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Etant donnée 𝑦 égale moins deux fois le cosinus de 𝑥 moins sept multiplié par huit fois le sinus de 𝑥 plus 19, déterminez d𝑦 sur d𝑥 en 𝑥 égale 𝜋.
Dans cette question, on nous demande de déterminer la valeur de d𝑦 sur d𝑥 en 𝑥 égale 𝜋. Nous pouvons voir que 𝑦 est le produit de deux fonctions. Nous allons donc utiliser la règle pour dériver les produits, d’après laquelle pour deux fonctions 𝑢 et 𝑣, la dérivée de 𝑢 fois 𝑣 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 plus 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥. Pour appliquer la règle du produit à notre fonction 𝑦, nous posons 𝑢 est égal à moins deux fois le cosinus de 𝑥 moins sept et que 𝑣 est égal à huit fois le sinus de 𝑥 plus 19.
Nous pouvons voir que pour appliquer la règle du produit, il faut d’abord déterminer des expressions de d𝑢 sur d𝑥 et d𝑣 sur d𝑥. Commençons par d𝑢 sur d𝑥. Il s’agit de la dérivée de moins deux fois le cosinus de 𝑥 moins sept par rapport à 𝑥. Nous allons dériver cette expression terme par terme. On rappelle que pour toute constante 𝑎, la dérivée de 𝑎 fois le cosinus de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins 𝑎 fois le sinus de 𝑥. Ainsi, la dérivée de moins deux fois le cosinus de 𝑥 est égale à moins un fois moins deux fois le sinus de 𝑥. Nous savons que la dérivée de la constante moins sept est égale à zéro.
Moins un fois moins deux fois le sinus de 𝑥 se simplifie en deux fois le sinus de 𝑥. Nous allons maintenant procéder de façon similaire pour déterminer d𝑣 sur d𝑥. Il s’agit de la dérivée de huit fois le sinus de 𝑥 plus 19 par rapport à 𝑥. Comme précédemment, nous allons dériver cette expression terme par terme. On rappelle que pour toute constante 𝑎, la dérivée de 𝑎 fois le sinus de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois le cosinus de 𝑥.
Ainsi, la dérivée de huit fois le sinus de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à huit fois le cosinus de 𝑥. Puisque 19 est une constante, sa dérivée est nulle. Nous sommes maintenant prêt à appliquer la règle du produit pour déterminer une expression de d𝑦 sur d𝑥. Nous savons que d𝑦 sur d𝑥 est égal à 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 plus 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥. En remplaçant nos expressions de 𝑢, 𝑣, d𝑢 sur d𝑥 et d𝑣 sur d𝑥, nous obtenons que d𝑦 sur d𝑥 est égal à huit fois le sinus de 𝑥 plus 19 multiplié par deux fois le sinus de 𝑥 plus moins deux fois le cosinus de 𝑥 moins sept multiplié par huit fois le cosinus de 𝑥.
Nous pourrions être tenté d’essayer de simplifier cette expression. Cependant, n’oublions pas qu’on nous demande seulement de déterminer d𝑦 sur d𝑥 en 𝑥 égale 𝜋. Nous pouvons donc simplement remplacer 𝑥 par 𝜋 directement dans cette expression. En remplaçant 𝑥 par 𝜋 dans cette expression, nous obtenons que d𝑦 sur d𝑥 de 𝜋 est égal à huit fois le sinus de 𝜋 plus 19 multiplié par deux fois le sinus de 𝜋 plus moins deux fois le cosinus de 𝜋 moins sept multiplié par huit fois le cosinus de 𝜋.
Calculons tout cela. Nous savons que le sinus de 𝜋 est égal à zéro et que le cosinus de 𝜋 à moins un. Ainsi, dans notre premier terme, il y a une multiplication par zéro. Ceci implique que notre premier terme est égal à zéro. Dans notre second terme, nous avons moins deux fois moins un, ce qui est égal à deux. Nous soustrayons ensuite ce sept et on multiplie le tout par huit fois moins un, c’est-à-dire par moins huit. Cela nous donne moins cinq multiplié par moins huit, ce qui est égal à 40.
Par conséquent, on a montré que si 𝑦 est égal à moins deux fois le cosinus de 𝑥 moins sept multiplié par huit fois le sinus de 𝑥 plus 19, alors, en 𝑥 égale 𝜋, d𝑦 sur d𝑥 est égal à 40.
