Vidéo : Règle de dérivation en chaîne

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les dérivées des fonctions composées à l’aide de la règle de dérivation en chaîne.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à dériver les fonctions composées en appliquant la règle de dérivation en chaîne. Nous verrons comment appliquer cela à des fonctions simples dans un premier temps. Et ensuite, nous examinerons des fonctions plus complexes telles que les fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses.

Tout d’abord, rappelons quelles sont les fonctions composées. Ce sont essentiellement des fonctions d’une fonction. Supposons que nous ayons deux fonctions, 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 plus cinq et 𝑔 de 𝑥 est égal à 𝑥 au cube. Les fonctions composées 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 sont ce que nous obtenons si nous composions ces deux fonctions dans un ordre quelconque. Nous appliquons l’un, puis nous appliquons l’autre.

𝑓 de 𝑔 de 𝑥 signifie que nous appliquons 𝑔 prime, donnant 𝑥 au cube. Et ensuite, nous prenons cela comme notre entrée pour la fonction 𝑓, ce qui donnera deux 𝑥 cubes plus cinq. 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, cependant, est la fonction composée que nous obtiendrions si nous appliquons 𝑓 prime à donner deux 𝑥 plus cinq, puis prendre cela comme notre entrée à la fonction 𝑔, ce qui donnerait deux 𝑥 plus cinq le tout au cube. Et si nous répartissons les parenthèses et simplifions, cela donne huit 𝑥 au cube plus 60𝑥 carré plus 150𝑥 plus 125.

Nous savons donc comment composer des fonctions. Mais qu’en est-il de trouver leurs dérivées ? Eh bien, dans ce cas, si on vous demande de trouver les dérivées de 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 ou de 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, ce ne serait pas si grave. Parce que nous pouvions d’abord composer les fonctions, les manipuler algébriquement, puis dériver le polynôme résultant.

Mais supposons que, au contraire, la puissance 𝑥 dans la fonction 𝑔 de 𝑥 avait été 10 ou 20 plutôt que trois, il serait extrêmement long et fastidieux de distribuer tous ces parenthèses afin de donner un polynôme. Il serait donc beaucoup plus utile d’avoir une règle nous permettant de dériver une fonction composée. Et en effet, il y en a une. C’est ce qu’on appelle la règle de la chaîne.

Nous allons illustrer la règle de la chaîne en trouvant d’abord la dérivée de la fonction composée 𝑔 de 𝑓 de 𝑥. Donc, nous avons défini les fonctions 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 comme étant deux 𝑥 plus cinq et 𝑥 au cube, respectivement. Et nous avons vu que la fonction composée 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 était deux 𝑥 plus cinq le tout au cube, ce qui se simplifie en huit 𝑥 au cube plus 60𝑥 carré plus 150𝑥 plus 125. Maintenant, nous allons envisager de trouver la dérivée de cette fonction.

Pour ce faire, il faut rappeler la règle de puissance, qui nous dit que la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑎, qui est une constante, multipliée par 𝑥 à la puissance 𝑛 est 𝑎𝑛𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Et nous rappelons également que pour trouver la dérivée d’une somme ou d’une différence, nous pouvons simplement dériver chaque terme séparément, puis les additionner.

Ainsi, la dérivation de 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 donne alors la dérivée 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 prime, qui est de 24𝑥 carré plus 120𝑥 plus 150. Rappelez-vous, la dérivée d’un zéro est juste constante. Ainsi, lorsque nous dérivons ce terme de plus 125, il ne donne que zéro. Voyons maintenant si nous pouvons manipuler ce dérivé pour voir si nous pouvons identifier une relation quelconque avec les dérivées de 𝑓 et 𝑔 individuellement.

Nous allons d’ abord prendre un facteur commun de six à donner six multiplié par quatre 𝑥 carré plus 20𝑥, plus 25. On peut donc remarquer que quatre 𝑥 carré plus 20𝑥 plus 25 est en fait un carré parfait. C’est égal à deux 𝑥 plus cinq au carré. Et comme deux 𝑥 plus cinq est notre expression pour 𝑓 de 𝑥, c’est en fait égal à 𝑓 de 𝑥 au carré. Mais qu’en est-il de six ? Eh bien, six est égal à deux fois trois. Donc, on peut écrire cette dérivée comme étant deux fois trois fois 𝑓 de 𝑥 le tout au carré. Mais comment cela aide-t-il ?

Eh bien, pour voir cela, nous devons trouver les dérivées de 𝑓 et 𝑔. En appliquant la règle de puissance, nous voyons que 𝑓 prime de 𝑥 est égale à deux et 𝑔 prime de 𝑥 est égale à trois 𝑥 au carré. Alors, que deux dans notre dérivée de la fonction composée est le même que 𝑓 prime de 𝑥. Maintenant, trois fois 𝑓 de 𝑥 le tout au carré est en fait la dérivée de 𝑔 évaluée en 𝑓 de 𝑥. 𝑔 prime de 𝑥 est trois 𝑥 au carré. Ainsi, 𝑔 prime de 𝑓 de 𝑥 est trois 𝑓 de 𝑥 carré.

Alors, qu’avons-nous trouvé ? Eh bien, pour cet exemple, nous avons constaté que la dérivée de 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 est égale à la dérivée de 𝑓, qui est la dérivée de la fonction intérieure, multipliée par la dérivée de 𝑔, qui est la fonction extérieure, avec la fonction intérieure encore à l’intérieur. Maintenant, ceci est une illustration de la règle de la chaîne. Ce n’est pas une preuve, mais cela dépasse la portée de ce que nous allons examiner dans cette vidéo.

Ainsi, la règle de la chaîne nous dit que la dérivée de la fonction composée 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑓 prime de 𝑥 multipliée par 𝑔 prime de 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons également exprimer la règle de dérivation en chaîne en utilisant la notation de Leibniz. Si 𝑦 est égal à 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, et nous allons 𝑢 égale 𝑓 de 𝑥 de sorte que 𝑦 devient 𝑔 de 𝑢, fonction de 𝑢, puis d𝑦 sur d𝑥 est égale à d𝑦 sur d𝑢 multiplié par d𝑢 sur d𝑥.

Cela peut paraître assez compliqué, mais il s’agit en fait d’un processus relativement simple, comme nous le verrons dans nos exemples. La notation de Leibniz est vraiment utile car elle rend la règle de dérivation en chaîne un peu plus intuitive. Rappelez-vous que la recherche de dérivées est une affaire de petites variation de 𝑥. Donc, nous allons introduire Δ𝑢 pour représenter une petite variation de 𝑢 à la suite d’une petite variation de 𝑥.

Pour trouver la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 d𝑦 sur d𝑥, considérons le quotient de différence Δ𝑦 sur Δ𝑥. Nous voyons qu’en multipliant le numérateur et le dénominateur par Δ𝑢, qui doit être différent de zéro, et en ordonnant les termes, nous obtenons Δ𝑦 sur Δ𝑢 multiplié par Δ𝑢 sur Δ𝑥. Comme Δ𝑥 tend vers zéro, il en sera de même à la fois pour Δ𝑢 et Δ𝑦, donnant d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑢 multiplié par d𝑢 sur d𝑥. C’est la règle de la chaîne. La règle de la chaîne nous permet de dériver une grande classe de fonctions complexes. Regardons quelques exemples.

Déterminer la dérivée première de la fonction 𝑦 est égal à cinq 𝑥 carré moins six à la puissance six.

Nous voyons maintenant qu’il s’agit d’un exemple de fonction composée. Si nous considérons que la première fonction est cinq 𝑥 carré moins six et que la seconde est 𝑥 à la puissance six. Nous prenons cinq 𝑥 carré moins six comme entrée de notre deuxième fonction, ce qui donne cinq 𝑥 carré moins six à la puissance six. S’agissant d’une fonction composée, nous pouvons appliquer la règle de dérivation en chaîne.

La règle de la chaîne nous dit que si 𝑦 est fonction de 𝑢 et 𝑢 est fonction de 𝑥, alors d𝑦 sur d𝑥 est égale à d𝑦 sur d𝑢 multiplié par d𝑢 sur d𝑥. Nous avons donc besoin de décider comment nous allons définir la fonction 𝑢. Eh bien, nous considérons que 𝑢 est notre première fonction. Elle est la partie à l’intérieur des parenthèses, 𝑢 est égal à cinq 𝑥 carré moins six. 𝑦 devient donc fonction de 𝑢. 𝑦 égale 𝑢 à la puissance six et 𝑢 est fonction de 𝑥.

Nous devons trouver à la fois d𝑦 sur d𝑢 et d𝑢 sur d𝑥, ce que nous pouvons faire en appliquant la règle de puissance. Dans le cas de d𝑦 sur d𝑢, il suffit de penser que tous les 𝑥 de la règle de puissance sont des 𝑢. Nous avons alors que d𝑦 sur d𝑢 est égal à six 𝑢 à cinq, et d𝑢 sur d𝑥 est égale à 10𝑥. Nous écrivons la règle de la chaîne, puis faisons les substitutions pertinentes, donnant d𝑦 sur d𝑥 est égal à six 𝑢 puissance cinq multiplié par 10𝑥.

Maintenant, voici un point très important. Cette dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 doit être en fonction de 𝑥, et, en ce moment, nous avons encore la variable 𝑢 impliquée. Nous devons donc nous assurer que nous inversons notre substitution. 𝑢 est égale à cinq 𝑥 carré moins six, donc nous avons six multiplié par cinq 𝑥 carré moins six à la puissance cinq multiplié par 10𝑥. En simplifiant alors, nous avons ce que la dérivée première de la fonction 𝑦 est égale à cinq 𝑥 au carré moins six à la puissance six est 60𝑥 multiplié par cinq 𝑥 au carré moins six à la puissance cinq.

Maintenant, cela illustre une application très puissante de la règle de la chaîne, en fait, une règle générale pour trouver la dérivée d’une tranche élevée à une puissance. Si nous exprimons la dérivée en 10𝑥 multiplié par six multiplié par cinq 𝑥 au carré moins six à la puissance cinq, alors nous voyons ce que nous avons est la dérivée de la parenthèse, ou la dérivée de ce qui est à l’intérieur des parenthèses, qui est 10𝑥, multiplié par la puissance d’origine, six, multiplié par cette tranche avec la puissance réduite de un par rapport à ce qu’elle était à l’origine.

Cela nous donne l’extension de la règle de dérivation en chaîne à la règle de puissance. Cela nous dit que si nous avons une fonction 𝑓 de 𝑥 élevé à une puissance, la dérivée est égale à 𝑓 prime de 𝑥, qui est la dérivée de ce qui est à l’ intérieur des parenthèses, multiplié par 𝑛 puis multiplié par 𝑓 de 𝑥 avec la puissance réduite de un, 𝑓 de 𝑥 puissance 𝑛 moins un. Ceci est particulièrement utile si nous avons de très grandes puissances. Voyons donc comment appliquer cette règle à un autre exemple.

Déterminer la dérivée de 𝑦 est égal à moins deux 𝑥 au carré moins trois 𝑥 plus quatre à la puissance 55.

C’est là que nous voyons vraiment l’importance de la règle de la chaîne. Quand nous avons un exposant aussi élevé que 55, nous ne voulons certainement pas essayer de distribuer toutes les parenthèses. Au lieu de cela, nous allons utiliser l’extension de la règle de la chaîne de la règle de puissance, ce qui nous dit que la dérivée de 𝑓 de 𝑥 puissance 𝑛 est 𝑓 prime de 𝑥 multiplié par 𝑛 multiplié par 𝑓 de 𝑥 puissance 𝑛 moins un.

Ainsi, 𝑓 de 𝑥 sera cette fonction à l’intérieur des parenthèses, moins deux 𝑥 au carré moins trois 𝑥 plus quatre. Nous pouvons appliquer la règle de puissance pour dériver 𝑓 de 𝑥, donnant moins quatre 𝑥 moins trois. Maintenant, nous pouvons déterminer d𝑦 sur d𝑥. Il est égal à 𝑓 prime de 𝑥, qui est moins quatre 𝑥 moins trois, multiplié par 𝑛, qui est 55 multiplié par 𝑓 de 𝑥 à la puissance 𝑛 moins un, qui est moins deux 𝑥 au carré moins trois 𝑥 plus quatre à la puissance 54.

Il n’y a pas besoin de développer les parenthèses. Donc, nous avons trouvé que d𝑦 sur d𝑥 est égal à 55 multiplié par moins quatre 𝑥 moins trois multiplié par moins deux au carré moins trois 𝑥 plus quatre à la puissance 54. Et nous l’avons fait en appliquant la règle de la chaîne étendue à la règle de puissance. Nous pouvons également appliquer la règle de dérivation en chaîne plus d’une fois dans le même problème. Alors, considérons un exemple de cela.

Déterminer la dérivée première de la fonction 𝑦 est égale à la racine carrée de huit 𝑥 moins le sinus de neuf 𝑥 à la puissance huit.

Ici nous avons 𝑦 est égal à la racine carrée d’une autre fonction, donc nous avons une fonction composée. Nous allons donc appliquer la règle de la chaîne. Nous allons définir 𝑢 être la fonction sous la racine carrée, donc 𝑢 est égal à huit 𝑥 moins le sinus de neuf 𝑥 à la puissance huit. Ensuite, 𝑦 est égale à la racine carrée de 𝑢, que l’ on peut exprimer en utilisant la notation d’index 𝑢 à la puissance d’un demi.

La règle de la chaîne nous dit que d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑢 multiplié par d𝑢 sur d𝑥. Nous avons donc besoin de trouver chacun de ces dérivées. d𝑦 sur d𝑢 est relativement simple. En utilisant la règle de puissance, nous obtenons un demi 𝑢 à la puissance négative de la moitié. Pour d𝑢 sur d𝑥, la dérivée de huit 𝑥 n’est que huit. Mais qu’en est-il de la dérivée du sinus de neuf 𝑥 au pouvoir de huit ?

Nous devons en fait appliquer à nouveau la règle de la chaîne. On peut laisser 𝑔 égal à cette fonction. Et nous pouvons changer la notation un peu pour écrire comme sinus neuf 𝑥 à la puissance huit. C’est une notation équivalente, mais cela pourrait rendre un peu plus clair comment nous allons trouver la dérivée.

Nous rappelons l’extension de la règle de la chaîne à la règle de puissance, qui nous a dit que si nous avions une fonction 𝑓 de 𝑥 élevé à une puissance 𝑛, puis son dérivé était 𝑓 prime de 𝑥 multiplié par 𝑛 multiplié par 𝑓 de 𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Ici, nous avons une fonction, le sinus de neuf 𝑥 élevé à la puissance huit, donc nous pouvons appliquer l’extension de la règle de la chaîne à la règle de puissance. Nous devons rappeler une autre règle est que la dérivée par rapport à 𝑥 du sinus 𝑎𝑥 est 𝑎 cos 𝑎𝑥.

Alors, on commence. La dérivée de la partie entre parenthèses est neuf cos neuf 𝑥. Ensuite, on multiplie par le huit. Et puis, nous avons à nouveau écrit la fonction entre parenthèses, mais avec une puissance réduite de un. La simplification donne 72 cos neuf 𝑥 sinus à la puissance sept neuf 𝑥. Donc, maintenant que nous avons trouvé à la fois d𝑦 sur d𝑢 et d𝑢 sur d𝑥, nous pouvons nous substituer la règle de la chaîne.

Nous avons alors que d𝑦 sur d𝑥 est égal à un demi 𝑢 puissance moins un demi multiplié par huit moins 72 cos neuf 𝑥 sinus neuf 𝑥 à la puissance sept. Nous devons aussi nous rappeler de remplacer 𝑢 en fonction de 𝑥. Donc, 𝑢 est égal à huit 𝑥 moins le sinus de neuf 𝑥 à la puissance huit. Nous allons également simplifier les fractions. En divisant par le dénominateur deux donne les coefficients de quatre et 36 au numérateur.

Nous rappelons également que 𝑢 à la puissance moins un demi est égale à un sur racine de 𝑢. Ainsi, notre dérivée d𝑦 sur d𝑥 se simplifie en quatre moins 36 cos neuf 𝑥 sin neuf 𝑥 à la puissance sept le tout sur la racine carrée de huit 𝑥 moins neuf sinus 𝑥 à la puissance huit. Nous avons donc vu dans cette question que nous pouvons appliquer la règle de la chaîne plus d’une fois dans le même problème. En fait, nous pouvons l’appliquer autant de fois que nécessaire.

Rappelons-nous ensuite certains des points clés que nous avons vus dans cette vidéo. La règle de dérivation en chaîne est utile pour dériver les fonctions composées, c’est-à-dire les fonctions d’autres fonctions. Si 𝑦 est égale à la fonction composée 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, puis d𝑦 sur d𝑥 est égal à 𝑓 prime de 𝑥, qui est la dérivée de la fonction interne, multiplié par 𝑔 prime de 𝑓 de 𝑥. C’est la dérivée de la fonction externe avec la fonction interne toujours à l’intérieur.

Nous avons également vu que si nous faisons la substitution 𝑢 égale 𝑓 de 𝑥, puis 𝑦 devient fonction de 𝑢. Et la règle de la chaîne peut être exprimée par d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑢 multiplié par d𝑢 sur d𝑥. Nous trouvons la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑢 et multiplions par la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥. Nous devons nous assurer que nous annulons notre substitution à la fin, de sorte que d𝑦 sur d𝑥 est uniquement exprimé en fonction de 𝑥.

Nous avons également vu l’extension de la règle de la chaîne à la règle de puissance, qui nous dit que la dérivée d’une fonction 𝑓 de 𝑥 à la puissance 𝑛 est 𝑓 prime de 𝑥 multiplié par 𝑛 multiplié par 𝑓 de 𝑥 à la puissance 𝑛 un moins. Enfin, nous avons vu que nous pouvons appliquer la règle de la chaîne autant de fois que nous le souhaitons dans un problème particulier. La règle de la chaîne est un outil vraiment puissant. Et cela ouvre une très grande classe de fonctions que nous sommes en mesure de dériver.

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