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Vidéo de la leçon : Propriétés des arrangements Mathématiques

Dans cette leçon, nous allons apprendre comment utiliser les propriétés des arrangements pour simplifier des expressions et résoudre des équations.

11:50

Transcription de vidéo

Propriétés des arrangements

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser les propriétés des arrangements pour simplifier des expressions et résoudre des équations. Tout d’abord, revoyons ce que nous savons sur les arrangement. Un arrangement est une collection d’éléments dans lequel l’ordre est important et la répétition est interdite. On trouve également comme définition que les arrangements représentent le comptage sans remplacement selon un certain ordre. Nous calculons le nombre d’arrangements de 𝑟 éléments parmi 𝑛 formule, 𝑛A𝑟 est égal à factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑛 moins 𝑟. Étant donnés les entiers positifs 𝑛 et 𝑟 avec 𝑛 supérieur à 𝑟, 𝑛A𝑟 représente le nombre de façons différentes d’arranger 𝑟 objets parmi un total de 𝑛 objets distincts.

Il est également important de noter que d’autres notations sont couramment utilisées pour 𝑛A𝑟. Vous pouvez avoir un indice 𝑛 A indice 𝑟, ou A indice 𝑛 indice 𝑟, ou A indice 𝑛 virgule 𝑟, ou A 𝑛, 𝑟. Chacune de ces notations représente le nombre de façons différentes d’ordonner 𝑟 éléments d’un ensemble de 𝑛 éléments sans répétition. Maintenant, intéressons-nous aux propriétés de ces arrangements. 𝑛A𝑟, est égal à 𝑛 fois 𝑛 moins un A 𝑟 moins un.

Ainsi, si on prend cinq A trois, nous devrions trouver que c’est égal à cinq fois quatre A deux. Nous savons que 𝑛A𝑟 égale factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑛 moins 𝑟. Et donc nous pouvons réécrire cinq A trois comme factorielle cinq sur factorielle deux. De plus, nous pouvons réécrire quatre A deux comme factorielle quatre sur factorielle deux. En développant les factorielles de chaque membre de l’équation, nous constatons que c’est bien le cas. Les deux, cinq A trois et cinq fois quatre A deux, égalent 60.

Une propriété connexe des factorielles que nous utilisons souvent avec les arrangements est factorielle 𝑛 égale 𝑛 fois 𝑛 moins un factorielle, ce qui signifie que factorielle six est égal à six fois factorielle six moins un. Factorielle six égale six fois factorielle cinq. Nous pouvons à nouveau développer cette propriété pour dire que factorielle 𝑛 est égal à 𝑛 fois 𝑛 moins un fois factorielle 𝑛 moins deux. Si nous reprenons notre exemple de factorielle six, nous pouvons dire que c’est égal à six fois cinq fois factorielle quatre. Avant de poursuivre, notons également que factorielle zéro égale un, et factorielle un égale un également.

Nous pouvons maintenant considérer quelques exemples dans lesquels nous utiliserons la définition et les propriétés des arrangements.

Déterminez 123 A 10 sur 122 A neuf.

Nous avons une fraction où le numérateur et le dénominateur sont tous deux des arrangements sous la forme 𝑛A𝑟. Une façon de résoudre ce problème consiste à développer le numérateur et le dénominateur. Le numérateur 123 A 10 devient factorielle 123 sur factorielle 123 moins 10. Puis, nous divisons cela par factorielle 122 divisée par factorielle 122 moins neuf. En résolvant les soustractions, nous pouvons simplifier ces deux expressions en factorielle 113. Nous savons que diviser par une fraction revient à multiplier par l’inverse. Ainsi nos factorielle 113 au numérateur et au dénominateur se simplifient. Pour simplifier encore davantage, on peut dire que factorielle 𝑛 est égale à factorielle 𝑛 moins un. Et cela signifie que nous pouvons réécrire factorielle 123 comme 123 fois factorielle 122. Sous cette forme, nous pouvons rapidement voir que les factorielle 122 du numérateur et du dénominateur se simplifient, ce qui nous donne 123.

Cependant, il existe un moyen plus simple de résoudre ce problème en utilisant une propriété des arrangements. On sait que 𝑛A𝑟, elle sera égale à 𝑛 fois 𝑛 moins un A 𝑟 moins un. Par conséquent, 123 a 10 est égal à 123 fois 122 A neuf. En utilisant cette méthode, nous simplifier les 122 A neuf du numérateur et du dénominateur sans avoir à les développer sous forme factorielle. Dans les deux cas, nous voyons que 123 A 10 sur 123 A neuf est égal à 123.

Regardons un autre exemple.

Si 𝑛 A 15 égale 23 fois 𝑛 moins un A 14, déterminez 𝑛.

Dans notre équation, nous avons un nombre d’arrangements égal à 23 fois un autre nombre d’arrangements. Cette notation représente le nombre de façons différentes d’ordonner 𝑟 éléments parmi un ensemble de 𝑛 éléments sans répétition. Dans le membre de gauche de l’équation, nous avons 𝑛 éléments. Et dans le membre de droite, nous avons 𝑛 moins un éléments. Le nombre d’éléments que nous sélectionnons, 𝑟, dans le membre de gauche est 15. Et cela signifie que nous pourrions dire que dans le membre de droite, nous avons 𝑟 moins un, qui vaut 14. Cela signifie que notre équation correspond à la forme 𝑛A𝑟 est égal à 𝑛 fois 𝑛 moins un A 𝑟 moins un. Et 𝑛 doit donc être égal à 23. En substituant cela, nous obtenons 23 A 15 est égal à 23 fois 22A14.

Nous pouvons vérifier que ces valeurs sont équivalentes en utilisant une calculatrice ou un ordinateur. Ainsi, nous avons montré que, ici, 𝑛 est égal à 23. Passons au troisième exemple.

Si 49 A 𝑟 plus trois égale 34 fois 49 A 𝑟 plus deux, déterminez la valeur de factorielle 𝑟 moins six.

Une façon de résoudre cela consiste à écrire l’équation sous forme factorielle en utilisant la définition 𝑛A𝑟 égale factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑛 moins 𝑟. Ainsi 49 A 𝑟 plus trois devient factorielle 49 sur factorielle 49 moins 𝑟 plus trois. Faites attention, dans ce cas, notre 𝑟, le nombre d’éléments que nous choisissons, est 𝑟 plus trois et la soustraction s’applique donc à la fois à 𝑟 et à trois. L’autre membre de l’équation devient 34 fois factorielle 49 sur factorielle 49 moins 𝑟 plus deux. Nous avons factorielle 49 au numérateur des deux membres de l’équation, ce qui signifie que nous pouvons multiplier les deux membres de l’équation par un sur factorielle 49.

À gauche, il nous restera le numérateur un. Et pour le dénominateur, nous pouvons soustraire 𝑟 et soustraire trois de 49, ce qui nous donnera un sur factorielle 46 moins 𝑟. Le numérateur au membre de droite devient 34, et le dénominateur est factorielle 47 moins 𝑟. À ce stade ce que nous devons faire peut ne pas sembler évident. Mais puisque nous cherchons la valeur de 𝑟 on commence par mettre les termes en 𝑟 du même côté de l’équation. Nous allons donc multiplier les deux membres de l’équation par factorielle 47 moins 𝑟. Cela nous donne factorielle 47 moins 𝑟 sur factorielle 46 moins 𝑟 égale 34. Notre dénominateur est une factorielle inférieure de un de celle de notre numérateur.

Nous savons que factorielle 𝑛 est égal à 𝑛 fois factorielle 𝑛 moins un. Nous pouvons appliquer cette propriété ici, il faut faire attention. Dans notre cas, le 𝑛 est 47 moins 𝑟. Et cela signifie que factorielle 47 moins 𝑟 est égal à 47 moins 𝑟 fois factorielle 47 moins 𝑟 moins un. Nous pouvons écrire factorielle 47 moins 𝑟 comme 47 moins 𝑟 fois factorielle 46 moins 𝑟. Si nous substituons ceci dans le numérateur, la factorielle 46 moins 𝑟se simplifie. Il nous reste alors 47 moins 𝑟 égale 34. Si nous soustrayons 47 aux deux membres, nous trouvons que moins 𝑟 est égal à moins 13, ce qui donne 𝑟 égale 13. La dernière étape sera de calculer factorielle 𝑟 moins six, que nous connaissons maintenant comme étant factorielle 13 moins six. A la main ou avec une calculatrice on obtient factorielle sept égale 5,040.

Dans l’exemple suivant, nous allons résoudre une équation avec des factorielles et une permutation.

Si factorielle 𝑥 moins 47 fois 𝑥 A 47 égale 3 906 fois factorielle 𝑥 moins deux, déterminez la valeur de 𝑥.

Si nous regardons l’équation, nous avons une inconnue 𝑥 et deux factorielles, et 𝑥 représente la taille de l’ensemble à partir duquel nous calculons une permutation. Nous savons que 𝑛 A 𝑟, peut s’écrire factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑛 moins 𝑟, ce qui signifie que nous pouvons réécrire 𝑥 A 47 comme factorielle 𝑥 sur factorielle 𝑥 moins 47. Si nous écrivons le reste de l’équation, nous voyons que nous avons factorielle 𝑥 moins 47 au numérateur et au dénominateur dans le membre de gauche. Par conséquent, notre équation se simplifie en factorielle 𝑥 égale 3 906 fois factorielle 𝑥 moins deux.

Comme nous cherchons la valeur de 𝑥, nous regroupons les termes en 𝑥 du même côté de l’équation. Pour ce faire, nous divisons les deux membres de l’équation par factorielle 𝑥 moins deux. Et nous obtenons factorielle 𝑥 sur factorielle 𝑥 moins deux égale 3,906. À ce stade, il semble qu’il n’est pas possible de simplifier davantage. Mais rappelez-vous que factorielle 𝑛 peut s’écrire 𝑛 fois factorielle 𝑛 moins un. En fait, on peut aller plus loin et écrire 𝑛 factorielle égale 𝑛 fois 𝑛 moins un fois factorielle 𝑛 moins deux.

Ainsi, le numérateur, factorielle 𝑥, peut s’écrire 𝑥 fois 𝑥 moins un fois factorielle 𝑥 moins deux. Ainsi on retrouve le terme factorielle 𝑥 moins deux à la fois au numérateur et au dénominateur et on peut donc simplifier, ce qui nous donne 𝑥 fois 𝑥 moins un est égal à 3,906. Dans toute permutation, la valeur 𝑛 doit être un entier non négatif. Cela signifie que notre valeur 𝑥 est un entier. Nous recherchons donc un entier 𝑥, multiplié par lui-même moins un est égal à 3,906. Une stratégie pour le déterminer est d’utiliser votre calculatrice pour trouver la racine carrée de 3,906, qui vaut environ 62,5, en l’arrondissant à l’entier près cela donne 62. Nous divisons ensuite 3,906 par 62 et nous obtenons 63. Puisque 63 fois 62 est égal à 3906, on peut dire que 𝑥 est égal à 63.

Une autre façon de résoudre ce problème consiste à résoudre une équation du second degré en développant 𝑥 fois 𝑥 moins un. Puis en se ramenant à une équation égale à zéro, on peut la résoudre en utilisant les formules du second degré ou en factorisant. Si vous répondez à la question en utilisant les formules du second degré, il est important de noter que vous trouverez 𝑥 égal à deux valeurs différentes, et l’une de ces deux valeurs sera négative. Résoudre avec les formule du second degré donnera 𝑥 égal à 63 ou 𝑥 égal à moins 62. Le nombre moins 62 n’est pas possible car la valeur de 𝑥 doit être un entier positif. Nous ne pouvons pas avoir une valeur négative car une permutation représente le nombre de façons d’ordonner 𝑟 objets parmi un ensemble de 𝑛 objets distincts. Cela signifie que la seule option possible pour 𝑛 est 63. Vous pouvez également vérifier que cette valeur est correcte en replaçant 63 dans l’équation d’origine.

Pour terminer, passons en revue les points clés. Le nombre de permutations de taille 𝑟 obtenues à partir d’un ensemble de taille 𝑛 est donné par 𝑛A𝑟 égal à factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑛 moins 𝑟. En utilisant la propriété des factorielles qui nous dit que factorielle 𝑛 égale 𝑛 fois factorielle 𝑛 moins un, nous pouvons simplifier les expressions fractionnaires impliquant des permutations. Enfin, en utilisant la propriété des permutations qui dit que 𝑛A𝑟 est égal à 𝑛 fois 𝑛 moins un A 𝑟 moins un, nous pouvons simplifier certaines expressions impliquant des permutations.

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