Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer le produit scalaire de deux vecteurs en 3D.
Le produit scalaire, appelé comme cela car il donne une quantité scalaire et non un vecteur, est un moyen de multiplier des vecteurs.
Vous êtes probablement déjà familier avec la recherche du produit scalaire dans le plan (en 2D). Vous avez peut-être appris que le produit scalaire de et est défini comme , où est l’angle entre les deux vecteurs et .
Avec un peu de géométrie, on peut montrer qu’il peut être calculé à partir des composantes des deux vecteurs : , où et sont les composantes en de et , et et sont leurs composantes en .
Soient deux vecteurs et qui forment des angles respectifs de et avec la direction positive de l’axe des .
L’angle entre eux est alors . Sachant que on constate que
En utilisant l’identité trigonométrique de différence et en remplaçant par et par , on trouve
Comme , on a
En passant aux vecteurs en 3D, la définition du produit scalaire reste inchangée.
Définition : Produit scalaire de deux vecteurs en 3D
où est l’angle entre et .
Voyons un premier exemple et appliquons la définition du produit scalaire.
Exemple 1: Déterminer le produit scalaire de deux vecteurs étant donnée la norme de l’un, les composantes de l’autre et l’angle entre eux
Supposons que , et que l’angle entre les deux vecteurs est de . Calculez au centième près.
Réponse
On sait que . On connaît déjà et l’angle . On doit donc trouver en utilisant les composantes de , on obtient :
En substituant maintenant cette valeur dans l’équation de , on trouve
Comment : Calculer un produit scalaire à l’aide des composantes des vecteurs
Le produit scalaire des vecteurs en 3D est calculé à l’aide des composantes des vecteurs de la même manière qu’en 2D, c’est-à-dire : où les indices , et désignent les composantes le long des axes des , et .
Appliquons cette méthode avec l’exemple suivant.
Exemple 2: Déterminer le produit scalaire de deux vecteurs à l’aide de leurs composantes
Sachant que et , déterminez .
Réponse
On calcule ici le produit scalaire en utilisant où les indices , , et désignent les composantes le long des axes des , et . On a donc
Maintenant que nous savons comment le produit scalaire est défini et comment le calculer en utilisant les composantes des vecteurs, étudions les propriétés du produit scalaire.
Comme le produit scalaire est le produit des normes des vecteurs multiplié par le cosinus de l’angle entre eux, il est nul lorsque le cosinus de l’angle entre les deux vecteurs est nul. Cela se produit lorsque l’angle entre eux est de ou (ou ), c’est-à-dire lorsqu’ils sont orthogonaux.
Propriété : Produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux
Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul. Inversement, lorsque le produit scalaire de deux vecteurs est nul, alors les deux vecteurs sont orthogonaux.
Pour se rappeler quels angles ont un cosinus nul, on peut visualiser le cercle trigonométrique, en se souvenant que le cosinus est l’abscisse du point P associé à l’angle .
Nous allons utiliser cette propriété dans les deux exemples suivants.
Exemple 3: Déterminer des composantes inconnues de vecteurs orthogonaux
Pour quelle valeur de les vecteurs et sont-ils orthogonaux ?
Réponse
Si deux vecteurs sont orthogonaux, alors l’angle entre eux est de ou (ou ). Dans les deux cas, le cosinus de l’angle entre eux est nul. Par conséquent, le produit scalaire entre les deux vecteurs est nul. Dans cette question, cela signifie que , c’est-à-dire
Par conséquent, on a
Exemple 4: Identifier des vecteurs orthogonaux et parallèles
Laquelle des affirmations suivantes est vraie pour les vecteurs et ?
- Ils sont parallèles.
- Ils sont orthogonaux.
- Ils ne sont ni parallèles ni orthogonaux.
Réponse
Si et sont parallèles, alors il existe un nombre tel que . On aurait
Il n’y a évidemment aucune valeur de qui vérifie les trois équations puisque l’on obtient trois solutions différentes pour chacune d’elles . Par conséquent, et ne sont pas parallèles.
Si et sont orthogonaux, alors leur produit scalaire est nul. Calculons leur produit scalaire :
Leur produit scalaire n’est pas nul ; par conséquent, et ne sont pas orthogonaux.
La bonne réponse est que et ne sont ni parallèles ni orthogonaux.
D’autres propriétés du produit scalaire résultent du fait que le cosinus de l’angle entre les deux vecteurs est l’un de ses facteurs. Par exemple, sachant que la fonction cosinus est paire avec une période de , cela signifie que peu importe si on prend l’angle de à ou de à parce que
Par conséquent, le produit scalaire est commutatif :
De plus, le produit scalaire de deux vecteurs parallèles est plus ou moins le produit de leurs normes. On considère tout d’abord deux vecteurs parallèles et avec l’angle entre eux étant nul : car .
On considère maintenant deux vecteurs parallèles et avec l’angle entre eux étant de (c’est à dire que les deux vecteurs ont des sens opposés) : car .
Il en résulte que le produit scalaire d’un vecteur avec lui-même donne le carré de sa norme. Cela peut être facilement vérifié avec la formule du calcul du produit scalaire : donc
Comme , on trouve que
Comme la multiplication, le produit scalaire est distributif :
De plus, on a
Utilisons ces propriétés pour répondre à la question suivante.
Exemple 5: Utiliser la distributivité du produit scalaire
Soient et deux vecteurs unitaires orthogonaux, calculez .
Réponse
La phrase « et sont deux vecteurs unitaires orthogonaux » donne deux informations. La première est que les vecteurs sont orthogonaux, ce qui signifie que leur produit scalaire est nul. La deuxième est qu’ils sont des vecteurs unitaires, ce qui signifie qu’ils ont des normes de 1. En utilisant maintenant la propriété de distributivité du produit scalaire, on trouve
Comme les vecteurs sont orthogonaux, les termes et sont nuls.
De plus, on sait que comme est un vecteur unitaire. Il en va de même pour . Par conséquent, on trouve que
Points clés
- Le produit scalaire des vecteurs et est défini comme où est l’angle entre les deux vecteurs et .
- Le produit scalaire de vecteurs en 3D peut être calculé en utilisant les composantes des vecteurs :
- Le produit scalaire possède les propriétés suivantes :
- (commutativité) ;
- ;
- si et seulement si et sont orthogonaux ;
- (distributivité) ;
- , où est un nombre réel.
