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Vidéo de la leçon: Formule de la dérivée d’une composée Mathématiques • Deuxième secondaire

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer la formule de la dérivée d’une fonction composée.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer la formule de la dérivée d’une fonction composée. Nous allons dans un premier temps voir comment l’appliquer à des fonctions simples. Et nous étudierons ensuite des fonctions plus complexes telles que les fonctions trigonométriques et racines.

Commençons par rappeler la définition des fonctions composées. Ce sont essentiellement des fonctions de fonction. Soient deux fonctions 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 plus cinq et 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 au cube. Les fonctions composées 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 sont obtenues en appliquant ces deux fonctions dans un ordre ou dans l’autre. On applique la première puis on applique la deuxième.

𝑓 de 𝑔 de 𝑥 signifie que l’on applique 𝑔 en premier, ce qui donne 𝑥 au cube. Puis on l’utilise comme antécédent pour la fonction 𝑓, ce qui donne deux 𝑥 au cube plus cinq. 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, cependant, est la fonction composée obtenue en appliquant d’abord 𝑓, ce qui donne deux 𝑥 plus cinq; puis en l’utilisant comme antécédent pour la fonction 𝑔, ce qui donne deux 𝑥 plus cinq au cube. Et si on distribue les parenthèses et simplifie, on obtient huit 𝑥 au cube plus 60𝑥 carré plus 150𝑥 plus 125.

Nous savons donc maintenant comment composer des fonctions. Mais comment peut-on les dériver? Dans cet exemple, il ne serait pas si compliqué de trouver les dérivées de 𝑓 de 𝑔 ou de 𝑔 de 𝑓. Nous pourrions en effet d’abord composer les fonctions, les manipuler algébriquement, puis dériver la fonction polynomiale résultante.

Mais si la puissance de 𝑥 dans la fonction 𝑔 de 𝑥 était 10 ou 20 plutôt que seulement trois, il serait extrêmement long et fastidieux de distribuer toutes ces parenthèses pour obtenir un polynôme. Il nous serait donc beaucoup plus pratique de disposer d’une formule qui nous permettrait de dériver une fonction composée. Et il en existe en fait bien une. On l’appelle la formule de la dérivée d’une composée.

Nous allons d’abord l’illustrer en déterminant la dérivée de la fonction composée 𝑔 de 𝑓 de 𝑥. Nous avons défini les fonctions 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 comme étant respectivement deux 𝑥 plus cinq et 𝑥 au cube. Et nous avons vu que la fonction composée 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 est deux 𝑥 plus cinq le tout au cube, ce qui se développe par huit 𝑥 au cube plus 60𝑥 carré plus 150𝑥 plus 125. Considérons maintenant la dérivée de cette fonction.

Pour ce faire, on rappelle la formule de la dérivée d’une puissance qui stipule que la dérivée de la constante 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎𝑛𝑥 puissance 𝑛 moins un. Et on rappelle également que pour trouver la dérivée d’une somme ou d’une différence, on peut simplement dériver chaque terme séparément puis les additionner.

Dériver 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 donne alors 𝑔 de 𝑓 prime de 𝑥 qui est égale à 24𝑥 carré plus 120𝑥 plus 150. Rappelez-vous que la dérivée d’une constante est simplement égale à zéro. La dérivée du terme plus 125 est donc nulle. Voyons maintenant si nous pouvons manipuler cette dérivée pour essayer d’identifier une relation avec les dérivées individuelles de 𝑓 et 𝑔.

On commence par factoriser par le facteur commun six et on obtient six fois quatre 𝑥 carré plus 20𝑥 plus 25. On remarque alors que quatre 𝑥 carré plus 20𝑥 plus 25 est en fait un carré parfait. Cela est en effet égal à deux 𝑥 plus cinq au carré. Et comme deux 𝑥 plus cinq est l’expression de 𝑓 de 𝑥, cela est en fait égal à 𝑓 de 𝑥 au carré. Mais que peut-on dire sur le six? Eh bien, six égale deux fois trois. Donc on peut écrire cette dérivée comme deux fois trois 𝑓 de 𝑥 au carré. Mais comment cela nous aide-t-il?

Pour le voir, nous devons d’abord trouver les dérivées de 𝑓 et 𝑔. En appliquant la formule de la dérivée d’une puissance, on trouve que 𝑓 prime de 𝑥 égale deux et 𝑔 prime de 𝑥 égale trois 𝑥 carré. Le deux dans la dérivée de la fonction composée est donc égal à 𝑓 prime de 𝑥. Et trois fois 𝑓 de 𝑥 au carré est en fait égal à la valeur de la dérivée de 𝑔 en 𝑓 de 𝑥. 𝑔 prime de 𝑥 égale trois 𝑥 au carré. Donc 𝑔 prime de 𝑓 de 𝑥 égale trois 𝑓 de 𝑥 au carré.

Qu’avons-nous donc trouvé? Eh bien, pour cet exemple, nous avons constaté que la dérivée de 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 est égale à la dérivée de 𝑓, la dérivée de la fonction interne, fois la dérivée de 𝑔, la fonction externe, de la fonction interne. Cet exemple est donc une illustration de la formule de la dérivée d’une composée. Cela ne constitue cependant pas une démonstration mais celle-ci dépasserait le cadre de cette vidéo.

La formule de la dérivée d’une composée stipule donc que la dérivée de la fonction composée 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑓 prime de 𝑥 fois 𝑔 prime de 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons également exprimer la formule de la dérivée d’une composée en utilisant la notation de Leibniz. Si 𝑦 égale 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 et si on définit égale 𝑓 de 𝑥 tel que 𝑦 devient de 𝑢, une fonction de 𝑢, alors d𝑦 sur d𝑥 égale d𝑦 sur d𝑢 fois d𝑢 sur d𝑥.

Cela peut sembler assez compliqué mais c’est en fait un processus relativement simple, comme nous le verrons dans les prochains exemples. La notation de Leibniz est vraiment utile car elle rend la formule de la dérivée d’une composée un peu plus intuitive. Rappelez-vous que trouver des dérivées consiste à prendre de petites variations de 𝑥. On définit donc Δ𝑢 qui représente une petite variation de 𝑢 résultant d’une petite variation de 𝑥.

Afin de trouver la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥, d𝑦 sur d𝑥, on considère le quotient différentiel Δ𝑦 sur Δ𝑥. On voit qu’en multipliant le numérateur et le dénominateur par Δ𝑢, qui doit être différent de zéro, puis en réorganisant les termes, on obtient Δ𝑦 sur Δ𝑢 fois Δ𝑢 sur Δ𝑥. Lorsque Δ𝑥 tend vers zéro, il en sera de même pour Δ𝑢 et Δ𝑦, ce qui donne d𝑦 sur d𝑥 égale d𝑦 sur d𝑢 fois d𝑢 sur d𝑥. C’est la formule de la dérivée d’une composée. Elle nous permet de dériver une grande variété de fonctions complexes. Étudions quelques exemples.

Trouvez la dérivée première de la fonction 𝑦 égale cinq 𝑥 carré moins six puissance six.

Nous voyons qu’il s’agit d’une fonction composée. Si on considère que la première fonction est cinq 𝑥 carré moins six et la seconde est 𝑥 puissance six. On prend cinq 𝑥 au carré moins six comme antécédent de la seconde fonction, ce qui donne cinq 𝑥 carré moins six le tout puissance six. Comme il s’agit d’une fonction composée, nous pouvons utiliser la formule de la dérivée d’une composée.

La formule de la dérivée d’une composée stipule que si 𝑦 est une fonction de 𝑢 et 𝑢 est une fonction de 𝑥, alors d𝑦 sur d𝑥 égale d𝑦 sur d𝑢 fois d𝑢 sur d𝑥. Nous devons décider comment définir la fonction 𝑢. Eh bien, on définit 𝑢 comme la première fonction. C’est la partie entre parenthèses, 𝑢 égale cinq 𝑥 carré moins six. 𝑦 devient donc une fonction de 𝑢. 𝑦 égale 𝑢 puissance 6, et 𝑢 est une fonction de 𝑥.

Nous devons déterminer d𝑦 sur d𝑢 et d𝑢 sur d𝑥, ce que nous pouvons faire en appliquant la formule de la dérivée d’une puissance. Dans le cas de d𝑦 sur d𝑢, il suffit de remplacer les 𝑥 de la formule de la dérivée d’une puissance par des 𝑢. On a donc d𝑦 sur d𝑢 égale six 𝑢 puissance cinq, et d𝑢 sur d𝑥 égale 10𝑥. On écrit la formule de la dérivée d’une composée puis on substitue les expressions correspondantes, ce qui donne d𝑦 sur d𝑥 égale six 𝑢 puissance cinq fois 10𝑥.

Maintenant, voici un point très important. Cette dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 doit être en fonction de 𝑥, mais la variable 𝑢 est toujours présente dans l’expression. On doit donc s’assurer de la remplacer par son expression. 𝑢 égale cinq 𝑥 carré moins six, donc on a six fois cinq 𝑥 carré moins six puissance cinq fois 10𝑥. En simplifiant, nous concluons que la dérivée première de la fonction égale cinq 𝑥 carré moins six puissance six est 60𝑥 fois cinq 𝑥 carré moins six puissance cinq.

Cela illustre une application vraiment puissante de la formule de la dérivée d’une composée, et en fait de toute fonction élevée à une puissance. Si on exprime cette dérivée comme 10𝑥 fois six fois cinq 𝑥 carré moins six puissance cinq, alors on voit qu’il s’agit de la dérivée du terme entre parenthèses, soit 10𝑥, fois la puissance initiale, six, fois le terme entre parenthèses élevé à une puissance réduite de un.

Cela nous donne l’extension de la formule de la dérivée d’une composée pour une puissance. Elle stipule que pour une fonction 𝑓 de 𝑥 élevée à une puissance sa dérivée est égale à 𝑓 prime de 𝑥, la dérivée de ce qui est entre parenthèses, fois 𝑛 fois 𝑓 de 𝑥 élevée à une puissance réduite de un, 𝑓 de 𝑥 puissance 𝑛 moins un. Elle est particulièrement utile pour des puissances très élevées. Voyons donc comment l’appliquer dans un autre exemple.

Déterminez la dérivée de 𝑦 égale moins deux 𝑥 carré moins trois 𝑥 plus quatre puissance 55.

C’est dans des cas comme celui-ci que l’intérêt de la formule de la dérivée d’une composée est évident. Pour un exposant aussi élevé que 55, nous ne voulons certainement pas essayer de distribuer toutes les parenthèses. Nous allons utiliser l’extension de la formule de la dérivée d’une composée pour une puissance qui indique que la dérivée de 𝑓 de 𝑥 puissance 𝑛 est 𝑓 prime de 𝑥 fois 𝑛 𝑓 de 𝑥 puissance 𝑛 moins un.

On définit donc 𝑓 de 𝑥 par l’expression à l’intérieur des parenthèses, moins deux 𝑥 carré moins trois 𝑥 plus quatre. On peut appliquer la formule de la dérivée d’une puissance pour dériver 𝑓 de 𝑥, ce qui donne moins quatre 𝑥 moins trois. Et on peut maintenant calculer d𝑦 sur d𝑥. Elle est égale à 𝑓 prime de 𝑥, moins quatre 𝑥 moins trois, fois 𝑛, soit 55, fois 𝑓 de 𝑥 puissance 𝑛 moins un, c’est-à-dire moins deux 𝑥 carré moins trois 𝑥 plus quatre puissance 54.

Il n’est pas nécessaire de développer les parenthèses. Nous avons donc trouvé que d𝑦 sur d𝑥 est égale à 55 fois moins quatre 𝑥 moins trois fois moins deux 𝑥 carré moins trois 𝑥 plus quatre puissance 54. Et nous l’avons déterminée en appliquant l’extension de la formule de la dérivée d’une composée pour une puissance.

Nous pouvons également appliquer la formule de la dérivée d’une composée plusieurs fois d’affilée. Étudions donc un exemple de cela.

Déterminez la dérivée première de la fonction 𝑦 égale racine carrée de huit 𝑥 moins sinus de neuf 𝑥 puissance huit.

𝑦 est ici égale à la racine carrée d’une autre fonction, nous avons donc une fonction composée. Nous allons par conséquent appliquer la formule de la dérivée d’une composée. On définit 𝑢 comme étant la fonction sous la racine carrée, donc 𝑢 égale huit 𝑥 moins sinus de neuf 𝑥 puissance huit. 𝑦 est donc égale à racine carrée de 𝑢, que nous pouvons exprimer en utilisant la notation en exposant par 𝑢 puissance un sur 2.

La formule de la dérivée d’une composée indique que d𝑦 sur d𝑥 égale d𝑦 sur d𝑢 fois d𝑢 sur d𝑥. Nous devons donc trouver chacune de ces dérivées. d𝑦 sur d𝑢 est relativement simple. En utilisant la formule de la dérivée d’une puissance, on obtient un demi de 𝑢 puissance moins un sur 2. Pour d𝑢 sur d𝑥, la dérivée de huit 𝑥 est simplement huit. Mais qu’en est-il de la dérivée de sinus de neuf 𝑥 puissance huit?

Nous devons en fait appliquer à nouveau la formule de la dérivée d’une composée. On peut définir 𝑔 égale à cette fonction. Et on peut légèrement changer la notation pour l’écrire comme sin de neuf 𝑥 puissance huit. C’est une notation équivalente mais elle peut clarifier comment nous allons trouver sa dérivée.

On rappelle l’extension de la formule de la dérivée d’une composée pour une puissance qui indique que la dérivée d’une fonction 𝑓 de 𝑥 élevée à une puissance 𝑛 est 𝑓 prime de 𝑥 fois 𝑛 𝑓 de 𝑥 puissance 𝑛 moins un. On a ici une fonction, sinus de neuf 𝑥, élevée à une puissance huit, on peut donc appliquer l’extension de la formule de la dérivée d’une composée pour une puissance. On rappelle une dernière formule qui stipule que la dérivée de sin de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est 𝑎 cos de 𝑎𝑥.

Commençons donc les calculs. La dérivée de la partie entre parenthèses est neuf cos de neuf 𝑥. Que l’on multiplie ensuite par la puissance huit. Que l’on multiplie à nouveau par la fonction à l’intérieur des parenthèses mais élevée à une puissance réduite de un. Simplifier donne 72 cos de neuf 𝑥 fois sin de neuf 𝑥 puissance sept. Maintenant que nous avons trouvé d𝑦 sur d𝑢 et d𝑢 sur d𝑥, nous pouvons les substituer dans la formule de la dérivée d’une composée.

On a alors d𝑦 sur d𝑥 égale un demi de 𝑢 puissance moins un sur 2 fois huit moins 72 cos de neuf 𝑥 fois sin de neuf 𝑥 puissance sept. Nous devons également nous rappeler de remplacer 𝑢 en fonction de 𝑥. 𝑢 égale huit 𝑥 moins sin de neuf 𝑥 puissance huit. On simplifie ensuite les fractions. Diviser par le dénominateur deux donne des coefficients de quatre et 36 au numérateur.

On rappelle de plus que 𝑢 puissance moins un sur 2 égale un sur racine carrée de 𝑢. La dérivée d𝑦 sur d𝑥 se simplifie donc par quatre moins 36 cos de neuf 𝑥 fois sin de neuf 𝑥 puissance sept sur racine carrée de huit 𝑥 moins sin de neuf 𝑥 puissance huit.

Nous avons donc vu dans cette question que nous pouvons appliquer la formule de la dérivée d’une composée plusieurs fois dans le même problème. En fait, nous pouvons l’appliquer autant de fois que nécessaire.

Récapitulons maintenant certains des points clés de cette vidéo. La formule de la dérivée d’une composée est utile pour dériver les fonctions composées, c’est-à-dire les fonctions d’autres fonctions. Si 𝑦 est égale à la fonction composée 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, alors d𝑦 sur d𝑥 est égal à 𝑓 prime de 𝑥, la dérivée de la fonction interne, fois 𝑔 prime de 𝑓 de 𝑥. La dérivée de la fonction externe évaluée à la fonction interne.

Nous avons également vu que si nous effectuons la substitution 𝑢 égale 𝑓 de 𝑥, alors devient une fonction de 𝑢. Et la formule de la dérivée d’une composée peut s’exprimer par d𝑦 sur d𝑥 égale d𝑦 sur d𝑢 fois d𝑢 sur d𝑥. On détermine la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑢 et on la multiplie par la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥. Nous devons ensuite nous assurer d’inverser la substitution, afin d’exprimer d𝑦 sur d𝑥 uniquement en fonction de .

Nous avons également présenté l’extension de la formule de la dérivée d’une composée pour une puissance qui stipule que la dérivée d’une fonction 𝑓 de 𝑥 puissance 𝑛 est 𝑓 prime de 𝑥 fois 𝑛 𝑓 de 𝑥 puissance 𝑛 moins un. Enfin, nous avons vu que nous pouvons appliquer la formule de la dérivée d’une composée autant de fois que nous le souhaitons pour un problème particulier. La formule de la dérivée d’une composée est un outil très puissant. Et elle nous permet de dériver une très grande variété de fonctions.

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