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Pour les vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣, 𝐤, que vaut le produit scalaire entre 𝐣 et 𝐣 ?
Dans cette question, on nous demande de calculer le produit scalaire entre 𝐣 et 𝐣, où 𝐣 est l’un des vecteurs directionnels unitaires. Et en fait, il existe différentes façons d’évaluer cela. Le moyen le plus simple est de rappeler quelque chose d’intéressant à propos du produit scalaire. Pour tout vecteur 𝐯, le produit scalaire entre 𝐯 et lui-même sera la norme de 𝐯 au carré. Et en fait, nous savons comment le prouver. Nous le ferions en écrivant 𝐯 en termes de composantes afin de pouvoir calculer le produit scalaire entre 𝐯 et 𝐯. Rappelez-vous, pour calculer le produit scalaire entre 𝐯 et 𝐯, nous multiplions les composantes correspondantes ensemble et ajoutons les résultats. Et nous verrions alors que cela nous donne la somme des carrés des composantes de 𝐯, qui est exactement égale à la norme de 𝐯 au carré.
Cependant, il s’agit d’un résultat utile qui mérite d’être mémorisé. Par conséquent, en utilisant ce résultat avec le vecteur 𝐣, le produit scalaire entre 𝐣 et 𝐣 devrait être égal à la norme de 𝐣 au carré. Et rappelez-vous, 𝐣 est un vecteur unitaire directionnel. Nous l’appelons un vecteur unitaire car sa norme est égale à un. Nous pouvons alors l’utiliser pour évaluer notre expression. Dans le membre de droite de notre équation, la norme de 𝐣 est égale à un. Donc, cela se simplifie pour donner un au carré, c’est-à-dire un. Par conséquent, nous avons pu montrer que le produit scalaire entre 𝐣 et lui-même est égal à un.
Cependant, ce n’est pas la seule façon d’évaluer cette expression. Nous pourrions également le faire directement à partir de la définition d’un produit scalaire. Bien qu’il ne soit pas nécessaire de le faire, nous allons commencer par écrire les vecteurs 𝐣 en termes de composantes. Rappelez-vous, dans ce scénario, les composantes vont être les coefficients des vecteurs directionnels unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤. Et bien sûr, pour 𝐣, les coefficients de 𝐢 et 𝐤 sont nuls et le coefficient de 𝐣 est un. Donc, le vecteur 𝐣 n’est que le vecteur zéro, un, zéro. Maintenant, nous pouvons calculer le produit scalaire entre ces deux vecteurs directement.
Rappelez-vous que pour calculer le produit scalaire entre deux vecteurs, il faut multiplier les composantes correspondantes, puis ajouter les résultats. Nous commençons donc par multiplier la première composante du premier vecteur par la première composante du deuxième vecteur. Cela nous donne zéro fois zéro. Nous multiplions ensuite la deuxième composante de chaque vecteur, ce qui nous donne un fois un. Enfin, nous multiplions la troisième composante de chaque vecteur ensemble. Cela nous donne zéro fois zéro. Et puis nous ajoutons simplement ces trois chiffres ensemble. Et encore une fois, si nous calculons cette expression, nous voyons aussi qu’elle est égale à un.
Par conséquent, nous avons pu voir deux façons différentes de calculer le produit scalaire entre le vecteur unitaire directionnel 𝐣 et lui-même. Dans les deux cas, nous avons pu montrer qu’il était égal à un.
