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Vidéo de la leçon : Produit scalaire en 3D Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs en 3D.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs en trois dimensions. Nous allons commencer par regarder à quoi ressemble un vecteur en trois dimensions et examiner certaines de ses propriétés fondamentales.

Un vecteur en trois dimensions est un triplet de composantes, c'est-à-dire un ensemble ordonné de trois éléments, ainsi, le vecteur 𝐚 a pour composantes 𝑎 un, 𝑎 deux et 𝑎 trois. On peut également écrire cela comme 𝑎 un 𝑖 plus 𝑎 deux 𝑗 plus 𝑎 trois 𝑘, où 𝑖, 𝑗 et 𝑘 sont les vecteurs unitaires orthogonaux deux à deux de la base de notre espace. Si le vecteur 𝐚 a pour composantes 𝑎 un, 𝑎 deux et 𝑎 trois et le vecteur 𝐛 a pour composantes 𝑏 un, 𝑏 deux et 𝑏 trois, alors le produit scalaire des vecteur 𝐚 et vecteur 𝐛 est égal à 𝑎 un 𝑏 un plus 𝑎 deux 𝑏 deux plus 𝑎 trois 𝑏 trois. On multiplie les composantes correspondantes de chaque vecteur entre elles, puis on calcule la somme de ces valeurs. Cela nous donne une quantité scalaire et non un vecteur.

Le produit scalaire du vecteur 𝐚 et du vecteur 𝐛 est aussi égal à la norme du vecteur 𝐚 multipliée par la norme du vecteur 𝐛 multipliée par cos 𝜃, avec 𝜃 l’angle entre les deux vecteurs. Cette valeur de 𝜃 doit être comprise entre zéro et 𝜋 radians c'est-à-dire entre zéro et 180 degrés.

Rappelons que la norme du vecteur 𝐚 est égale à la racine carrée de 𝑎 un carré plus 𝑎 deux carré plus 𝑎 trois carré. On calcule le carré de chacune des composantes, puis on fait la somme de ces trois valeurs et on détermine la racine carrée du résultat. Encore une fois, cela nous donnera une quantité scalaire. Et la norme de tout vecteur non nul est supérieure à zéro. Nous allons maintenant examiner une question dans laquelle on doit calculer les produits scalaires de deux vecteurs.

Si le vecteur 𝚨 est égal à moins six, moins trois, cinq et que le vecteur 𝚩 est égal à sept, moins quatre, moins un, calculez le produit scalaire du vecteur 𝚨 et du vecteur 𝚩.

Le vecteur 𝚨 a pour composantes 𝑎 un, 𝑎 deux et 𝑎 trois, et le vecteur 𝚩 𝑏 un, 𝑏 deux et 𝑏 trois. Le produit scalaire de ces deux vecteurs est égal à 𝑎 un 𝑏 un plus 𝑎 deux 𝑏 deux plus 𝑎 trois 𝑏 trois. On calcule le produit des composantes correspondantes, puis on calcule la somme de ces trois valeurs.

Dans cette question, nous devons multiplier moins six par sept, moins trois par moins quatre et cinq par moins un. Multiplier un nombre négatif par un nombre positif donne un nombre négatif. Donc, moins six multiplié par sept est égal à moins 42. Lorsqu’on multiplie deux nombres négatifs le résultat est positif. Par conséquent, moins trois multiplié par moins quatre est égal à 12. Enfin, cinq multiplié par moins un égale moins cinq.

Le produit scalaire du vecteur 𝚨 et du vecteur 𝚩 est égal à moins 42 plus 12 plus moins cinq. Moins 42 plus 12 est égal à moins 30. Et lorsqu’on soustrait cinq à cela on obtient moins 35. Le produit scalaire des vecteurs moins six, moins trois, cinq et sept, moins quatre, moins un est moins donc 35.

Dans la prochaine question, nous allons utiliser les propriétés de deux vecteurs perpendiculaires.

Pour quelle valeur de 𝑘 les vecteurs 𝚨 sept, moins sept 𝑘, moins six et 𝚩 sept, moins trois, 𝑘 sont-ils perpendiculaires ?

Nous rappelons que le produit scalaire de deux vecteurs 𝚨 et 𝚩 est égal à la norme du vecteur 𝚨 multipliée par la norme du vecteur 𝚩 multipliée par cos 𝜃, 𝜃 étant l’angle entre les deux vecteurs.

Si deux vecteurs sont perpendiculaires, comme dans cette question, l’angle entre eux est égal de 90 degrés. Nous savons que le cosinus de 90 degrés est égal à zéro. Ainsi, si deux vecteurs sont perpendiculaires alors leur produit scalaire est égal à zéro.

Pour déterminer les produits scalaires de deux vecteurs en trois dimensions, on calcule le produit de leurs composantes correspondantes, puis on calcule la somme de ces trois valeurs. Sept multiplié par sept est égal à 49. Moins sept 𝑘 fois moins trois égale 21𝑘, puisque lorsque l’on multiplie deux nombres négatifs le résultat est positif. Moins six multiplié par 𝑘 est égal à moins six 𝑘. Et additionner cela revient à soustraire six 𝑘.

Cela nous donne l’équation zéro est égal à 49 plus 21𝑘 moins six 𝑘. Si on soustrait 49 des deux côtés et qu’on rassemble les termes en 𝑘 on obtient moins 49 est égal à 15𝑘. Enfin, si on divise les deux côtés de cette équation par 15 on obtient 𝑘 est égal à moins 49 sur 15. Voici la valeur de 𝑘 pour laquelle les vecteurs 𝚨 et 𝚩 sont perpendiculaires.

Dans la prochaine question, nous devrons décider quelle affirmation est vraie à propos de deux vecteurs.

Lequel des énoncés suivants est vrai pour les vecteurs 𝚨 moins trois, sept, moins huit et 𝚩 moins six, moins un, moins un. Est-ce (A) ils sont colinéaires, (B) ils sont orthogonaux, ou (C) ils ne sont ni colinéaires ni orthogonaux ?

Pour répondre à cette question, nous devons rappeler les caractéristiques de deux vecteurs quand ils sont colinéaires ou orthogonaux. Deux vecteurs sont colinéaires si le vecteur 𝚨 est égal à 𝑘 fois le vecteur 𝚩, avec 𝑘 une quantité scalaire non nulle. Cela signifie que chacune de leurs composantes doit être multipliée par la même constante.

Dans cette question, la valeur de 𝑘 devrait satisfaire ces trois équations. Moins trois est égal à moins six 𝑘, sept est égal à moins un 𝑘 et moins huit est égal à moins un 𝑘. Il ressort clairement des deuxième et troisième équations que cela n’est pas possible, car moins un 𝑘 ne peut pas être égal à sept et moins huit. Si on divise les deux côtés de l’équation du bas par moins un on obtient 𝑘 est égal à huit, tandis que lorsqu’on divise les deux côtés de la deuxième équation par moins un on obtient 𝑘 est égal à moins sept. Si on divise les deux côtés de l’équation du haut par moins six, on obtient 𝑘 est égal à un demi.

Puisque la valeur de 𝑘 n’est pas la même pour les trois équations, nous pouvons conclure que le vecteur 𝚨 n’est pas égal à 𝑘 fois le vecteur 𝚩. Cela signifie que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires et que la réponse (A) est fausse.

Nous savons que deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est égal à zéro. On calcule le produit scalaire de deux vecteurs en multipliant d’abord les composantes correspondantes. On calcule ensuite la somme de ces trois valeurs. Moins trois multiplié par moins six est égal à 18. Sept multiplié par moins un est égal à moins sept. Et additionner cela revient à soustraire sept. Enfin, moins huit multiplié par moins un est égal à huit. Le produit scalaire du vecteur 𝚨 et du vecteur 𝚩 est égal à 18 moins sept plus huit. Cela est égal à 19.

Étant donné que cela n’est pas égal à zéro, le produit scalaire du vecteur 𝚨 et du vecteur 𝚩 n’est pas égal à zéro. Nous pouvons donc conclure que les deux vecteurs ne sont pas orthogonaux, donc la réponse (B) est également fausse. La bonne réponse est donc la (C). Le vecteur 𝚨 et le vecteur 𝚩 ne sont donc ni colinéaires ni orthogonaux.

Dans notre dernière question, nous allons calculer le produit scalaire de deux vecteurs en utilisant leurs normes et l’angle entre ces deux vecteurs.

Supposez que le vecteur 𝚨 est égal à moins un, deux, sept, que la norme du vecteur 𝚩 est égale à 13 et que l’angle entre les deux vecteurs est de 135 degrés. Déterminez le produit scalaire du vecteur 𝚨 et du vecteur 𝚩 au centième près.

On peut calculer le produit scalaire du vecteur 𝚨 et du vecteur 𝚩 en déterminant d’abord leurs normes, puis en les multipliant, et enfin en multipliant ce résultat par cos 𝜃, 𝜃 étant l’angle entre les deux vecteurs. Dans cette question, on nous dit que la norme du vecteur 𝚩 est égale à 13. Et l’angle entre les deux vecteurs est de 135 degrés. Pour calculer le produit scalaire du vecteur 𝚨 et du vecteur 𝚩, on doit donc d’abord calculer la norme du vecteur 𝚨.

On connait les trois composantes du vecteur 𝚨 que nous allons appeler 𝑎 un, 𝑎 deux et 𝑎 trois. La norme d’un vecteur est une quantité scalaire. Elle est égale à la racine carrée de 𝑎 un carré plus 𝑎 deux carré plus 𝑎 trois carré. Dans cette question, nous commençons par calculer les carrés de moins un, deux et sept. Ce qui nous donne respectivement un quatre et 49. Un plus quatre plus 49 est égal à 54. Par conséquent, la norme du vecteur 𝚨 est égale à la racine carrée de 54.

En utilisant les propriétés des racines carrées, cela peut s’écrire racine carrée de neuf multipliée par racine carrée de six, car neuf multiplié par six égale 54. La racine carrée de neuf est égale à trois. Par conséquent, on peut réécrire la racine carrée de 54 comme trois racine de six. Voici la norme du vecteur 𝚨.

Nous pouvons maintenant calculer le produit scalaire du vecteur 𝚨 et du vecteur 𝚩. C’est égal à trois racine de six multiplié par 13 multiplié par le cosinus de 135 degrés. Le cosinus de 135 degrés est égal à moins racine de deux sur deux. Cela signifie que le produit scalaire est égal à moins 39 racine de 12 sur deux. On peut réécrire racine de 12 comme racine de quatre fois racine de trois. Étant donné que racine de quatre est égal à deux, cela devient moins 39 racine de trois.

Mais ce n’est pas fini, car on nous demande de donner notre réponse au centième près. Moins 39 racine de trois est égal à moins 67,5499 etcétéras. Lorsqu’on arrondit cela au centième près on a moins 67,55. Le produit scalaire du vecteur 𝚨 et du vecteur 𝚩 au centième près est moins 67,55.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu dans cette vidéo que si le vecteur 𝚨 a pour composantes 𝑎 un, 𝑎 deux et 𝑎 trois et que le vecteur 𝚩 a pour composantes 𝑏 un, 𝑏 deux, 𝑏 trois, alors le produit scalaire des vecteurs 𝚨 et 𝚩 est égal à 𝑎 un multiplié par 𝑏 un plus 𝑎 deux multiplié par 𝑏 deux plus 𝑎 trois multiplié par 𝑏 trois. On calcule le produit des composantes correspondantes puis la somme de ces trois valeurs.

Nous avons également vu qu’on peut calculer le produit scalaire en multipliant la norme du vecteur 𝚨 par la norme du vecteur 𝚩 puis en multipliant par le cosinus de 𝜃, 𝜃 étant l’angle entre les deux vecteurs. Le produit scalaire donne toujours une quantité scalaire et non une quantité vectorielle. Il en est de même lorsqu’on calcule la norme. Enfin, nous avons vu que si deux vecteurs sont orthogonaux, alors leur produit scalaire est égal à zéro. En effet, deux vecteurs orthogonaux ont un angle droit entre eux et le cosinus de 90 degrés est égal à zéro. Cela signifie que le produit scalaire sera égal à zéro.

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