Transcription de la vidéo
Soient 𝑦 est égal à moins six 𝑧 au carré moins 23 et que 𝑧 est égal à moins quatre de 𝑥, calculez 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥.
Nous cherchons la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 et on nous donne 𝑦 en fonction d’une autre variable 𝑧 et 𝑧 en fonction de 𝑥. Ainsi, cela ressemble à une situation pour utiliser la règle de dérivation en chaîne, qui dit que la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de 𝑦 par rapport à une autre variable 𝑧 fois la dérivée de 𝑧 par rapport à 𝑥.
Appliquons la règle de dérivation en chaîne à notre problème. Nous devons trouver 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑧. Il s’agit de la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑧. Heureusement, nous avons 𝑦 écrit en fonction de 𝑧. Ainsi, cette démarche est simple. 𝑦 est égal à moins six 𝑧 au carré moins 23. Nous dérivons les deux côtés par rapport à 𝑧. En utilisant le fait que la dérivée d’une différence de fonctions est la différence de leurs dérivées, la formule de la dérivée d’un nombre fois une puissance par rapport à la base de cette puissance et aussi le fait que la dérivée d’une fonction constante est zéro, nous obtenons moins 12𝑧.
Après avoir trouvé 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑧, nous passons maintenant à la recherche de 𝑑𝑧 sur 𝑑𝑥. Pour trouver 𝑑𝑧 sur 𝑑𝑥, nous utilisons la relation entre 𝑧 et 𝑥. 𝑧 est égal à moins quatre sur 𝑥 et nous pouvons l’écrire en notation d’exposant comme 𝑧 égale à moins quatre 𝑥 puissance moins un. Nous pouvons maintenant appliquer notre règle sur la dérivée d’un nombre fois la puissance d’une variable par rapport à cette variable.
Pour clarifier les choses, nous allons changer le 𝑧 dans notre règle en 𝑥. Il est important de noter que nous pourrions remplacer 𝑧 par n’importe quelle lettre que nous voulons et que cela exprimerait toujours la même règle. Cependant, nous choisissons de remplacer 𝑧 par 𝑥 parce que nous allons dériver par rapport à 𝑥. En appliquant notre règle, nous trouvons que 𝑑𝑧 sur 𝑑𝑥 est quatre 𝑥 puissance moins deux ou si vous voulez éviter les exposants négatifs quatre sur 𝑥 au carré.
En utilisant cette expression pour 𝑑𝑧 sur 𝑑𝑥, nous voyons que 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est moins 12 𝑧 fois quatre sur 𝑥 au carré. Maintenant, il s’agit juste de procéder à une simplification de cette expression. Dans le cadre de la simplification, nous réalisons que nous avons 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 écrit non seulement en fonction de 𝑥, mais aussi en fonction de la variable 𝑧. Nous aimerions que ce soit uniquement en fonction de 𝑥 si cela est possible. C’est en effet possible parce que 𝑧 est moins quatre sur 𝑥.
En substituant moins quatre sur 𝑥 pour 𝑧, nous obtenons une expression de 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 en fonction de 𝑥 seul. Nous pouvons simplifier cette expression de moins 12 fois moins quatre fois quatre, ce qui donne 192 au numérateur et 𝑥 fois 𝑥 au carré, ce qui donne 𝑥 au cube au dénominateur.
𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 vaut alors 192 sur 𝑥 au cube.
