Fiche explicative de la leçon : Règle de dérivation en chaîne Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer les dérivées des fonctions composées en utilisant la règle de dérivation en chaine.

Une fois que nous avons appris à dériver des fonctions simples, nous pouvons commencer à nous demander comment dériver des fonctions plus complexes. Généralement, les fonctions plus complexes sont créées à partir de fonctions plus simples en les combinant de diverses manières. Il y a plusieurs façons de combiner deux fonctions 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥):

  1. addition ou soustraction:𝑓(𝑥)±𝑔(𝑥);
  2. multiplication ou division:𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ou 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥);
  3. composition:𝑓(𝑔(𝑥)).

Pour pouvoir dériver des fonctions plus complexes, il serait très utile d’avoir des formules qui nous indiquent comment dériver des fonctions combinées de ces manières particulières. À ce stade du cours d’analyse, nous savons déjà que la dérivée d’une somme est la somme des dérivées:(𝑓±𝑔)=𝑓±𝑔.

De plus, nous savons que la différenciation est en fait une opération linéaire. Cela signifie qu’en plus de la formule de la dérivée d’une somme, nous connaissons la formule suivante pour la multiplication par une constante 𝑐:(𝑐𝑓)=𝑐𝑓.

Il existe également des formules de multiplication et de division appelées formules de la dérivée d’un produit et d’un quotient. Dans ce document explicatif, nous allons cependant nous intéresser à la formule pour dériver des fonctions composées.

Commençons par considérer un exemple où nous dérivons une fonction composée en simplifiant d’abord l’expression composée, puis en appliquant la formule de la dérivée d’une puissance à l’expression résultante. Cet exemple nous mènera à la formule générale pour dériver les fonctions composites.

Exemple 1: Dérivées de fonctions composées

On considère la fonction 𝑓(𝑥)=(2𝑥+1).

  1. En développant le binôme, déterminez la dérivée de 𝑓.
  2. Soient 𝑔(𝑥)=𝑥 et (𝑥)=2𝑥+1. Déterminez la dérivée de 𝑔 et .
  3. Exprimez 𝑓 en fonction de , 𝑔 et .

Réponse

Partie 1

On commence par développer les parenthèses. On peut le faire en utilisant la formule du binôme de Newton ou simplement en développant. CiCi-dessous, on procède par développement:𝑓(𝑥)=(2𝑥+1)=(2𝑥+1)4𝑥+4𝑥+1=8𝑥+8𝑥+2𝑥+4𝑥+4𝑥+1=8𝑥+12𝑥+6𝑥+1.

On peut maintenant utiliser la formule de la dérivée d’une puissance, dd𝑥𝑥=𝑛𝑥, pour dériver chaque terme comme suit:𝑓(𝑥)=3(8)𝑥+2(12)𝑥+6=24𝑥+24𝑥+6.

Partie 2

En utilisant la formule de la dérivée d’une puissance, on peut facilement trouver les dérivées de 𝑔 et comme suit:𝑔(𝑥)=3𝑥,(𝑥)=2.

Partie 3

On souhaite trouver une expression de 𝑓 en fonction de , 𝑔 et . Pour ce faire, on commence par factoriser l’expression de 𝑓 que l’on a trouvée dans la partie 1. On commence par factoriser par le facteur commun 6 de l’expression:𝑓(𝑥)=64𝑥+4𝑥+1.

On peut maintenant factoriser l’expression entre parenthèses comme suit:𝑓(𝑥)=6(2𝑥+1).

Comme (𝑥)=2𝑥+1, on peut le réécrire comme 𝑓(𝑥)=6((𝑥)).

En outre, on sait que 𝑔(𝑥)=3𝑥, par conséquent, 𝑓(𝑥)=2𝑔((𝑥)).

Enfin, comme (𝑥)=2, on a 𝑓(𝑥)=(𝑥)𝑔((𝑥)).

Dans la question précédente, nous avions une fonction 𝑓 définie comme la composition de deux fonctions 𝑔 et ;c’est-à-dire 𝑓(𝑥)=𝑔((𝑥)).

Nous avons trouvé que la dérivée de cette fonction était donnée par 𝑓(𝑥)=(𝑥)𝑔((𝑥)).

Bien que nous l’ayons trouvée pour deux fonctions spécifiques, cette formule se généralise à toute composition de fonctions dérivables;ce résultat est appelé formule de la dérivée d’une composée.

Formule de la dérivée d’une composée

Soient une fonction (𝑥) dérivable en 𝑥=𝑥 et une fonction 𝑔(𝑢) dérivable en (𝑥), leur composition 𝑓=𝑔 définie par 𝑓(𝑥)=𝑔((𝑥)) est dérivable en 𝑥 et sa dérivée 𝑓(𝑥) est donnée par 𝑓(𝑥)=(𝑥)𝑔((𝑥)).

On peut l’écrire en notation de Leibniz comme dddddd𝑦𝑥=𝑦𝑢𝑢𝑥,𝑦=𝑔(𝑢) et 𝑢=(𝑥).

L’avantage de l’utilisation de la notation de Leibniz est qu’elle rend en quelque sorte la formule de la dérivée d’une composée très intuitive, car les notations fractionnaires sur le membre droit de l’équation se simplifient formellement en l’expression sur le membre gauche.

Soit Δ𝑢 la variation de 𝑢 suite à une petite variation de 𝑥, Δ𝑥, que l’on peut écrire comme Δ𝑢=(𝑥+Δ𝑥)(𝑥).

Cette variation de 𝑢 entraîne une variation correspondante de 𝑦:Δ𝑦=𝑔(𝑢+Δ𝑢)𝑔(𝑢).

On peut maintenant considérer le quotient des différences Δ𝑦Δ𝑥; si Δ𝑢0, on peut multiplier le numérateur et le dénominateur par Δ𝑢 pour obtenir Δ𝑦Δ𝑥=Δ𝑦Δ𝑢Δ𝑢Δ𝑥.

On peut alors prendre les limites quand Δ𝑥0 et arriver à l’expression de la formule de la dérivée d’une composée. Ce raisonnement n’est pas assez fort pour une démonstration, car il est possible que Δ𝑢 soit nulle même si Δ𝑥0. Par conséquent, pour prouver la formule de la dérivée d’une composée, on doit faire attention à ce point. Cependant, un raisonnement comme celui-ci démontre à quel point la formule de la dérivée d’une composée est raisonnable et intuitive.

Considérons un exemple où nous appliquons la formule de la dérivée d’une composée en utilisant la notation de Leibniz.

Exemple 2: Déterminer des dérivées à l’aide de la formule de la dérivée d’une composée

Déterminez la dérivée de 𝑦=2𝑥3𝑥+4.

Réponse

Un exemple comme celui-ci démontre vraiment l’importance de la formule de la dérivée d’une composée. Il est bien sûr possible de développer les parenthèses et d’obtenir une expression polynomiale longue. Cependant, cela entraînerait une quantité considérable de calculs. Au lieu de cela, on peut appliquer la formule de la dérivée d’une composée qui se révèle beaucoup plus simple et moins sujette aux erreurs.

On commence par identifier les deux fonctions à composer. Soit 𝑢=2𝑥3𝑥+4, puis 𝑦=𝑢. On trouve maintenant les dérivées de dd𝑦𝑢 et dd𝑢𝑥. En utilisant la formule de la dérivée d’une puissance, on a dddd𝑢𝑥=4𝑥3,𝑦𝑢=55𝑢.

En les substituant dans la formule de la dérivée d’une composée 𝑢=2𝑥3𝑥+4 on peut trouver la dérivée de dd𝑦𝑢 comme suit:dd𝑦𝑢=552𝑥3𝑥+4.

En les substituant dans la formule de la dérivée d’une composée dddddd𝑦𝑥=𝑦𝑢𝑢𝑥, on peut trouver la dérivée de 𝑦 comme suit:𝑦=552𝑥3𝑥+4(4𝑥3).

Comme nous avons pu le voir dans cet exemple, l’une des compétences clés dans l’application de la formule de la dérivée d’une composée est d’identifier la composition de la fonction.

Considérons un autre exemple où nous appliquons la formule de la dérivée d’une composée. Dans cet exemple, nous utiliserons la notation prime plutôt que la notation de Leibniz pour la formule de la dérivée d’une composée.

Exemple 3: En utilisant la formule de la dérivée d’une composée

Détermine la dérivée de 𝑓(𝑥)=22𝑥1.

Réponse

La fonction 𝑓 est la composition de deux fonctions. Nous devons d’abord identifier le bon choix des deux fonctions à composer. Dans ce cas, le choix naturel de la première fonction est (𝑥)=2𝑥1, qui donne une deuxième fonction de 𝑔(𝑢)=2𝑢. On peut maintenant trouver les dérivées de 𝑔 et . En utilisant la formule de la dérivée d’une puissance, la dérivée de est simplement (𝑥)=2.

De même, nous pouvons utiliser la formule de la dérivée d’une puissance pour trouver la dérivée de 𝑔:𝑔(𝑢)=2𝑢=2𝑢=2×12𝑢=1𝑢.

En les substituant dans la formule de la dérivée d’une composée, 𝑓(𝑥)=(𝑥)𝑔((𝑥)), on peut trouver la dérivée de 𝑓 comme suit:𝑓(𝑥)=212𝑥1=22𝑥1.

Dans l’exemple précédent, il y avait un choix apparent pour les deux fonctions à composer à la formule de la dérivée d’une composée. Souvent, il y a un choix naturel;cependant, nous constatons parfois qu’il y a plus d’un choix possible. Dans ces cas, nous essayons de choisir les fonctions pour minimiser le travail que nous devons effectuer. Considérons un exemple où nous devons examiner avec soin notre choix des deux fonctions à composer.

Exemple 4: Déterminer la dérivée en un point en utilisant la formule de la dérivée d’une composée

Calculez dd𝑦𝑥 pour 𝑥=1, 𝑦=14𝑥1.

Réponse

Pour une question comme celle-ci, on a plus d’un choix possible pour les fonctions à composer. On pourrait choisir la première fonction comme 𝑢=4𝑥1, ce qui donnerait une deuxième fonction de 𝑦=1𝑢 ou on pourrait choisir la première fonction de 𝑢=4𝑥1, ce qui donnerait 𝑦=1𝑢 comme deuxième fonction. Si on choisit le premier exemple, on se rend compte que l’on doit appliquer la formule de la dérivée d’une composée une deuxième fois pour trouver la dérivée de 4𝑥1;pour cette raison, le deuxième choix de fonctions est plus simple car il ne nécessite qu’une seule application de la formule de la dérivée d’une composée. Par conséquent, on définit 𝑢=4𝑥1 et 𝑦=1𝑢. En utilisant la formule de la dérivée d’une puissance, on peut trouver les dérivées de dd𝑦𝑢 et dd𝑢𝑥 comme suit:dddd𝑢𝑥=12𝑥,𝑦𝑢=1𝑢=𝑢=12𝑢=12𝑢.

Remplacer 𝑢 avec 4𝑥1 dans l’expression dd𝑦𝑢, on obtient dd𝑦𝑢=12(4𝑥1).

En les substituant dans la formule de la dérivée d’une composée, dddddd𝑦𝑥=𝑦𝑢𝑢𝑥, on a dd𝑦𝑥=12(4𝑥1)12𝑥=6𝑥(4𝑥1).

On peut maintenant l’évaluer pour 𝑥=1 comme suit:dd𝑦𝑥=6(41)=633=233.

Parfois, nous devons appliquer la formule de la dérivée d’une composée dans des situations où nous n’avons pas d’expression d’une fonction particulière, mais nous avons des informations sur la valeur de la dérivée en un point donné. La question suivante en est un exemple.

Exemple 5: Utiliser la formule de la dérivée d’une composée avec des fonctions inconnues

Sachant que 𝑦=𝑓(𝑥), 𝑓(4)=2, et 𝑓(4)=7, déterminez dd𝑦𝑥 pour 𝑥=4.

Réponse

Sachant que 𝑦=𝑓(𝑥), on peut appliquer la formule de la dérivée d’une composée pour déterminer la dérivée où la première fonction est 𝑢=𝑓(𝑥) et la deuxième fonction est 𝑦=𝑢. On commence par calculer les dérivées dd𝑦𝑢 et dd𝑢𝑥 comme suit:dddd𝑦𝑢=12𝑢,𝑢𝑥=𝑓(𝑥).

On peut maintenant substituer ces expressions dans la formule de la dérivée d’une composée comme suit:dddddd𝑦𝑥=𝑦𝑢𝑢𝑥=12𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥)2𝑓(𝑥).

Pour l’évaluer en 𝑥=4, on a dd𝑦𝑥|||=𝑓(4)2𝑓(4).

En remplaçant par 𝑓(4)=2 et 𝑓(4)=7, on obtient dd𝑦𝑥|||=227=77.

Dans le dernier exemple, nous allons étudier une fonction qui est la composition de plusieurs fonctions.

Exemple 6: Appliquer la formule de la dérivée d’une composée plusieurs fois

Déterminez la dérivée de la fonction 𝑦=𝑥+𝑥+𝑥.

Réponse

La première chose que l’on doit faire est d’identifier les fonctions à composer. On définit 𝑢=𝑥+𝑥+𝑥;puis 𝑦=𝑢. On peut maintenant trouver les dérivées de chacune de ces fonctions et appliquer la formule de la dérivée d’une composée. On commence par trouver la dérivée dd𝑦𝑢 comme suit:dd𝑦𝑢=12𝑢.

On doit maintenant trouver la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥. Le premier terme est facile à dériver, mais le deuxième terme est une composition de fonctions. Ainsi, pour trouver la dérivée de ce terme, on doit appliquer la formule de la dérivée d’une composée. On commence par écrire dddd𝑢𝑥=1+𝑥𝑥+𝑥.

On définit 𝑧=𝑥+𝑥;on peut alors définir la première fonction comme 𝑣=𝑥+𝑥, ce qui donne la deuxième fonction 𝑧=𝑣. La définition de 𝑧 correspond exactement à la définition de 𝑦. Par conséquent, sa dérivée est dd𝑧𝑣=12𝑣.

On peut maintenant trouver la dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑥, ce que l’on peut facilement faire en utilisant la formule de la dérivée d’un produit comme suit:dd𝑣𝑥=1+12𝑥=2𝑥+12𝑥.

On peut maintenant appliquer la formule de la dérivée d’une composée à 𝑧 pour obtenir dddddd𝑧𝑥=𝑧𝑣𝑣𝑥=12𝑥+𝑥2𝑥+12𝑥=2𝑥+14𝑥𝑥+𝑥.

En substituant cela dans l’expression de dd𝑢𝑥, on a dd𝑢𝑥=1+2𝑥+14𝑥𝑥+𝑥=4𝑥𝑥+𝑥+2𝑥+14𝑥𝑥+𝑥.

On peut maintenant appliquer la formule de la dérivée d’une composée à 𝑦 comme suit:dddddd𝑦𝑥=𝑦𝑢𝑢𝑥=12𝑥+𝑥+𝑥4𝑥𝑥+𝑥+2𝑥+14𝑥𝑥+𝑥=4𝑥𝑥+𝑥+2𝑥+18𝑥𝑥+𝑥𝑥+𝑥+𝑥.

Lorsque nous appliquons la formule de la dérivée d’une composée plusieurs fois, nous devons appliquer une approche descendante comme si nous retirions les couches d’un oignon. Par conséquent, nous devons trouver la fonction la plus externe, puis nous occuper de la fonction interne qui pourrait nécessiter une nouvelle application de la formule de la dérivée d’une composée.

Récapitulons quelques points importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • La formule de la dérivée d’une composée stipule que, pour une fonction dérivable en 𝑥 et une fonction 𝑔 dérivable en (𝑥), leur composition 𝑓=𝑔 définie par 𝑓(𝑥)=𝑔((𝑥)) est dérivable en 𝑥 et sa dérivée 𝑓 est donnée par 𝑓(𝑥)=(𝑥)𝑔((𝑥)). On peut écrire cela en notation de Leibniz comme dddddd𝑦𝑥=𝑦𝑢𝑢𝑥,𝑦=𝑔(𝑢) et 𝑢=(𝑥).
  • Parfois, nous constatons qu’il y a plus d’un choix possible. Dans ces cas, nous essayons de choisir les fonctions pour minimiser le travail que nous devons faire.
  • Lorsque nous dérivons la composition de trois fonctions ou plus, nous devons appliquer la formule de la dérivée d’une composée plusieurs fois. Nous commençons par la deuxième fonction la plus appropriée, et la dérivée de la première fonction nécessitera une formule de la dérivée d’une composée supplémentaire.

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