Transcription de la vidéo
Déterminez l’intégrale indéfinie de sept fois la racine carrée de 𝑥 au cube par rapport à 𝑥.
La question veut que nous intégrions sept multiplié par la racine carrée de 𝑥 au cube par rapport à 𝑥, mais nous ne savons pas comment l’intégrer directement. Cela signifie que nous allons devoir manipuler l’intégrale pour obtenir une forme que nous pouvons intégrer. Heureusement, nous pouvons le faire en utilisant les lois des exposants. Premièrement, nous rappelons que la racine carrée de 𝑎 est équivalente à 𝑎 à la puissance un demi. En utilisant cela, nous pouvons réécrire l’intégrale comme l’intégrale de sept fois 𝑥 au cube à la puissance un demi par rapport à 𝑥.
Mais nous n’avons toujours pas terminé. Nous ne pouvons toujours pas intégrer cela directement. Nous devons utiliser une autre des lois sur les exposants. Nous rappelons que 𝑎 à la puissance 𝑏 le tout élevé à la puissance 𝑐 est égal à 𝑎 à la puissance 𝑏 fois 𝑐. En utilisant cela, nous pouvons montrer que 𝑥 au cube, le tout élevé à la puissance un demi est égal à 𝑥 à la puissance trois sur deux. Nous devons donc maintenant intégrer sept fois 𝑥 à la puissance trois sur deux par rapport à 𝑥. Et nous pouvons le faire en utilisant la règle des puissances pour l’intégration.
Nous rappelons que la règle des puissances pour l’intégration nous dit que pour les constantes 𝑎 et 𝑛 où 𝑛 est différent de moins un, l’intégrale de 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un divisé par 𝑛 plus un plus une constante d’intégration 𝑐. Nous ajoutons un à l’exposant de 𝑥 puis divisons par ce nouvel exposant de 𝑥. Dans notre cas, l’exposant de 𝑥 est trois sur deux, nous allons donc définir 𝑛 comme étant trois sur deux. Donc, en appliquant la règle des puissances pour l’intégration avec 𝑎 égal à sept et 𝑛 égal à trois sur deux, nous obtenons sept fois 𝑥 à la puissance trois sur deux plus un divisé par trois sur deux plus un plus une constante d’intégration 𝑐.
Et nous pouvons simplifier cela puisque trois sur deux plus un est égal à cinq sur deux. Donc, cela nous donne sept fois 𝑥 à la puissance cinq sur deux divisé par cinq sur deux plus 𝑐. Et pour faciliter les choses, au lieu de diviser par la fraction cinq sur deux, nous allons multiplier par l’inverse. Et l’inverse de cinq sur deux est deux cinquièmes. Cela nous donne sept fois deux cinquièmes fois 𝑥 à la puissance cinq sur deux plus 𝑐. Et, enfin, nous pouvons simplifier sept fois deux cinquièmes pour obtenir 14 sur cinq. Par conséquent, nous avons montré que l’intégrale indéfinie de sept fois la racine carrée de 𝑥 au cube par rapport à 𝑥 est égale à 14𝑥 à la puissance cinq sur deux divisé par cinq plus la constante d’intégration 𝑐.
