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Calculez 157 parmi 157 plus un parmi 51.
Pour nous aider à résoudre ce problème, nous allons utiliser la formule générale d’une combinaison. Celle-ci stipule que 𝑟 parmi 𝑛 est égal à factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Et nous pouvons l’utiliser pour nous aider à calculer la valeur des deux termes. Pour calculer 157 parmi 157 plus un parmi 51, nous devons traiter chacun de ces termes séparément. Nous allons donc commencer par 157 parmi 157. Et ce terme est en fait de la forme 𝑛 parmi 𝑛 puisque la valeur de 𝑛 est la même que la valeur de 𝑟.
Il existe alors une formule spécifique qui stipule que 𝑛 parmi 𝑛 est égal à un. Nous pouvons donc en conclure que notre 157 parmi 157 est aussi égal à un. Mais je vais en fait le démontrer en appliquant la formule générale. On a donc 157 parmi 157 égale factorielle 157, car c’est la valeur de 𝑛, sur factorielle 𝑟, c’est-à-dire factorielle 157, fois factorielle 𝑛 moins 𝑟, donc factorielle 157 moins 157. Et cela est égal à factorielle 157 sur factorielle 157 fois factorielle zéro. Mais une des propriétés des factorielles est que factorielle zéro est égal à un. Tout cela est donc égal à factorielle 157 sur factorielle 157, ce qui fait un. Et cela prouve que ce que nous avions initialement rappelé : 𝑛 parmi 𝑛 - ou dans ce cas, 157 parmi 157 - est égal à un.
OK, très bien. Passons maintenant à la suite et évaluons le deuxième terme. Si nous observons le deuxième terme, qui est un parmi 51, nous remarquons qu’il s’agit à nouveau d’une forme particulière parce que un parmi 𝑛 est toujours égal à 𝑛. Mais nous allons également utiliser la formule générale pour le montrer. On a donc un parmi 51 égale factorielle 51 sur factorielle un fois factorielle 51 moins un ; ce qui est égal à factorielle 51 sur factorielle un fois factorielle 50. Eh bien, nous savons que factorielle un est égal à un. Ce qui nous donne factorielle 51 sur factorielle 50.
Mais si on considère la définition de la factorielle, on obtient 51 fois 50 fois 49 fois 48 et cetera, le tout divisé par 50 fois 49 fois 48, et cetera. Donc en divisant par factorielle 50, il ne nous reste plus que 51. Nous avons ainsi montré que un parmi 51 est égal à 51. Et c’est une bonne nouvelle car cela correspond à ce que nous avions mentionné au début en disant que un parmi 𝑛 était égal à 𝑛. 𝑛 est égal à 51 dans ce cas. Donc, un parmi 51 est bien égal à 51. Ce qu’il nous reste maintenant à faire est de calculer 157 parmi 157 plus un parmi 51. Et cela est égal à un plus 51. Nous pouvons donc conclure que 157 parmi 157 plus un parmi 51 est égal à 52.
