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Si 𝑛P15 est égal à 23 fois 𝑛 moins un A14, trouvez 𝑛.
Nous avons une équation avec deux arrangements différents dans chaque membre. À gauche, on a un ensemble de taille 𝑛 et à droite un ensemble de taille 𝑛 moins un. À gauche, nous choisissons 15 objets et à droite, nous en choisissons 14, soit 15 moins un. Nous avons en fait une propriété des arrangements qui s’applique à cette situation. Elle nous dit que 𝑛A𝑟 est égal à 𝑛 fois 𝑛 moins un A𝑟 moins un. Dans notre question, nous avons 𝑛 et 𝑛 moins un, puis 𝑟 et 𝑟 moins un. Et cela signifie que la valeur de 𝑛 sera égale au coefficient de cet autre arrangement soit dans notre cas, 23. Et par conséquent, nous pouvons dire que 𝑛 est égal à 23. Mais vous pourriez vous demander que faire si vous ne vous souvenez pas de cette propriété? Y a-t-il un autre moyen de trouver la solution?
Si nous savons que 𝑛A𝑟 est égal à factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑛 moins 𝑟, nous avons donc à gauche factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑛 moins 15. Et à droite, nous avons 23 fois factorielle 𝑛 moins un sur factorielle 𝑛 moins un moins 14, où 𝑛 moins un est dans la position de 𝑛 et 14 dans la position de 𝑟. Nous pouvons simplifier un peu le membre de droite pour avoir 23 fois factorielle 𝑛 moins un sur factorielle 𝑛 moins 15. Puisque nous avons factorielle 𝑛 moins 15 aux dénominateurs des deux membres, nous pouvons multiplier les deux membres de l’équation par factorielle 𝑛 moins 15, ce qui éliminera ces termes. Et ainsi, nous avons que factorielle 𝑛 égale 23 fois factorielle 𝑛 moins un.
Mais nous connaissons également la définition de factorielle 𝑛. Et cela signifie que nous pouvons remplacer factorielle 𝑛 par 𝑛 fois factorielle 𝑛 moins un. Nous avons maintenant factorielle 𝑛 moins un des deux côtés de notre équation. Nous divisons donc les deux membres de notre équation par factorielle 𝑛 moins un. Et ce terme disparaît des deux membres, ce qui nous laisse que 𝑛 est égal à 23.
