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Un homme d’une taille de 1,7 mètre se tient devant un réverbère de 4,3 mètres de haut. Lorsque le réverbère est allumé, l’ombre de l’homme est de 2,2 mètres de long. Trouvez la distance entre l’homme et la base du réverbère, en donnant la réponse au centième près.
En traçant une figure avec les informations données, la hauteur du réverbère et la hauteur de l’homme, nous pouvons ensuite ajouter une ligne pour représenter l’ombre lorsque le réverbère s’allume jusqu’à une longueur de 2,2 mètres. La valeur inconnue est la distance entre l’homme et la base du réverbère. Appelons cela 𝑥 mètres.
Nous pouvons penser à ce qui se passe ici en fonction de triangles rectangles. Même si la figure n’est pas parfaitement dessinée à l’échelle, nous pouvons voir que le grand triangle rectangle pourrait avoir une longueur de côté de 4,3 pour représenter la hauteur du réverbère. Et il existe un petit triangle rectangle à l’intérieur du plus grand, de sorte qu’il a une longueur de côté de 1,7 représentant la hauteur de l’homme et un côté supplémentaire de 2,2 mètres représentant l’ombre. La valeur inconnue, la distance entre l’homme et la base du réverbère, est 𝑥. De plus, nous pouvons voir que ces triangles partagent un angle, que nous appellerons angle 𝜃. Il s’agit d’un angle d’élévation partagé entre le sommet du réverbère et la hauteur de l’homme.
Pour trouver la valeur de 𝑥, considérons quelques rapports trigonométriques. Nous savons que le sinus est égal à l’opposé sur l’hypoténuse, le cosinus est égal à adjacent sur l’hypoténuse, et la tangente est égale à l’opposé sur l’hypoténuse. Cela signifie que nous pouvons écrire une relation pour tangente de 𝜃 égal à 1,7 sur 2,2. Si nous considérons le plus grand triangle qui partage cet angle 𝜃, nous pouvons écrire une relation pour la tangente de 𝜃, où la longueur du côté adjacent est égale à 𝑥 plus 2,2. Cela nous donne une deuxième équation pour tangente de 𝜃 qui est égale à 4,3 sur 𝑥 plus 2,2.
Puisque nous avons le même angle, 𝜃, nous pouvons rendre ces deux rapports égaux. Nous aurions 1,7 sur 2,2 est égal à 4,3 sur 𝑥 plus 2,2. Si nous multiplions les deux membres par 2,2 puis par 𝑥 plus 2,2, nous obtiendrons 1,7 fois 𝑥 plus 2,2 est égal à 2,2 fois 4,3. En distribuant 1,7 puis en multipliant 2,2 par 4,3, on obtient 1,7𝑥 plus 3,74 égale 9,46. Soustraire 3,74 nous donne 1,7𝑥 est égal à 5,74. La division par 𝑥 nous donne 𝑥 est égal à 3,3647.
Nous voulons arrondir au centième près ici. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons 3,36. Rappelez-vous, le contexte de notre question est de savoir à quelle distance l’homme se situe à la base du réverbère. Et la réponse est 3,36 mètres.
