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Fiche explicative de la leçon : Produit scalaire en 3D Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer le produit scalaire de deux vecteurs en 3D.

Le produit scalaire, appelé comme cela car il donne une quantité scalaire et non un vecteur, est un moyen de multiplier des vecteurs.

Vous êtes probablement déjà familier avec la recherche du produit scalaire dans le plan (en 2D). Vous avez peut-être appris que le produit scalaire de 𝐴 et 𝐵 est défini comme 𝐴𝐵=𝐴×𝐵×𝜃cos, 𝜃 est l’angle entre les deux vecteurs 𝐴 et 𝐵.

Avec un peu de géométrie, on peut montrer qu’il peut être calculé à partir des composantes des deux vecteurs:𝐴𝐵=𝐴𝐵+𝐴𝐵, 𝐴 et 𝐵 sont les composantes en 𝑥 de 𝐴 et 𝐵, et 𝐴 et 𝐵 sont leurs composantes en 𝑦.

Soient deux vecteurs 𝐴 et 𝐵 qui forment des angles respectifs de 𝜃 et 𝜃 avec la direction positive de l’axe des 𝑥.

L’angle entre eux est alors 𝜃=𝜃𝜃. Sachant que 𝐴=𝐴𝜃,𝐴=𝐴𝜃,𝐵=𝐵𝜃,𝐵=𝐵𝜃,cossincossin on constate que 𝐴𝐵+𝐴𝐵=𝐴𝐵𝜃𝜃+𝐴𝐵𝜃𝜃=𝐴𝐵(𝜃𝜃+𝜃𝜃).coscossinsincoscossinsin

En utilisant l’identité trigonométrique de différence coscoscossinsin(𝛼𝛽)=𝛼𝛽+𝛼𝛽 et en remplaçant 𝛼 par 𝜃 et 𝛽 par 𝜃, on trouve coscoscossinsincoscossinsin(𝜃𝜃)=𝜃𝜃+𝜃𝜃=𝜃𝜃+𝜃𝜃.

Comme 𝜃=𝜃𝜃, on a 𝐴𝐵+𝐴𝐵=𝐴𝐵𝜃=𝐴𝐵.cos

En passant aux vecteurs en 3D, la définition du produit scalaire reste inchangée.

Définition : Produit scalaire de deux vecteurs en 3D

𝐴𝐵=𝐴𝐵𝜃,cos𝜃 est l’angle entre 𝐴 et 𝐵.

Voyons un premier exemple et appliquons la définition du produit scalaire.

Exemple 1: Déterminer le produit scalaire de deux vecteurs étant donnée la norme de l’un, les composantes de l’autre et l’angle entre eux

Supposons que 𝐴=(1;2;7), 𝐵=13 et que l’angle entre les deux vecteurs est de 135. Calculez 𝐴𝐵 au centième près.

Réponse

On sait que 𝐴𝐵=𝐴𝐵𝜃cos. On connaît déjà 𝐵 et l’angle 𝜃. On doit donc trouver 𝐴 en utilisant les composantes de 𝐴, on obtient:𝐴=𝐴+𝐴+𝐴=(1)+2+7=54.

En substituant maintenant cette valeur dans l’équation de 𝐴𝐵, on trouve 𝐴𝐵=541313567,55.cos

Comment : Calculer un produit scalaire à l’aide des composantes des vecteurs

Le produit scalaire des vecteurs en 3D est calculé à l’aide des composantes des vecteurs de la même manière qu’en 2D, c’est-à-dire:𝐴𝐵=𝐴𝐵+𝐴𝐵+𝐴𝐵, où les indices 𝑥, 𝑦 et 𝑧 désignent les composantes le long des axes des 𝑥, 𝑦 et 𝑧.

Appliquons cette méthode avec l’exemple suivant.

Exemple 2: Déterminer le produit scalaire de deux vecteurs à l’aide de leurs composantes

Sachant que 𝐴=(6;3;5) et 𝐵=(7;4;1), déterminez 𝐴𝐵.

Réponse

On calcule ici le produit scalaire en utilisant 𝐴𝐵=𝐴𝐵+𝐴𝐵+𝐴𝐵, où les indices 𝑥, 𝑦, et 𝑧 désignent les composantes le long des axes des 𝑥, 𝑦 et 𝑧. On a donc 𝐴𝐵=(6)7+(3)(4)+5(1)=42+12+(5)=35.

Maintenant que nous savons comment le produit scalaire est défini et comment le calculer en utilisant les composantes des vecteurs, étudions les propriétés du produit scalaire.

Comme le produit scalaire est le produit des normes des vecteurs multiplié par le cosinus de l’angle entre eux, il est nul lorsque le cosinus de l’angle entre les deux vecteurs est nul. Cela se produit lorsque l’angle entre eux est de 90 ou 90 (ou 270), c’est-à-dire lorsqu’ils sont orthogonaux.

Propriété : Produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux

Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul. Inversement, lorsque le produit scalaire de deux vecteurs est nul, alors les deux vecteurs sont orthogonaux.

Pour se rappeler quels angles ont un cosinus nul, on peut visualiser le cercle trigonométrique, en se souvenant que le cosinus est l’abscisse 𝑥 du point P associé à l’angle 𝜃.

Nous allons utiliser cette propriété dans les deux exemples suivants.

Exemple 3: Déterminer des composantes inconnues de vecteurs orthogonaux

Pour quelle valeur de 𝑘 les vecteurs 𝐴=(7;7𝑘,6) et 𝐵=(7;3,𝑘) sont-ils orthogonaux?

Réponse

Si deux vecteurs sont orthogonaux, alors l’angle entre eux est de 90 ou 90 (ou 270). Dans les deux cas, le cosinus de l’angle entre eux est nul. Par conséquent, le produit scalaire entre les deux vecteurs est nul. Dans cette question, cela signifie que 𝐴𝐵=0, c’est-à-dire 𝐴𝐵+𝐴𝐵+𝐴𝐵=0.

Par conséquent, on a 77+(7𝑘)(3)+(6)𝑘=049+21𝑘6𝑘=0𝑘=4915.

Exemple 4: Identifier des vecteurs orthogonaux et parallèles

Laquelle des affirmations suivantes est vraie pour les vecteurs 𝐴=(3;7;8) et 𝐵=(6;1;1)?

  1. Ils sont parallèles.
  2. Ils sont orthogonaux.
  3. Ils ne sont ni parallèles ni orthogonaux.

Réponse

Si 𝐴 et 𝐵 sont parallèles, alors il existe un nombre 𝑘 tel que 𝐴=𝑘𝐵. On aurait 3=6𝑘7=𝑘8=𝑘.

Il n’y a évidemment aucune valeur de 𝑘 qui vérifie les trois équations puisque l’on obtient trois solutions différentes pour chacune d’elles 12;7;8et. Par conséquent, 𝐴 et 𝐵 ne sont pas parallèles.

Si 𝐴 et 𝐵 sont orthogonaux, alors leur produit scalaire est nul. Calculons leur produit scalaire:𝐴𝐵=𝐴𝐵+𝐴𝐵+𝐴𝐵=(3)(6)+7(1)+(8)(1)=18+(7)+8=19.

Leur produit scalaire n’est pas nul;par conséquent, 𝐴 et 𝐵 ne sont pas orthogonaux.

La bonne réponse est que 𝐴 et 𝐵 ne sont ni parallèles ni orthogonaux.

D’autres propriétés du produit scalaire résultent du fait que le cosinus de l’angle entre les deux vecteurs est l’un de ses facteurs. Par exemple, sachant que la fonction cosinus est paire avec une période de 360, cela signifie que peu importe si on prend l’angle de 𝐴 à 𝐵 ou de 𝐵 à 𝐴 parce que coscoscos𝜃=(𝜃)=(360𝜃).

Par conséquent, le produit scalaire est commutatif:𝐴𝐵=𝐵𝐴.

De plus, le produit scalaire de deux vecteurs parallèles est plus ou moins le produit de leurs normes. On considère tout d’abord deux vecteurs parallèles 𝐴 et 𝐵 avec l’angle entre eux étant nul:𝐴𝐵=𝐴𝐵0=𝐴𝐵,cos car cos0=1.

On considère maintenant deux vecteurs parallèles 𝐴 et 𝐵 avec l’angle entre eux étant de 180 (c’est à dire que les deux vecteurs ont des sens opposés):𝐴𝐵=𝐴𝐵180=𝐴𝐵,cos car cos180=1.

Il en résulte que le produit scalaire d’un vecteur avec lui-même donne le carré de sa norme. Cela peut être facilement vérifié avec la formule du calcul du produit scalaire:𝐴𝐵=𝐴𝐵+𝐴𝐵+𝐴𝐵, donc 𝐴𝐴=𝐴𝐴+𝐴𝐴+𝐴𝐴=𝐴+𝐴+𝐴.

Comme 𝐴=𝐴+𝐴+𝐴, on trouve que 𝐴𝐴=𝐴.

Comme la multiplication, le produit scalaire est distributif:(𝐴+𝐵)𝐶=𝐴𝐶+𝐴𝐶.

De plus, on a (𝑘𝐴)𝐵=𝐴(𝑘𝐵)=𝑘𝐴𝐵.

Utilisons ces propriétés pour répondre à la question suivante.

Exemple 5: Utiliser la distributivité du produit scalaire

Soient 𝐴 et 𝐵 deux vecteurs unitaires orthogonaux, calculez (3𝐴𝐵)(2𝐴+𝐵).

Réponse

La phrase « 𝐴 et 𝐵 sont deux vecteurs unitaires orthogonaux » donne deux informations. La première est que les vecteurs sont orthogonaux, ce qui signifie que leur produit scalaire est nul. La deuxième est qu’ils sont des vecteurs unitaires, ce qui signifie qu’ils ont des normes de 1. En utilisant maintenant la propriété de distributivité du produit scalaire, on trouve (3𝐴𝐵)(2𝐴+𝐵)=6𝐴𝐴+3𝐴𝐵+2𝐵𝐴𝐵𝐵.

Comme les vecteurs sont orthogonaux, les termes 3𝐴𝐵 et 2𝐵𝐴 sont nuls.

De plus, on sait que 𝐴𝐴=𝐴=1 comme 𝐴 est un vecteur unitaire. Il en va de même pour 𝐵. Par conséquent, on trouve que (3𝐴𝐵)(2𝐴+𝐵)=61=7.

Points clés

  • Le produit scalaire des vecteurs 𝐴 et 𝐵 est défini comme 𝐴𝐵=𝐴×𝐵×𝜃,cos𝜃 est l’angle entre les deux vecteurs 𝐴 et 𝐵.
  • Le produit scalaire de vecteurs en 3D peut être calculé en utilisant les composantes des vecteurs:𝐴𝐵=𝐴𝐵+𝐴𝐵+𝐴𝐵.
  • Le produit scalaire possède les propriétés suivantes:
    • 𝐴𝐵=𝐵𝐴 (commutativité);
    • 𝐴𝐴=𝐴;
    • 𝐴𝐵=0 si et seulement si 𝐴 et 𝐵 sont orthogonaux;
    • (𝐴+𝐵)𝐶=𝐴𝐶+𝐴𝐶 (distributivité);
    • (𝑘𝐴)𝐵=𝐴(𝑘𝐵)=𝑘𝐴𝐵, 𝑘 est un nombre réel.

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