Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Fiche explicative de la leçon : Propriétés des arrangements Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser les propriétés des arrangements pour simplifier des expressions et résoudre des équations.

On rappelle qu’une permutation est un réarrangement d’une collection d’objets. Imaginons par exemple que nous ayons les lettres A, B et C. Nous pouvons les arranger de différentes manières pour former ABC, BCA, BAC, etc. Chaque disposition différente est un exemple de permutation. Pour 𝑛 éléments disposés selon 𝑛 positions différentes, le nombre de dispositions possibles est 𝑛!. Ainsi, dans l’exemple des permutations de ABC, nous avons 3!=6 dispositions possibles.

En plus des permutations, nous pouvons considérer les arrangements. Imaginons par exemple que nous souhaitions disposer de différentes manières deux lettres parmi A, B et C. Avec deux lettres, nous pouvons former AB, BA, AC, etc. À nouveau, nous avons six possibilités, mais la formule pour calculer le nombre de possibilités est différente dans ce cas.

Nous rappelons en effet que le nombre de façons dont nous pouvons ordonner 𝑟 éléments parmi 𝑛 sans remise est donné par la formule suivante.

Définition: 𝑟-arrangements de 𝑛 éléments

Le nombre de façons dont nous pouvons ordonner 𝑟 éléments parmi 𝑛 sans remise est donné par 𝐴 (lire « 𝑛- 𝐴- 𝑟 » ou 𝑟-arrangements de 𝑛), qui est défini comme 𝐴=𝑛!(𝑛𝑟)!,𝑛!=𝑛×(𝑛1)×(𝑛2)××2×1.

Dans cette fiche explicative, nous traiterons uniquement des problèmes impliquant des arrangements, ce qui signifie qu’ils impliqueront 𝐴. Notons que sur la plupart des calculatrices, il existe une fonction pour calculer 𝐴 directement, donc nous pouvons généralement utiliser la calculatrice pour calculer cette valeur. Mais ce n’est pas toujours possible. En effet, le nombre d’arrangements peut facilement devenir très grand et dépasser les capacités de certaines calculatrices. C’est pourquoi il est important de savoir utiliser et manipuler la formule ci-dessus.

Commençons par considérer quelques propriétés de base des arrangements qui pourront nous être utiles.

Propriétés: Arrangements

Pour tout 𝑟-arrangement de 𝑛, 𝑛1, nous avons les propriétés suivantes:

  1. 𝐴=1
  2. 𝐴=𝑛
  3. 𝐴=𝑛!
  4. 𝐴=𝑛!

Nous pouvons obtenir chacune de ces propriétés en appliquant simplement la définition de 𝐴. Démontrons-les une par une.

Pour (i), nous posons 𝑟=0 dans la formule pour obtenir 𝐴=𝑛!(𝑛0)!=𝑛!𝑛!=1.

Pour (ii), nous posons 𝑟=1 dans la formule et nous utilisons la propriété 𝑛!=𝑛(𝑛1)! pour obtenir 𝐴=𝑛!(𝑛1)!=𝑛(𝑛1)!(𝑛1)!=𝑛.

Pour (iii), nous posons 𝑟=𝑛 dans la formule, ce qui donne 𝐴=𝑛!(𝑛𝑛)!=𝑛!0!=𝑛!.

Enfin, pour (iv), nous posons 𝑟=𝑛1 et nous obtenons 𝐴=𝑛!(𝑛(𝑛1))!=𝑛!1!=𝑛!.

Même si ces propriétés sont très faciles à retrouver, il vaut mieux les connaître par cœur car elles nous permettent d’abréger nos calculs. De plus, nous pouvons parfois les utiliser pour résoudre des problèmes qui impliquent des cas particuliers d’arrangements, comme nous le verrons dans l’exemple suivant.

Exemple 1: Utiliser les propriétés des arrangements pour déterminer la valeur d’une inconnue

Déterminez 𝑚 sachant que 𝐴=𝐴.

Réponse

L’équation donnée est exprimée en fonctions d’arrangements définis par 𝐴=𝑛!(𝑛𝑟)!.

Comme la valeur de 𝑛 n’est pas la même des deux côtés de l’équation, il peut nous sembler impossible au premier abord d’égaliser les deux membres. Cependant, rappelons la propriété des arrangements suivante:𝐴=1.

Ainsi, si 𝑟=0, alors les deux membres de l’équation sont simplement égaux à 1. Nous pouvons donc considérer les valeurs de 𝑚 pour lesquelles 𝑟 est nul. C’est-à-dire 𝑚+15=0𝑚=15.

Une autre technique qu’il faut connaître est d’utiliser les relations qui existent entre arrangements d’indices légèrement différents. Considérons par exemple 𝐴, qui est par définition égal à 𝐴=5!(53)!=5×4×3×2×12×1.

Remarquez qu’en sortant 5 du numérateur, nous obtenons un nombre d’arrangements différent. En effet, 𝐴=54×3×2×12×1=54!(42)!=5𝐴.

Nous avons donc montré que 𝐴=5𝐴. Il s’agit en fait d’une propriété générale valable pour tout 𝑟-arrangement de 𝑛, comme nous le décrivons ci-dessous.

Propriété: Relations entre les arrangements (partie 1)

Pour tout 𝑟-arrangement de 𝑛, 𝑛𝑟1, nous avons la propriété suivante:𝐴=𝑛𝐴.

Nous pouvons prouver cette relation en utilisant le fait que 𝑛!=𝑛(𝑛1)! comme suit:𝐴=𝑛!(𝑛𝑟)!=𝑛(𝑛1)!(𝑛𝑟)!=𝑛(𝑛1)!((𝑛1)(𝑟1))!=𝑛𝐴.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment utiliser cette relation pour déterminer la valeur d’une inconnue.

Exemple 2: Utiliser les propriétés des arrangements pour résoudre des équations

Sachant que 𝐴=23𝐴, déterminez 𝑛.

Réponse

En regardant attentivement l’expression qui nous a été donnée, on peut voir que les termes en 𝐴 sont étroitement liés. En effet, en allant du membre de gauche vers le membre de droite, 𝑛 devient 𝑛1 et 15 devient 14. Ceci nous suggère que nous pouvons utiliser la relation entre les arrangements:𝐴=𝑛𝐴.

En effet, si nous posons 𝑟=15, nous pouvons voir que nous avons presque exactement la même équation que celle donnée dans la question à l’exception de 𝑛=23 que l’on retrouve dans le membre de droite. Ainsi, on peut voir que 𝑛 doit être égal à 23.

Nous avons pu résoudre ce premier exemple relativement rapidement grâce à la relation entre les arrangements, mais cela ne sera pas toujours aussi simple. Nous allons maintenant voir qu’il est parfois nécessaire de faire preuve d’un peu plus de créativité pour résoudre certains problèmes.

Exemple 3: Évaluer des arrangements pour trouver les valeurs d’inconnues

Déterminez l’ensemble solution de l’équation 240𝐴=𝐴.

Réponse

Comme point de départ pour trouver l’ensemble solution, nous pouvons comparer 𝐴 et 𝐴 de part et d’autre de l’équation. Nous pouvons voir que les indices du côté gauche sont tous les deux diminués de 2 par rapport à ceux du côté droit. Nous rappelons que nous avons la propriété suivante pour relier les expressions 𝐴 d’indices similaires:𝐴=𝑛𝐴.

Il est vrai que cela ne s’applique qu’aux indices de 𝐴 diminués de un, mais rien ne nous empêche d’appliquer cette relation plusieurs fois de suite. En l’appliquant une seconde fois, nous obtenons 𝐴=𝑛(𝑛1)𝐴.

Si nous appliquons cette formule au membre de droite de l’équation qui nous a été donnée, nous obtenons 240𝐴=𝐴=(𝑥+4)(𝑥+3)𝐴.

Nous pouvons ensuite diviser par 𝐴 des deux côtés pour obtenir 240=(𝑥+4)(𝑥+3).

Il s’agit d’une équation du second degré que nous pouvons résoudre pour trouver la valeur de 𝑥 en développant le membre de droite et en rassemblant tous les termes sur un même côté avant de factoriser:(𝑥+4)(𝑥+3)=240𝑥+4𝑥+3𝑥+12240=0𝑥+7𝑥228=0(𝑥12)(𝑥+19)=0.

Nous avons factorisé le membre de droite en utilisant le fait que 12 et 19 sont des facteurs de 228, mais nous aurions aussi pu résoudre l’équation en utilisant la formule des racines du second degré ou la méthode de la complétion du carré, si cela nous avait semblé plus facile.

Enfin, nous pouvons résoudre cette équation en posant que les facteurs sont égaux à zéro, ce qui nous donne 𝑥12=0𝑥+19=0𝑥=12,𝑥=19.

Parmi ces deux solutions, notons que seule la valeur positive est valide, puisqu’il est requis que 𝑥+2 soit positif pour que 𝐴 soit une expression valide. Ainsi, l’ensemble solution est {12}.

Comme nous l’avons vu dans l’exemple précédent, nous pouvons étendre le champ d’application de la relation entre les arrangements en l’appliquant plusieurs fois de suite. Il existe par ailleurs d’autres relations entre arrangements, que nous décrivons ci-dessous.

Propriétés: Relations entre les arrangements (partie 2)

Pour tout 𝑟-arrangements de 𝑛, 𝑛𝑟1, nous avons les propriétés suivantes:

  1. 𝐴=𝑛𝐴
    =𝑛(𝑛1)𝐴
    =𝑛(𝑛1)(𝑛2)𝐴
  2. 𝐴=𝐴+𝑟𝐴
  3. 𝐴𝐴=𝑛𝑟+1

Comme nous l’avons vu plus haut, la première relation est une simple extension de la relation que nous connaissions déjà.

Pour (ii), nous pouvons prouver l’égalité en considérant le membre de droite et en le simplifiant:𝐴+𝑟𝐴=(𝑛1)!(𝑛1𝑟)!+𝑟(𝑛1)!(𝑛1(𝑟1))!=(𝑛1)!(𝑛𝑟1)!+𝑟(𝑛1)!(𝑛𝑟)!.

Pour additionner les deux fractions, nous devons les mettre sur le même dénominateur. Pour cela, nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur de la première fraction par (𝑛𝑟) et utiliser la propriété des factorielles selon laquelle (𝑛𝑟)!=(𝑛𝑟)(𝑛𝑟1)!:𝐴+𝑟𝐴=(𝑛𝑟)(𝑛1)!(𝑛𝑟)(𝑛𝑟1)!+𝑟(𝑛1)!(𝑛𝑟)!=(𝑛𝑟)(𝑛1)!+𝑟(𝑛1)!(𝑛𝑟)!=𝑛(𝑛1)!(𝑛𝑟)!=𝑛!(𝑛𝑟)!=𝐴.

Pour la relation (iii), nous pouvons utiliser les propriétés des factorielles pour simplifier le membre de gauche:𝐴𝐴=𝑛!(𝑛𝑟)!÷𝑛!(𝑛(𝑟1))!=𝑛!(𝑛𝑟+1)!(𝑛𝑟)!𝑛!=(𝑛𝑟+1)(𝑛𝑟)!(𝑛𝑟)!=𝑛𝑟+1.

Nous devons garder toutes ces formules en mémoire, même s’il convient de noter que pour beaucoup de problèmes, il sera plus pratique d’utiliser directement la définition de 𝐴 et les propriétés des factorielles pour les résoudre.

En particulier, la propriété principale des factorielles que nous continuerons à utiliser est 𝑛!=𝑛(𝑛1)!.

En cas de doute, on peut toujours essayer de réécrire les expressions en termes de factorielles et voir dans quelle mesure elles peuvent être simplifiées. Voyons cela dans un nouvel exemple.

Exemple 4: Déterminer des inconnues en considérant le quotient de deux arrangements

Sachant que 𝐴𝐴=27211, déterminez 𝑛!.

Réponse

La meilleure façon de commencer à résoudre ce problème est de rappeler que 𝐴=𝑛!(𝑛𝑟)!, ce qui implique que 𝐴=(2𝑛+1)!(2𝑛+16)!=(2𝑛+1)!(2𝑛5)!, et 𝐴=(2𝑛1)!(2𝑛+15)!=(2𝑛1)!(2𝑛4)!.

Nous nous intéressons au quotient de ces expressions, donc nous devons les comparer. Pour cela, nous pouvons utiliser la propriété des factorielles 𝑛!=𝑛(𝑛1)! (et par extension, 𝑛!=𝑛(𝑛1)(𝑛2)!). En utilisant ceci, nous pouvons réécrire la première expression comme suit:𝐴=(2𝑛+1)!(2𝑛5)!=(2𝑛+1)2𝑛(2𝑛1)!(2𝑛5)(2𝑛6)!=(2𝑛+1)2𝑛2𝑛5𝐴.

Par conséquent, en considérant le quotient donné des deux expressions, nous avons (2𝑛+1)2𝑛2𝑛5=27211.

Cela peut nous sembler difficile à résoudre;cependant, le fait que 𝑛 doive être un entier positif limite le nombre de possibilités à considérer. En effet, si nous considérons la possibilité que les numérateurs et les dénominateurs de ces fractions soient égaux, alors nous aurons simplement 2𝑛5=11,(2𝑛+1)2𝑛=272.

On résout la première équation en la réarrangeant pour obtenir 𝑛=8, ce qui peut être remplacé dans la seconde équation pour confirmer le fait que cette valeur satisfait aussi bien le dénominateur que le numérateur.

Enfin, on peut calculer 𝑛!=8! en utilisant une calculatrice, ce qui nous donne 40‎ ‎320.

Dans les deux prochains exemples, nous continuerons d’utiliser la définition de 𝐴 et les propriétés des factorielles pour résoudre des problèmes impliquant des arrangements en simplifiant nos équations jusqu’à obtenir des équations linéaires ou du second degré.

Exemple 5: Résoudre des équations comportant des arrangements

Sachant que (𝑥47)!×𝐴=3906(𝑥2)!, déterminez la valeur de 𝑥.

Réponse

On rappelle que 𝐴=𝑛!𝑛𝑟!. Nous avons donc 𝐴=(𝑥)!(𝑥47)!.

En remplaçant cela dans l’équation donnée dans l’énoncé, nous obtenons (𝑥47)!(𝑥)!(𝑥47)!=3906(𝑥2)!.

Nous éliminons ensuite les facteurs communs pour obtenir (𝑥)!=3906(𝑥2)!.

Puis, en utilisant la propriété des factorielles selon laquelle 𝑛!=𝑛(𝑛1)!, nous avons (𝑥)!=𝑥(𝑥1)!=𝑥(𝑥1)(𝑥2)!.

Nous remplaçons cela dans notre équation pour obtenir 𝑥(𝑥1)(𝑥2)!=3906(𝑥2)!.

En divisant par (𝑥2)! des deux côtés de l’équation, nous obtenons 𝑥(𝑥1)=3906.

Nous réarrangeons l’équation pour former l’équation du second degré suivante:𝑥𝑥3906=0.

En utilisant la formule des racines du second degré ou la factorisation, nous pouvons résoudre ceci pour trouver que 𝑥=63 ou 𝑥=62. Comme les factorielles et les arrangements ne sont définis que pour des entiers positifs, nous ne tenons pas compte de la solution 𝑥=62. Ainsi, 𝑥=63.

Exemple 6: Résoudre des équations comportant des arrangements

Déterminez la valeur de 𝑥 qui vérifie 𝐴3𝑥𝐴=0.

Réponse

En utilisant la définition de 𝐴, nous pouvons réécrire l’équation qui nous est donnée sous la forme 235!(235𝑥)!3𝑥235!(235(𝑥1))!=0.

Nous divisons ensuite par 235! pour réécrire ceci sous la forme 1(235𝑥)!3𝑥1(235𝑥+1)!=0.

Puis nous multiplions par (235𝑥+1)! pour obtenir (235𝑥+1)!(235𝑥)!3𝑥=0.

En utilisant le fait que (235𝑥+1)!=(235𝑥+1)(235𝑥)!, nous réécrivons notre équation sous la forme (235𝑥+1)(235𝑥)!(235𝑥)!3𝑥=0.

Nous éliminons le terme commun (235𝑥)! du numérateur et du dénominateur, ce qui nous donne (235𝑥+1)3𝑥=0.

En regroupant les termes semblables et en réarrangeant l’équation, nous obtenons 4𝑥=236.

Enfin, nous divisons par 4 pour obtenir 𝑥=59.

Pour finir, résumons les points les plus importants vus dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Pour résoudre des équations impliquant les nombres d’arrangements de 𝑟 éléments dans un ensemble de 𝑛 éléments, il est utile de réécrire les expressions de 𝐴 en utilisant la formule 𝐴=𝑛!(𝑛𝑟)!.
  • Nous pouvons utiliser les propriétés suivantes des arrangements pour nous aider à résoudre les problèmes:
    1. 𝐴=1
    2. 𝐴=𝑛
    3. 𝐴=𝑛!
    4. 𝐴=𝑛!
    5. 𝐴=𝑛𝐴
      =𝑛(𝑛1)𝐴
      =𝑛(𝑛1)(𝑛2)𝐴
    6. 𝐴=𝐴+𝑟𝐴
    7. 𝐴𝐴=𝑛𝑟+1
  • La règle générale la plus importante que nous pouvons utiliser est la propriété des factorielles selon laquelle 𝑛!=𝑛(𝑛1)!.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.