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Fiche explicative de la leçon : Résoudre des équations du second degré : formule des racines du polynôme du second degré Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment résoudre des équations du second degré en utilisant la formule des racines du polynôme du second degré.

Rappelons qu’une équation du second degré est une équation à une variable, où l’ordre le plus élevé pour un terme est 2. Cela est rendu plus explicite dans la définition ci-dessous.

Définition : Équation du second degré

L’équation 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎0, 𝑥 est la variable et 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes, est appelée équation du second degré.

Pour résoudre des équations du second degré, nous pouvons utiliser les méthodes suivantes:

  • Factoriser
  • La complétion du carré
  • Utiliser la formule des racines du polynôme du second degré
  • Résoudre graphiquement

Jusqu’à présent, nous avons appris la factorisation et la méthode de complétion du carré. Nous utiliserons la complétion du carré pour déterminer la formule des racines du polynôme du second degré, qui est la méthode sur laquelle nous nous concentrerons dans cette fiche explicative.

Si nous avons une équation du second degré de la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎0, 𝑥 est la variable et 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes, alors par la méthode de la complétion du carré, nous pouvons réarranger l’équation et déterminer 𝑥 comme suit.

Premièrement, nous allons diviser par 𝑎 chaque membre afin de rendre unitaire le terme en 𝑥:𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0𝑥+𝑏𝑎𝑥+𝑐𝑎=0.

Ensuite, nous allons soustraire 𝑐𝑎 à chaque membre:𝑥+𝑏𝑎𝑥=𝑐𝑎

Ensuite, pour former un carré parfait, nous allons ajouter 𝑏2𝑎 à chaque membre:𝑥+𝑏𝑎𝑥+𝑏2𝑎=𝑐𝑎+𝑏2𝑎.

Étant donné que le membre de gauche de l’équation est sous la forme 𝑥+2𝑑𝑥+𝑑, un carré parfait, alors on peut écrire ceci comme (𝑥+𝑑):𝑥+𝑏2𝑎=𝑐𝑎+𝑏2𝑎.

Ensuite, nous allons réorganiser afin d’isoler 𝑥. Premièrement, on prend la racine carrée de chaque membre (en prenant les racines carrées positive et négative):𝑥+𝑏2𝑎=𝑐𝑎+𝑏2𝑎𝑥+𝑏2𝑎=±𝑐𝑎+𝑏2𝑎.

Ensuite, nous isolons 𝑥:𝑥=𝑏2𝑎±𝑐𝑎+𝑏2𝑎.

Nous simplifions ensuite en développant les parenthèses dans la racine et en réarrangeant légèrement:𝑥=𝑏2𝑎±𝑏2𝑎𝑐𝑎=𝑏2𝑎±𝑏4𝑎𝑐𝑎.

On peut maintenant écrire toute l’expression sous la racine sur un dénominateur commun:𝑥=𝑏2𝑎±𝑏4𝑎4𝑎𝑐4𝑎=𝑏2𝑎±𝑏4𝑎𝑐4𝑎.

Étant donné que le dénominateur dans la racine est un carré parfait, alors nous pouvons prendre la racine de ce carré et l’écrire à l’extérieur de la racine:𝑥=𝑏2𝑎±𝑏4𝑎𝑐2𝑎.

En combinant les deux termes, étant donné qu’ils ont le même dénominateur, on obtient 𝑥=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎.

Donc, sous sa forme finale, 𝑥=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎 est la formule des racines du polynôme du second degré, qui est utilisée pour calculer les solutions des équations du second degré 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎0. Ceci est indiqué dans la définition ci-dessous.

Définition : Formule des racines du polynôme du second degré

Pour résoudre une équation du second degré sous la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎0, 𝑥 est la variable et 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes, nous pouvons utiliser dans la formule des racines du polynôme du second degré pour calculer 𝑥:𝑥=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎.

Chaque fois que nous voulons utiliser la formule des racines du polynôme du second degré, nous devons nous assurer que notre équation du second degré est égale à zéro, écrite sous forme développée et réduite autant que possible, de sorte qu’elle soit sous la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎0. Ensuite, nous devons identifier chaque valeur de 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Après cela, nous pouvons substituer dans la formule des racines du polynôme du second degré et calculer 𝑥. Il y a habituellement deux valeurs de 𝑥, correspondant aux racines carrées positive et négative de 𝑏4𝑎𝑐, mais parfois, il n’existe qu’une seule solution voire aucune, selon les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐.

Nous verrons comment résoudre une équation du second degré qui est déjà sous la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎0 dans notre premier exemple.

Exemple 1: Résoudre des équations du second degré en utilisant la formule des racines du polynôme du second degré

Déterminez l’ensemble solution de l’équation 6𝑥8𝑥+1=0, en donnant les valeurs au centième près.

Réponse

Puisque 6𝑥8𝑥+1=0 est une équation du second degré, alors nous pouvons utiliser l’une des méthodes pour résoudre les équations du second degré. Dans ce cas, nous allons utiliser la formule des racines du polynôme du second degré pour résoudre cette équation. Rappelons que pour une équation du second degré sous la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎0, alors 𝑥=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎.

Comme 6𝑥8𝑥+1=0 est déjà sous la même forme que 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 puisqu’elle est égale à zéro, entièrement simplifiée et écrite avec des exposants de 𝑥 décroissants, alors nous pouvons identifier les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐:𝑎=6,𝑏=8,𝑐=1.et

En substituant ces valeurs dans la formule des racines du polynôme du second degré et en calculant 𝑥, on obtient 𝑥=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎=(8)±(8)4(6)(1)2(6)=8±642412=8±4012=8±21012=4±106.

Comme on nous demande de donner la solution au centième près, alors on évalue 𝑥 et on obtient 𝑥=1,190,14.ou

Ainsi, l’ensemble solution de l’équation 6𝑥8𝑥+1=0 est {0,14;1,19} au centième près.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment résoudre une équation du second degré qui n’est pas sous la forme initiale 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, mais qui, en la réarrangeant, peut être mise sous cette forme et ensuite résolue en utilisant la formule des racines du polynôme du second degré.

Exemple 2: Résoudre des équations du second degré en utilisant la formule des racines du polynôme du second degré

Déterminez l’ensemble solution de 𝑥6(𝑥1)=2 dans , en donnant les valeurs au centième près.

Réponse

Comme l’équation 𝑥6(𝑥1)=2 contient un terme en 𝑥, il est alors probable que ce soit une équation du second degré. Pour vérifier, nous pouvons simplifier en développant les parenthèses et en rendant l’équation égale à zéro, comme suit:𝑥6(𝑥1)=2𝑥6𝑥+6=2𝑥6𝑥+4=0.

Comme la puissance la plus élevée dans l’équation a pour exposant 2, alors nous pouvons voir qu’il s’agit d’une équation du second degré. Puisqu’elle est maintenant écrite sous la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎0, alors nous pouvons appliquer la formule des racines du polynôme du second degré, qui dit que 𝑥=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎.

On peut voir pour 𝑥6𝑥+4=0 que 𝑎=1, 𝑏=6 et 𝑐=4. En substituant dans la formule des racines du polynôme du second degré, on obtient 𝑥=(6)±(6)4(1)(4)2(1).

En simplifiant, on obtient 𝑥=6±36162=6±202=6±252=3±5.

Comme on nous demande de donner la solution au centième près, alors on évalue 𝑥 et on obtient 𝑥=5,24𝑥=0,76.ou

Ainsi, l’ensemble solution de 𝑥6(𝑥1)=2 avec des arrondis au centième est {0,76;5,24}.

Nous pouvons utiliser les solutions des équations du second degré pour trouver des éléments inconnus de l’équation, telles que des coefficients ou des constantes. Nous pouvons le faire en substituant les parties connues et inconnues dans la formule des racines du polynôme du second degré et en résolvant la partie inconnue. Nous explorerons comment le faire dans l’exemple suivant.

Exemple 3: Déterminer les inconnues dans les équations du second degré en utilisant la formule des racines du polynôme du second degré

Sachant que 𝑥=2 est une racine de l’équation 𝑥4𝑚𝑥𝑚6=0, déterminez l’ensemble des valeurs possibles de 𝑚.

Réponse

Comme 𝑥4𝑚𝑥𝑚6=0 est la forme d’une équation du second degré, alors nous pouvons utiliser la formule des racines du polynôme du second degré pour calculer les valeurs de 𝑚.

La formule des racines du polynôme du second degré indique que pour une équation sous la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎0, alors 𝑥=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎.

On peut voir en comparant 𝑥4𝑚𝑥𝑚6=0 avec 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 que 𝑎=1, 𝑏=4𝑚 et 𝑐=𝑚6. Comme on sait aussi que l’une des racines de l’équation est 𝑥=2 alors nous pouvons remplacer 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑥 dans la formule des racines du polynôme du second degré:𝑥=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎2=(4𝑚)±(4𝑚)4((𝑚6)(1))2(1).

En simplifiant, on obtient 2=4𝑚±16𝑚+4(𝑚6)2=4𝑚±16𝑚+4𝑚242=4𝑚±20𝑚242.

Nous pouvons simplifier encore plus en factorisant par 4 et en le mettant à l’extérieur de la racine:2=4𝑚±4(5𝑚6)2=4𝑚±2(5𝑚6)2=2𝑚±(5𝑚6).

Ensuite, nous devons calculer 𝑚. Puisqu’une partie de l’équation contient 𝑚, alors une fois réarrangée, il est probable que l’on obtienne la forme d’une équation du second degré. Dans cette situation, nous voulons la réarranger pour qu’elle soit sous la forme 𝑎𝑚+𝑏𝑚+𝑐=0, 𝑎0, de sorte que nous pouvons appliquer de nouveau la formule des racines du polynôme du second degré (mais cette fois avec des valeurs différentes pour 𝑎, 𝑏 et 𝑐).

En réarrangeant, on obtient 2=2𝑚±(5𝑚6)22𝑚=±(5𝑚6)(22𝑚)=5𝑚64+8𝑚+4𝑚=5𝑚60=5𝑚4𝑚8𝑚46𝑚8𝑚10=0.

Maintenant que l’équation est sous la forme 𝑎𝑚+𝑏𝑚+𝑐=0, 𝑎0, on peut identifier 𝑎, 𝑏 et 𝑐. En comparant, on peut remarquer que 𝑎=1, 𝑏=8 et 𝑐=10. En substituant dans la formule des racines du polynôme du second degré, on obtient 𝑚=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎=(8)±(8)4(1)(10)2(1).

En simplifiant, on obtient 𝑚=8±64+402=8±1042=8±2262=4±26.

Par conséquent, les valeurs possibles de 𝑚 sont {426,4+26}.

En plus des équations du second degré qui contiennent des termes de degré deux, nous pouvons avoir des équations qui peuvent ne pas sembler être du second degré au début, mais avec quelques réarrangements qui s’avèrent être des équations du second degré. Par exemple, 1𝑥=4𝑥 peut être réarrangé pour donner 1=4𝑥, qui est une équation du second degré. Par conséquent, nous pouvons résoudre des équations qui, une fois réarrangées, deviennent des équations du second degré et peuvent ainsi être résolue en utilisant la formule des racines du polynôme du second degré. Dans notre prochain exemple, nous étudierons comment faire.

Exemple 4: Réarranger l’équation à résoudre afin d’utiliser la formule des racines du polynôme du second degré

Déterminez l’ensemble solution de l’équation 55𝑥=1𝑥 dans , en donnant les valeurs au dixième près.

Réponse

Afin de résoudre 55𝑥=1𝑥, il est utile de se débarrasser tout d’abord des variables aux dénominateurs. Pour ce faire, nous devons multiplier par la plus grande puissance de 𝑥 aux dénominateurs, qui est 𝑥. Cela nous donne 55𝑥=1𝑥5𝑥5𝑥𝑥=𝑥𝑥5𝑥5𝑥=1.

Comme la puissance la plus élevée dans l’équation est 2, alors nous pouvons voir qu’il s’agit d’une équation du second degré. Pour résoudre, en utilisant la formule des racines du polynôme du second degré, nous devons réarranger l’équation pour écrire cela sous la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎0. Dans ce cas, il est utile de déplacer les termes du membre de gauche vers le membre de droite afin que les coefficients soient positifs (mais cela n’a pas forcément d’importance), dans le but de faciliter les calculs à venir:5𝑥5𝑥=10=5𝑥+5𝑥+15𝑥+5𝑥+1=0.

Maintenant que ceci est sous la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎0, on peut appliquer la formule des racines du polynôme du second degré, qui dit que 𝑥=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎.

En comparant 5𝑥+5𝑥+1=0 avec 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, on peut voir que 𝑎=5, 𝑏=5 et 𝑐=1. En substituant dans la formule des racines du polynôme du second degré, on obtient 𝑥=5±54(5)(1)2(5).

En simplifiant, on obtient 𝑥=5±252010=5±510.

Comme la question nous demande de déterminer l’ensemble solution avec des valeurs au dixième près, alors nous évaluons les racines, ce qui nous donne 𝑥=0,28𝑥=0,72.ou

Par conséquent, l’ensemble des solution définies pour l’équation 55𝑥=1𝑥 arrondies au dixième est {0,3;0,7}.

En plus des équations qui peuvent être réarrangées pour donner une équation du second degré, nous pouvons avoir des équations qui ne sont pas elles-mêmes quadratiques, mais qui peuvent être résolues grâce à la formule des racines du polynôme du second degré car elles sont de la forme du second degré. Par exemple, 𝑥+2𝑥+1=0 est une équation de degré quatre, car sa puissance la plus élevée a pour exposant 4, mais comme elle est de la forme 𝑎𝑦+𝑏𝑦+𝑐=0, 𝑎0, où la variable 𝑦 représente 𝑥 soit 𝑥+2𝑥+1=0, alors elle peut être résolue en utilisant la formule des racines du polynôme du second degré car elle est de la forme du second degré.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment résoudre une équation de degré quatre en l’écrivant sous la forme d’une équation du second degré et en utilisant la formule des racines du polynôme du second degré.

Exemple 5: Utiliser la formule des racines du polynôme du second degré pour résoudre une équation de degré quatre

En utilisant la formule des racines du polynôme du second degré, déterminez toutes les solutions de 𝑥10𝑥+1=0.

Réponse

Pour déterminer les solutions de l’équation 𝑥10𝑥+1=0 en utilisant la formule des racines du polynôme du second degré, nous avons besoin d’écrire l’équation sous la forme d’une équation du second degré. Nous pouvons voir que nous avons des puissances paires de 𝑥, ce qui signifie que nous pouvons remplacer 𝑥 par une autre variable, par exemple 𝑦 ce qui nous donne 𝑦=𝑥. Ainsi, 𝑥10𝑥+1=0𝑦10𝑦+1=0

Nous pouvons maintenant voir que 𝑦10𝑦+1=0 prend la forme d’une équation du second degré 𝑎𝑦+𝑏𝑦+𝑐=0, 𝑎0. On peut alors appliquer la formule des racines du polynôme du second degré pour résoudre en 𝑦, qui dit que 𝑦=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎.

Comme 𝑎=1, 𝑏=10 et 𝑐=1, alors en substituant, cela nous donne 𝑦=(10)±(10)4(1)(1)2(1).

En simplifiant, on obtient 𝑦=10±10042=10±962=10±462=5±26.

Rappelons que nous avons posé 𝑦=𝑥, alors 𝑥=5±26.

En prenant le carré de chaque membre pour calculer 𝑥, cela nous donne 𝑥=±5±26.

Par conséquent, toutes les solutions de l’équation 𝑥10𝑥+1=0 sont 𝑥=5+26,𝑥=5+26,𝑥=526,𝑥=526.et

Dans cette fiche explicative, nous avons discuté de la façon de résoudre des équations du second degré en utilisant la formule des racines du polynôme du second degré. Afin d’obtenir des équations sous la forme requise, nous avons réarrangé l’équation ou effectué un changement de variable pour l’écrire sous la forme d’une équation du second degré. Récapitulons les points clés.

Points Clés

  • On peut résoudre des équations du second degré de la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎0, en utilisant la formule des racines du polynôme du second degré 𝑥=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎.
  • En réarrangeant, certaines équations peuvent être écrites sous la forme d’équations du second degré 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎0, puis résolues en utilisant la formule des racines du polynôme du second degré.
  • Certaines équations qui ne sont pas des équations du second degré peuvent être résolues en utilisant la formule des racines du polynôme du second degré si elles prennent la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎0, avec 𝑥 qui représente la variable d’une autre fonction.

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