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Déterminez l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par intégrale indéfinie de six fois sinus deux 𝑥 moins deux fois tangente deux 𝑥 le tout à la puissance cinq multiplié par 12 cosinus deux 𝑥 moins quatre sécante carrée de deux 𝑥, par rapport à 𝑥.
La question nous donne une intégrale d’apparence très complexe. Nous pourrions être tentés d’essayer de distribuer les exposants pour simplifier l’intégrale. Cependant, cela serait très compliqué. Nous avons un binôme élevé à la puissance cinq multiplié par un autre binôme. Nous voulons donc chercher une méthode qui soit plus facile. Et pour trouver cette méthode plus facile, nous devons remarquer quelque chose à propos de notre intégrande. Nous devons remarquer que notre second facteur de 12 fois le cosinus de deux 𝑥 moins quatre fois la sécante au carré de deux 𝑥 est en fait la dérivée de la partie interne de la fonction composée. C’est la dérivée de six sinus de deux 𝑥 moins deux tangente de deux 𝑥.
Cela nous suggère d’essayer d’intégrer par substitution. Nous allons définir 𝑢 comme étant six sinus de deux 𝑥 moins deux tangente de deux 𝑥. Ensuite, nous allons dériver les deux côtés de cette expression par rapport à 𝑥 en utilisant les règles de dérivation de fonctions trigonométriques. Pour une constante 𝑎, la dérivée du sinus de 𝑎𝑥 est égale à 𝑎 fois le cosinus de 𝑎𝑥. Et pour une constante 𝑎, la dérivée de la tangente de 𝑎𝑥 est égale à 𝑎 fois la sécante au carré de 𝑎𝑥. Cela nous donne d𝑢 sur d𝑥 égale 12 fois le cosinus de deux 𝑥 moins quatre fois la sécante au carré de deux 𝑥.
Maintenant, rappelez-vous, d𝑢 sur d𝑥 n’est pas une fraction. Cependant, lorsque nous utilisons l’intégration par substitution, nous pouvons le traiter un peu comme une fraction. Cela nous donne l’énoncé équivalent en termes de différentielles. d𝑢 est égal à 12 fois le cosinus de deux 𝑥 moins quatre fois sécante au carré de deux 𝑥 d𝑥. Et nous pouvons alors voir que cela apparaît dans notre intégrale. Cela signifie que nous sommes maintenant prêts à l’évaluer en utilisant l’intégration par substitution. Premièrement, nous disons que 𝑢 est la partie interne de la fonction composée. Et cela nous dit alors que 12 cosinus de deux 𝑥 moins quatre sécante au carré de deux 𝑥 d𝑥 est en fait équivalent à d𝑢. Donc, en utilisant la substitution 𝑢, nous pouvons réécrire l’intégrale comme l’intégrale de 𝑢 à la puissance cinq par rapport à 𝑢.
Et nous pouvons évaluer cette intégrale en utilisant la règle des puissances pour l’intégration, qui nous dit que si 𝑛 n’est pas égal à moins un, l’intégrale de 𝑢 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑢 est égale à 𝑢 à la puissance 𝑛 plus un divisé par 𝑛 plus un plus une constante d’intégration 𝐶. Nous ajoutons un à l’exposant de 𝑢 puis divisons par ce nouvel exposant. Dans notre cas, notre exposant de 𝑢 est cinq. Nous obtenons donc un sur six multiplié par 𝑢 à la puissance six plus 𝐶. Rappelez-vous cependant que l’intégrale initiale était par rapport à 𝑥. Nous voulons donc écrire notre réponse en fonction de 𝑥. Nous ferons cela en utilisant la substitution 𝑢 égale six sinus de deux 𝑥 moins deux tangente de deux 𝑥. Et cela nous donne un sur six fois six sinus de deux 𝑥 moins deux tangente de deux 𝑥 à la puissance six plus 𝐶. Et voici notre réponse finale.
Par conséquent, nous avons montré, en utilisant l’intégration par substitution, que l’intégrale indéfinie de six fois le sinus de deux 𝑥 moins deux tangente de deux 𝑥 à la puissance cinq multiplié par 12 fois le cosinus de deux 𝑥 moins quatre sécante au carré de deux 𝑥 par rapport à 𝑥. Est égale à un sur six fois six sinus de deux 𝑥 moins deux fois tangente de deux 𝑥 élevé à la puissance six plus une constante d’intégration 𝐶.
