Transcription de la vidéo
Le diagramme comprend deux vecteurs, 𝐀 et 𝐁. Chacune des cases de la grille du diagramme a une longueur de côté égale à un. Calcule 𝐀 scalaire 𝐁.
On nous demande de calculer le produit scalaire de deux vecteurs 𝐀 et 𝐁. Ces deux vecteurs sont représentés sur le diagramme. Et puisque chacune des cases a une longueur de côté de un, on voit donc tout de suite que le vecteur 𝐀 a une longueur de cinq unités et une direction qui est orienté directement vers la droite. On voit également que le vecteur 𝐁 a une longueur de quatre unités et une direction qui est orientée directement vers le haut.
Maintenant que l’on connait mieux nos vecteurs, rappelons comment calculer un produit scalaire. Une façon de calculer le produit scalaire de deux vecteurs consiste à multiplier les composantes vectorielles correspondantes, puis à additionner ces produits. Donc, 𝐀 scalaire 𝐁 sera la composante 𝑥 de 𝐀 fois la composante 𝑥 de 𝐁, plus la composante 𝑦 de 𝐀 fois la composante 𝑦 de 𝐁. On peut également calculer le produit scalaire comme la norme de 𝐀 fois la norme de 𝐁 fois le cosinus de l’angle entre les deux vecteurs représentés par la lettre grecque 𝜃.
Dans notre diagramme, l’angle entre 𝐀 et 𝐁 est cet angle ici. Et comme on peut le voir, comme 𝐀 et 𝐁 sont parallèles aux deux côtés de l’une des cases de la grille, cet angle doit être exactement de 90 degrés. Aussi, bien que ce ne soit pas forcément évident, ces deux façons de calculer le produit scalaire donnent en fait exactement les mêmes réponses. Et dans certaines situations géométriques plus compliquées, on utilisera plutôt la deuxième définition comme moyen de définir l’angle entre deux vecteurs. Quoi qu’il en soit, le fait que l’angle entre ces deux vecteurs est de 90 degrés signifie qu’ils sont perpendiculaires, ce qui signifie que l’on peut esquiver entièrement le calcul en rappelant que le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires est toujours nul.
On note ici qu’il s’agit du nombre zéro, pas du vecteur zéro, car un produit scalaire donne toujours un scalaire. C’est pourquoi cela s’appelle le produit scalaire. Quoi qu’il en soit, on sait que la réponse devrait être zéro. Mais vérifions cela en calculant le produit scalaire de 𝐀 et 𝐁 de ces deux façons. Pour utiliser la somme du produit des composantes correspondantes, il nous faut définir les axes 𝑥 et 𝑦. Basé sur notre diagramme, on peut tout-à-fait utiliser l’ensemble standard des axes cartésiens, en prenant x comme étant l’axe horizontal orienté positivement vers la droite et 𝑦 étant l’axe vertical orienté positivement vers le haut.
L’endroit où on choisit de placer l’origine de ces axes n’a pas d’importance. Tout ce qui compte, c’est d’avoir défini les directions 𝑥 et 𝑦 afin de pouvoir définir les composantes 𝑥 et 𝑦 de chacun des vecteurs. Pour trouver la composante 𝑥 de chaque vecteur, il suffit de regarder le nombre de cases de la grille entre la queue et la tête de chaque vecteur le long de la direction 𝑥. Pour le vecteur 𝐀, la queue et la tête sont espacées de cinq unités le long de l’axe des 𝑥, donc 𝐀 𝑥 est égal à cinq. Pour 𝐁, la queue et la tête ont exactement la même valeur 𝑥, elles sont donc espacées de zéro 𝑥 unité. Et donc 𝐁 𝑥 est nul. En faisant de même pour les composantes 𝑦, de la queue à la tête de 𝐁, on parcourt quatre unités selon la direction 𝑦 positive. Donc 𝐁 𝑦 vaut quatre, alors que de la queue à la tête de 𝐀, on ne se déplace d’aucune unité dans la direction des 𝑦. Donc 𝐀 𝑦 est nul.
En formant le produit scalaire à partir de ces deux ensembles de composantes, on obtient que 𝐀 scalaire 𝐁 vaut cinq fois zéro plus zéro fois quatre. Mais multiplier par zéro donne toujours zéro, donc cinq fois zéro vaut zéro et zéro fois quatre vaut zéro. On a alors zéro plus zéro, ce qui donne zéro. Ici, pour calculer le produit scalaire en utilisant des amplitudes et des angles, on a déjà toutes les informations nécessaires. La norme de 𝐀 est de cinq, la norme de 𝐁 est de quatre et l’angle entre eux est de 90 degrés. On obtient donc que 𝐀 scalaire 𝐁 vaut cinq fois quatre fois le cosinus de 90 degrés. Mais le cosinus de 90 degrés est nul. On a donc cinq fois quatre fois zéro, ce qui, comme avant, vaut exactement zéro.
C’est en réalité la base mathématique du fait que l’on a évoqué plus tôt. Deux vecteurs perpendiculaires se croisent à angle droit et le cosinus d’un angle droit est nul. Ainsi, quelles que soient les normes de ces vecteurs, leur produit scalaire sera toujours nul. Ainsi, que l’on calcule le produit scalaire de 𝐀 et 𝐁 en utilisant leurs composantes vectorielles ou en utilisant leurs normes et l’angle entre eux ou simplement en connaissant un facteur de vecteurs perpendiculaires, on constate que le produit scalaire de 𝐀 et 𝐁 est exactement zéro. Et cela correspond à la réponse que l’on cherchait.
