèses sur le membre gauche pour obtenir deux 𝑥 carré moins cinq 𝑥. Et sur le membre droit, 𝑥 fois six sur 𝑥 se simplifie par six. On a ainsi éliminé la fraction. On voit maintenant qu’on a une équation du second degré. Notre prochaine étape consiste donc à rassembler tous les termes sur le même membre.

On soustrait alors six à chaque membre de l’équation, ce qui donne deux 𝑥 carré moins cinq 𝑥 moins six égale zéro, qui est une équation du second degré dans sa forme générale. On pourrait maintenant effectuer une vérification rapide pour voir si cette équation du second degré peut être résolue par factorisation. Mais comme la question demande de donner la solution au millième près, cela nous indique que ce n’est pas possible. On doit donc appliquer la formule des racines du second degré à la place. Elle nous dit que pour l’équation du second degré générale 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro. L’ensemble de solutions ou les racines de cette équation du second degré sont 𝑥 égale moins 𝑏 plus ou moins racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 sur deux 𝑎.

Il est important de rappeler que la formule des racines du second degré s’applique uniquement aux équations où tous les termes sont sur un membre et où l’autre membre est égal à zéro. Pour identifier les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 à substituer dans la formule, on doit donc utiliser notre équation du second degré sous sa forme réarrangée et non sous sa forme antérieure de deux 𝑥 carré moins cinq 𝑥 égale six. Si on utilise la forme antérieure, alors le signe de 𝑐 serait incorrect, ce qui conduirait à une réponse fausse. Déterminons donc les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 pour cette équation du second degré. 𝑎 est le coefficient de 𝑥 carré. Il est égal à deux. 𝑏 est le coefficient de 𝑥, qui est égal à moins cinq. Enfin, 𝑐 est le terme constant, qui est égal à moins six. N’oubliez pas qu’on doit inclure le signe de ces coefficients.

On doit ensuite substituer soigneusement les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 dans la formule des racines du second degré. On a 𝑥 égale moins 𝑏, c’est-à-dire moins moins cinq, plus ou moins racine carrée de 𝑏 au carré, soit moins cinq au carré, moins quatre 𝑎𝑐, qui est moins quatre fois deux fois moins six, le tout sur deux 𝑎, ce qui est égal à deux fois deux. On peut à présent simplifier en faisant très attention aux signes négatifs. Moins moins cinq est simplement égal à cinq. Et au dénominateur, deux fois deux font quatre. Sous la racine carrée, moins cinq au carré égale 25.

Faites très attention ici, surtout si vous utilisez une calculatrice. Une erreur courante est de l’écrire comme moins 25. On soustrait ensuite quatre fois deux fois moins six. Donc, on soustrait moins 48. Sous la racine carrée, 25 moins moins 48 équivaut à 25 plus 48, soit 73. On a donc 𝑥 égale cinq plus ou moins racine carrée de 73 sur quatre. Et il s’agit de la réponse exacte sous forme de fraction.

La question nous demande cependant de donner nos valeurs au millième près. On doit donc les évaluer avec une calculatrice. La première valeur est 𝑥 égale cinq plus racine carrée de 73 sur quatre, soit 3,38600. La deuxième valeur est cinq moins racine carrée de 73 sur quatre, soit moins 0,88600. Arrondir ces valeurs au millième près donne alors l’ensemble de solutions 3,386, moins 0,886.

Il y a deux points importants à retenir de cette question. Tout d’abord, on doit s’assurer que notre équation du second degré est sous la forme correcte, avec tous les termes sur le même membre gauche de l’équation, avant d’identifier les coefficients 𝑎, 𝑏 et 𝑐. De plus, on doit être très prudents avec les valeurs négatives à substituer dans la formule des racines du second degré. Prenons un dernier exemple, qui révélera quelque chose d’intéressant sur la relation entre la somme des racines d’une équation du second degré et ses coefficients.

La somme des racines de l’équation quatre 𝑥 carré plus 𝑘𝑥 moins quatre égale zéro est égale à moins un. Déterminez la valeur de 𝑘 et l’ensemble de solutions de l’équation.

On cherche tout d’abord la valeur de 𝑘, qui est un coefficient inconnu dans cette équation du second degré. C’est le coefficient de 𝑥. On va pour cela devoir utiliser la formule des racines du second degré pour trouver les expressions des racines de cette équation, qui seront en fonction de 𝑘. Et on rappelle que pour l’équation du second degré générale 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro, ses racines sont 𝑥 égale moins 𝑏 plus ou moins racine carrée de 𝑏 carré moins quatre 𝑎𝑐 sur deux 𝑎.

Déterminons donc les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 pour cette équation du second degré, qui est sous la forme correcte avec tous les termes sur le même membre. La valeur de 𝑎 est le coefficient de 𝑥 carré. Donc 𝑎 égale quatre. La valeur de 𝑏 est le coefficient de 𝑥. Donc 𝑏 est égal à la valeur inconnue 𝑘. Et la valeur de 𝑐 est le terme constant, donc 𝑐 égale moins quatre. En substituant dans la formule des racines du second degré, on a 𝑥 égale moins 𝑘 plus ou moins racine carrée de 𝑘 au carré moins quatre fois quatre fois moins quatre sur deux fois quatre. Au dénominateur, deux fois quatre font huit. Et sous la racine carrée, quatre fois quatre fois moins quatre égale moins 64. Et soustraire moins 64 revient à ajouter 64. On a donc moins 𝑘 plus ou moins racine carrée de 𝑘 au carré plus 64 sur huit.

La question donne une autre information clé : la somme des racines de cette équation est égale à moins un. En additionnant alors les expressions des deux racines, on a l’équation qui s’affiche. Comme ces deux fractions ont un dénominateur commun de huit, on peut en fait les combiner en une seule fraction. Et on remarque alors qu’elle peut être grandement simplifiée. On a plus racine carrée de 𝑘 au carré plus 64, et moins racine carrée de 𝑘 au carré plus 64. Donc, ces deux termes s’annulent. On se retrouve avec l’équation beaucoup plus simple moins deux 𝑘 sur huit égale moins un, que l’on peut résoudre en multipliant par huit et en divisant par moins deux pour obtenir 𝑘 égale quatre.

En fait, cela illustre un résultat général et vraiment utile. Lorsque on a additionné les deux racines, les racines carrées se sont simplifiées en raison de leurs signes opposés. La contribution de chaque racine à la somme était donc uniquement de moins 𝑏 sur deux 𝑎. On a donc additionné deux fois cette valeur, ce qui a donné moins deux 𝑏 sur deux 𝑎, et qui s’est simplifié pour avoir moins 𝑏 sur 𝑎. Dans notre cas, on a trouvé que 𝑘 égale quatre. La valeur de 𝑏 dans notre équation du second degré est donc quatre. Ainsi, moins 𝑏 sur 𝑎 donne moins quatre sur quatre, ce qui est égal à moins un, la valeur correcte de la somme des racines. On a ainsi démontré qu’en général, la somme des racines d’une équation du second degré est égale à moins 𝑏 sur 𝑎. Et il s’agit d’une propriété générale connue.

Maintenant qu’on connaît déjà la valeur de 𝑘, on doit déterminer les valeurs de 𝑥. On a moins quatre plus ou moins racine carrée de quatre au carré plus 64 sur huit. Et cette racine carrée peut être simplifiée. Racine carrée de 80 égale quatre racine carrée de cinq. On peut alors diviser par le facteur commun quatre pour obtenir les solutions simplifiées moins un plus ou moins racine carrée de cinq sur deux. Et on a ainsi terminé l’exercice. La valeur de 𝑘 est quatre et l’ensemble de solutions à l’équation sous forme exacte est moins un moins racine carrée de cinq sur deux, moins un plus racine carrée de cinq sur deux.

Résumons à présent ce qu’on a appris dans cette vidéo. La formule des racines du second degré peut être utilisée pour résoudre des équations du second degré de la forme 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro. L’ensemble de solutions ou les racines de cette équation, si elles existent, sont 𝑥 égale moins 𝑏 plus ou moins racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 sur deux 𝑎. Dans le dernier exemple, on a également vu que la somme des racines de l’équation du second degré 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro est égale à moins 𝑏 sur 𝑎, et il s’agit d’un résultat général.

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