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Sachant que 𝑥 est égal à moins deux est une racine de l’équation 𝑥 au carré moins quatre 𝑚𝑥 moins 𝑚 au carré moins six est égal à zéro, déterminez l’ensemble des valeurs possibles de 𝑚.
Dans cette question, on nous donne une équation du second degré 𝑥 au carré moins quatre 𝑚𝑥 moins 𝑚 au carré moins six est égal à zéro et on nous dit qu’une racine ou une solution de cette équation est 𝑥 est égal à moins deux. Ceci signifie que lorsque nous remplaçons 𝑥 par moins deux dans le membre de gauche, le résultat est égal à zéro. Moins deux au carré moins quatre multiplié par 𝑚 multiplié par moins deux moins 𝑚 au carré moins six est égal à zéro.
Mettre au carré moins deux nous donne quatre. Multiplier moins quatre 𝑚 par moins deux nous donne huit 𝑚. Et développer les parenthèsse en multipliant moins un par 𝑚 au carré moins six nous donne moins 𝑚 au carré plus six. Quatre plus huit 𝑚 moins 𝑚 au carré plus six est égal à zéro. Ceci peut être réécrit comme moins 𝑚 au carré plus huit 𝑚 plus 10 est égal à zéro.
Nous avons maintenant une équation du second degré sous la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes et 𝑎 est différent de zéro. Nous pouvons résoudre une équation de ce type en utilisant la formule des racines du polynôme su second degré qui stipule que 𝑥 est égal à moins 𝑏 plus ou moins la racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 le tout divisé par deux 𝑎. Dans cette question, nous pouvons utiliser la formule des racines du polynôme du second degré pour trouver l’ensemble des valeurs possibles pour 𝑚. Nous avons les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 qui sont respectivement moins un, huit et 10.
En remplaçant par ces valeurs, nous avons que 𝑚 est égal à moins huit plus ou moins la racine carrée de huit au carré moins quatre multiplié par moins un multiplié par 10 le tout divisé par deux multiplié par moins un. Huit au carré est égal à 64. Et moins quatre multiplié par moins un multiplié par 10 est égal à 40. 𝑚 est donc égal à moins huit plus ou moins la racine carrée de 104 divisé par moins deux. En utilisant nos propriétés des radicaux, nous pouvons réécrire la racine carrée de 104 comme la racine carrée de quatre multipliée par la racine carrée de 26. Et puisque la racine carrée de quatre est deux, cela équivaut à deux fois racine de 26.
Il y a deux valeurs possibles pour 𝑚. Soit 𝑚 est égal à moins huit plus deux racine de 26 sur moins deux, soit 𝑚 est égal à moins huit moins deux racine de 26 sur moins deux. Dans les deux cas, nous pouvons diviser par moins deux, ce qui nous donne que 𝑚 est égal à quatre moins la racine carrée de 26 et 𝑚 est égal à quatre plus la racine carrée de 26. Ce sont les deux valeurs possibles de 𝑚 telles que 𝑥 est égal à moins deux est une racine de l’équation 𝑥 au carré moins quatre 𝑚𝑥 moins 𝑚 au carré moins six est égal à zéro.
