Video Transcript
On pose 𝑦 égale deux 𝑥 plus sinus de trois 𝑥, déterminez la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥.
On doit déterminer une expression de la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Et on peut voir que dans ce cas, 𝑦 est la somme de deux fonctions. Il s’agit de deux 𝑥 plus sinus de trois 𝑥. Il s’avère qu’on sait comment dériver individuellement chacun de ces deux termes. Donc, pour dériver cette fonction, on peut simplement dériver un terme à la fois. Pour cela, on sépare d𝑦 sur d𝑥 en deux parties, de sorte que notre dérivée de deux 𝑥 plus sinus de trois 𝑥 par rapport à 𝑥 devient la dérivée de deux 𝑥 par rapport à 𝑥 plus la dérivée du sinus trois 𝑥 par rapport à 𝑥.
Il existe plusieurs façons de déterminer la dérivée de deux 𝑥 par rapport à 𝑥. Par exemple, on peut l’écrire deux 𝑥 puissance un et utiliser la règle de dérivation d’une puissance. Mais on peut aussi utiliser le fait que deux 𝑥 est une fonction affine. On sait que la pente d’une fonction affine correspond au coefficient de 𝑥. Cela signifie que pour toute constante réelle 𝑎, la dérivée de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est simplement égale à 𝑎. Donc, plutôt que d’utiliser la règle de dérivation d’une puissance, on écrit simplement que la dérivée de ce terme est le coefficient de 𝑥, qui est égal à deux.
Pour la dérivée du second terme, on remarque qu’il s’agit d’une fonction trigonométrique dont la dérivée fait partie des dérivées usuelles à connaître par cœur. On sait que pour toute constante réelle 𝑎, la dérivée du sinus 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 cosinus 𝑎𝑥. Ici, le coefficient de 𝑥 est trois. Donc, on pose 𝑎 égale trois.
On applique cette formule avec notre valeur de trois pour 𝑎 et on obtient trois cos trois 𝑥. Il s’agit de notre réponse finale. On a montré que si 𝑦 est égal à deux 𝑥 plus le sinus de trois 𝑥, alors d𝑦 sur d𝑥 est égal à deux plus trois cos trois 𝑥.
