Video Transcript
Un corps de masse 8,1 kilogrammes est au repos sur un plan lisse incliné d’un angle 𝛼 par rapport à l’horizontale où tangente 𝛼 est égale à quatre tiers. Le corps est relié à l’extrémité d’une corde passant par une poulie fixée en haut du plan. À l’autre extrémité de la corde, un corps de 26,9 kilogrammes est suspendu librement. Le système est libéré du repos et commence à bouger. Et deux secondes plus tard, la corde s’est rompue. Trouvez la distance dont le corps a monté sur le plan après la rupture de la corde et avant qu’il ne soit au repos temporairement. Prenez 𝑔 égale a 9,8 mètres par seconde au carré.
Commençons par écrire les informations qui nous ont été données. La masse sur le plan incliné, que nous pouvons appeler 𝑚 un, est égale à 8,1 kilogrammes. La masse à l’autre extrémité de la corde, que nous pouvons appeler 𝑚 deux, est égale à 26,9 kilogrammes. 𝑚 un est situé sur un plan incliné d’un angle 𝛼, où la tangente de l’angle 𝛼 est égale à quatre tiers. On nous dit également qu’il y a un intervalle de temps de deux secondes, que nous appellerons 𝑡, pendant lequel les deux masses sont reliées par une corde et se déplacent avec la masse un sur le plan. On nous dit également de prendre l’accélération due à la gravité 𝑔 égale à 9,8 mètres par seconde au carré.
Voici un schéma du système. Nous avons deux masses, 𝑚 un et 𝑚 deux, reliées par une corde qui passe sur une poulie sans frottement. On nous dit que le plan sur lequel 𝑚 un se trouve est lisse, ce qui signifie qu’il n’y a pas de frottement entre ce plan et la masse 𝑚 un. Dans ces conditions, si nous libérons ce système du repos, 𝑚 deux descendra et 𝑚 un remontera le plan. On nous dit que cela dure deux secondes, et après cela, la corde qui relie les deux masses s’est rompue.
Après cela, 𝑚 deux n’est plus capable de tirer 𝑚 un vers le haut du plan. 𝑚 un se déplace simplement avec sa propre inertie. Après que la corde s’est rompue, en raison de son inertie, 𝑚 un continue à monter le plan avec une distance que nous pouvons appeler 𝑑. C’est cette distance 𝑑 que nous cherchons. Au début, plaçons deux axes de coordonnées sur le schéma, avec le mouvement 𝑥 positif un mouvement vers le haut du plan et le mouvement 𝑦 positif un mouvement perpendiculaire à celui-ci.
Maintenant, c’est 𝑚 un dont le mouvement nous intéresse en premier lieu. Commençons donc par tracer les forces qui agissent sur 𝑚 un. Dans le premier cas, il y a la force de gravité sur 𝑚 un. Cette force est égale à 𝑚 un fois 𝑔. Il y a aussi une force normale qui pousse 𝑚 un loin du plan. Et enfin, il y a une force sur 𝑚 un due à la tension dans la corde. Nous pouvons appeler cette force 𝑇 majuscule. En rappelant la deuxième loi de Newton, à savoir que la force nette sur corps est égale à sa masse multipliée par son accélération, nous pouvons appliquer cette loi aux forces agissant sur 𝑚 un dans la direction 𝑥.
Les deux forces agissant sur 𝑚 un avec des composantes dans cette direction sont la force de tension 𝑇 et la force du poids 𝑚 un fois 𝑔. Compte tenu de la force du poids, nous pouvons décomposer cette force en des composantes 𝑦 et 𝑥, formant un triangle rectangle où l’angle dans le coin supérieur de ce triangle est égal à 𝛼. Ainsi, la composante 𝑥 de la force gravitationnelle est égale à 𝑚 un fois 𝑔 fois le sinus de l’angle 𝛼. Ainsi, avec la deuxième loi de Newton, nous pouvons écrire que la force de tension 𝑇 moins 𝑚 un 𝑔 fois le sinus de 𝛼 est égale à la masse du système multipliée par son accélération 𝑎. Mais quelle est cette tension ? Et quelle est la masse du système ?
Peut-être que c’est juste 𝑚 un. Peut-être que c’est juste 𝑚 deux. En observant le schéma, nous voyons que le système inclut essentiellement la deuxième masse 𝑚 deux. C’est cette masse qui crée une tension dans la corde et qui fournit ensuite la force de tension que nous avons appelée 𝑇. Plus précisément, c’est la force du poids de la masse deux qui fournit cette tension. Nous pouvons donc remplacer 𝑇 dans l’équation par 𝑚 deux fois 𝑔. Et puisque les deux masses 𝑚 deux et 𝑚 un sont en mouvement ensemble tant que la corde est intacte, la masse du système est égale à la somme de 𝑚 un et 𝑚 deux.
Si nous réarrangeons algébriquement toute cette expression afin de trouver l’accélération 𝑎, nous constatons qu’elle est égale à 𝑔 fois la quantité 𝑚 deux moins 𝑚 un sinus 𝛼 divisé par la somme des deux masses. Cette accélération 𝑎 est l’accélération de 𝑚 un pendant qu’elle monte le plan sous l’effet de la tension de la corde. Mais nous savons que cette tension de corde n’est pas en place pour toujours. Après deux secondes, cette tension disparaît lorsque la corde s’est rompue.
Donc, vraiment, ce que nous aimerions pouvoir trouver, c’est la vitesse de 𝑚 un, nous l’appellerons 𝑣, lorsque le temps est égal à deux secondes ; c’est-à-dire à l’instant où la corde s’est rompue. Maintenant que nous regardons l’accélération de la masse 𝑚 un sous l’effet de la tension de la corde, nous voyons que cette accélération est composée de termes constants ; c’est-à-dire des termes qui ne changent pas avec le temps. Cela implique que l’accélération elle-même est constante, ce qui signifie que nous pourrions utiliser le fait que l’accélération est égale à la variation de vitesse sur la variation de temps.
Puisque le système de masses commence au repos, cela signifie que la vitesse de la masse un au temps 𝑡 égal à deux secondes est égale à Δ𝑣 et que Δ𝑡 est égale à deux secondes. Cela signifie que nous pouvons prendre l’expression de 𝑣 lorsque 𝑡 est égal à deux secondes, la diviser par 𝑡 et la substituer par 𝑎 dans notre équation. Lorsque nous faisons cela, puis que nous multiplions les deux membres de l’équation par le temps 𝑡, nous trouvons cette expression pour la vitesse de 𝑚 un à l’instant où la corde s’est rompue. À cet instant, les conditions de cette situation changent considérablement. Il n’y a plus de force de tension agissant sur 𝑚 un.
En fait, nous pouvons appeler cette vitesse de 𝑚 un à cet instant dans le temps 𝑣 indice 𝑖, la vitesse de 𝑚 un à l’instant où la corde s’est rompue. Dans ces nouvelles conditions, lorsque la corde ne relie plus les deux masses, nous pouvons redessiner notre schéma pour refléter cette nouvelle information. La masse deux n’est plus sur l’image car les deux masses ne sont pas connectées. De même, il n’y a plus de force de tension 𝑇 car la corde n’est pas intacte. Cela signifie que maintenant, du point de vue de la force, la seule force agissant sur 𝑚 un dans la direction 𝑥 est la composante de la force du poids dans le plan.
Rappelons que la composante de la force du poids est 𝑚 un 𝑔 fois le sinus de 𝛼. Comme il n’y a plus de force de tension agissant sur 𝑚 un, nous pouvons réappliquer la deuxième loi de Newton à 𝑚 un pour les forces dans la direction 𝑥. Maintenant, nous pouvons écrire que moins 𝑚 un 𝑔 fois le sinus de 𝛼 est égal à la masse de notre système, maintenant juste 𝑚 un, fois son accélération, que nous avons appelée 𝑎 indice 𝑎 pour symboliser que c’est son accélération après que la corde s’est rompue.
𝑚 indice un est un facteur commun aux deux membres et s’élimine donc. Nous voyons donc que l’accélération de la masse un après que la corde s’est rompue est égale à moins 𝑔 fois le sinus de 𝛼. Maintenant, tous les termes de ce membre de l’équation sont constants. 𝑔 ne change pas et l’angle 𝛼 non plus, ce qui signifie que cette accélération est également constante. Cela signifie que nous pouvons dessiner un ensemble d’équations appelées équations du mouvement, qui s’appliquent chaque fois que l’accélération est constante.
L’une de ces quatre équations considère que la vitesse finale au carré d’un objet est égale à sa vitesse initiale au carré plus deux fois le temps et le déplacement. Lorsque nous appliquons cette relation à cette situation, car nous voulons trouver la distance maximale 𝑚 un se déplace vers le haut du plan, sa vitesse finale est nulle. 𝑣 indice 𝑖, sa vitesse initiale ; c’est-à-dire sa vitesse au moment où la corde s’est rompue, est quelque chose que nous avons résolu en fonction des variables. Son accélération 𝑎 est 𝑎 indice 𝑎, l’accélération après que la corde s’est rompue. Et la distance 𝑑 est ce que nous voulons trouver.
Lorsque nous réarrangeons cette équation algébriquement pour trouver 𝑑, nous constatons qu’elle est égale à moins 𝑣 indice 𝑖 au carré sur deux 𝑎 indice 𝑎. Si nous calculons 𝑣 indice 𝑖 et 𝑎 indice 𝑎, nous pouvons voir dans cette expression qu’un facteur commun de l’accélération gravitationnelle 𝑔 s’annule au numérateur et au dénominateur, de même que le signe moins au numérateur et au dénominateur. Maintenant que nous avons écrit notre équation pour 𝑑, nous pouvons nous préparer à utiliser chacune des valeurs de cette expression.
En examinant ces termes un par un, nous voyons que l’accélération due à la gravité 𝑔 nous est donnée dans l’énoncé du problème, de même que la valeur du temps 𝑡. 𝑚 deux et 𝑚 un sont également donnés en kilogrammes, ce qui signifie que la seule inconnue restante est le sinus de 𝛼. Maintenant, nous ne connaissons pas le sinus de 𝛼, mais nous savons que la tangente de cet angle est égale à quatre tiers. Si nous on dessine un triangle rectangle et étiqueter l’hypoténuse par ℎ et les deux côtés par 𝑥 et 𝑦, alors si 𝜃 était l’angle dans le coin inférieur gauche, cela signifierait que la tangente de cet angle 𝜃 est égale à 𝑦 sur 𝑥.
Maintenant, dans ce triangle avec l’angle 𝛼, on nous dit que la tangente de cet angle est égale à quatre divisé par trois. Puisqu’il s’agit d’un triangle rectangle, nous pouvons dire que l’hypoténuse ℎ aura une valeur de cinq. C’est un triangle 3 : 4 : 5. Cela signifie que nous sommes maintenant en mesure de savoir quel est le sinus de 𝛼. C’est égal à 𝑦 sur ℎ ou à quatre sur cinq. Avec cela, nous sommes prêts à calculer et à trouver 𝑑. Avec nos valeurs pour 𝑔, 𝑡, 𝑚 deux, 𝑚 un et le sinus de 𝛼, nous sommes prêts à taper tous ces termes sur notre calculatrice.
Lorsque nous le faisons, nous obtenons 𝑑 est égale à 8,34 mètres. C’est la distance à laquelle 𝑚 glisse vers le haut du plan après que la corde s’est rompue et avant qu’il ne s’arrête.
