Fiche explicative de la leçon: Angles d’élévation et de dépression Mathématiques • Première secondaire

Exemple 1: Identifier l’angle d’élévation sur un schéma

Sur le schéma ci-dessous d’une échelle posée contre un mur, lequel des angles suivants représente l’angle d’élévation de l’échelle ? 

Réponse

L’angle d’élévation est l’angle entre la ligne de visée de l’observateur et l’axe horizontal (lorsque l’objet est au-dessus de l’horizontale).

Dans ce cas, l’angle d’élévation se situe entre l’échelle et l’horizontale (car il n’y a pas d’observateur dans ce problème). Il est indiqué en violet sur le schéma ci-dessous.

Cet angle est formé par les segments et et est noté ou .

La réponse est le choix A, , car n’est pas listé dans les choix.

Exemple 2: Calculer l’angle de dépression

Dans le schéma ci-dessous, Adrien observe une bouée dans la mer à partir d’un point à 6 ft au-dessus d’une falaise de 45 ft. Il sait que la distance horizontale entre la bouée et la base de la falaise est de 60 ft. Quel est l’angle de dépression, en degrés, de Adrien à la bouée ? Donnez votre solution au centième près.

Réponse

Pour résoudre ce problème, on doit commencer par indiquer les informations clés fournies dans la question sur le schéma.

On sait d’abord que Adrien observe une bouée dans la mer à partir d’un point à 6 ft au-dessus d’une falaise de 45 ft. On peut en déduire que la hauteur totale de Adrien et de la falaise est la somme de 6 ft et 45 ft, qui est égale à 51 ft. Sur le schéma, elle est représentée par . Comme est un rectangle, alors est de même longueur que .

Ensuite, Adrien sait que la distance horizontale de la bouée à la base de la falaise est 60 ft. Elle est représentée par sur le schéma. Comme est un rectangle, alors est de même longueur que .

On doit déterminer l’angle de dépression de Adrien à la bouée. Il est formé par la ligne de visée de Adrien à la bouée, représentée par , et l’axe horizontal de Adrien, qui est .

Comme est perpendiculaire à , forme un triangle rectangle. On peut utiliser les rapports trigonométriques pour déterminer l’angle de dépression. Identifier les côtés connus permet de déterminer que est le côté adjacent à l’angle et que est le côté opposé à l’angle.

On doit ensuite utiliser le rapport trigonométrique du côté opposé et du côté adjacent, qui est la tangente :  où est l’angle de dépression.

En substituant 60 ft à la longueur du côté adjacent et 51 ft à la longueur du côté opposé, on obtient

Pour déterminer , on doit prendre la tangente réciproque de l’équation, ce qui donne qui est égal à au centième près.

Donc l’angle de dépression de Adrien à la bouée est de au centième près.

Exemple 3: Utiliser la trigonométrie pour résoudre un problème impliquant un angle d’élévation

Mehdi se tient à 40 m d’un bâtiment de 25 m de haut. Quel est l’angle d’élévation de Mehdi au sommet du bâtiment ? Arrondissez votre réponse au degré près.

Réponse

Pour résoudre ce problème, on commence par tracer un schéma pour représenter les informations clés fournies. On sait que Mehdi se tient à 40 m d’un bâtiment, ce que l’on peut représenter en utilisant un axe horizontal. On sait également que le bâtiment mesure 25 m de haut, ce que l’on peut représenter en utilisant une ligne verticale qui coupe l’axe horizontal.

Comme on doit déterminer l’angle d’élévation de Mehdi au sommet du bâtiment, alors on peut tracer une ligne d’une extrémité du segment horizontal au sommet du segment vertical (également appelée ligne de visée.

Comme le schéma ci-dessous est un triangle rectangle, on peut utiliser les rapports trigonométriques pour déterminer l’angle d’élévation. Identifier les côtés permet de déterminer que la hauteur du bâtiment est le côté opposé et que la distance de Mehdi au bâtiment est le côté adjacent.

On doit ensuite utiliser le rapport trigonométrique du côté opposé et du côté adjacent, qui est la tangente :  où est l’angle d’élévation.

En substituant 40 m à la longueur du côté adjacent et 25 m à la longueur du côté opposé, on obtient

Pour déterminer , on doit prendre la tangente réciproque de l’équation, ce qui donne qui est égal à au degré près.

Donc, l’angle d’élévation de Mehdi au sommet du bâtiment est de au degré près.

Exemple 4: Utiliser la trigonométrie pour résoudre un problème de la vie courante

Hugo veut déterminer la hauteur d’une tour. Il décide qu’il a besoin de fabriquer un inclinomètre pour mesurer l’angle d’élévation. Il utilise une paille, un rapporteur, de la ficelle et un peu de Patafix comme poids. Hugo se situe à une distance horizontale de 100 ft de la base de la tour et il mesure un angle de grâce à son inclinomètre, comme le montre le schéma.

1. Calculez l’angle d’élévation.
2. Sachant que l’œil de Hugo est à 6 ft du sol, calculez la hauteur de la tour au piedprès.

Réponse

Partie 1

Pour déterminer l’angle d’élévation, on doit d’abord déterminer de quel angle il s’agit sur le schéma puis utiliser les informations fournies pour calculer l’angle.

Par définition, l’angle d’élévation est l’angle formé par la ligne de visée de l’observateur et l’axe horizontal quand l’objet observé est au-dessus de l’horizontale. Dans ce cas, il s’agit de la ligne de visée de Hugo au sommet de la tour et de l’axe horizontal de Hugo à la tour. Il est indiqué sur le schéma.

L’angle mesuré par l’inclinomètre est de  ; comme le triangle formé par la ligne de visée, l’axe horizontal et la distance perpendiculaire entre le sommet de la tour et l’axe horizontal est un triangle rectangle, on peut utiliser le fait que la somme des angles d’un triangle est égale à pour déterminer l’angle d’élévation : 

Donc, l’angle d’élévation est de .

Partie 2

Pour calculer la hauteur de la tour, on commence par utiliser les informations de la question pour identifier les valeurs connues sur le schéma. On sait que Hugo se situe à une distance horizontale de 100 ft de la tour. Elle est égale à la longueur du segment horizontal allant des yeux de Hugo au point situé sous le sommet de la tour, qui est la base du triangle sur la figure. On sait aussi de la première partie que l’angle d’élévation est égal à . On peut indiquer les deux valeurs sur le schéma.

La question indique également que Hugo mesure 6 ft. Il s’agit de la même longueur que la distance entre la base de la tour et le point où l’axe horizontal rencontre la tour. On cherche à déterminer la hauteur totale de la tour, on doit donc déterminer la distance perpendiculaire entre l’axe horizontal et le sommet de la tour, que l’on appelle . On les indique également sur le schéma.

On cherche ensuite . Comme on a un triangle rectangle et que l’on connaît un angle et un côté, on peut utiliser la trigonométrie pour déterminer la longueur inconnue, . Pour ce faire, on utilise l’angle d’élévation de comme l’angle connu. La valeur est alors la longueur du côté opposé à l’angle et le segment horizontal mesurant 100 ft est le côté adjacent à l’angle, comme le montre le schéma ci-dessous.

Après avoir indiqué les côtés et l’angle nécessaires, on peut utiliser l’un des rapports trigonométriques pour déterminer . Comme on connaît la longueur du côté adjacent à l’angle et que l’on souhaite déterminer la longueur du côté opposé à l’angle, on doit utiliser la tangente, qui est où est l’angle d’élévation.

En substituant , et , on a

En isolant , on obtient

Maintenant que l’on a trouvé , on peut déterminer la hauteur de la tour, qui est égale à la somme de , 60,086 ft et de la taille de Hugo,, 6 ft :  qui est 66 ft au pied près.

Donc, la hauteur de la tour est de 66 ft au piedprès.

Exemple 5: Utiliser la trigonométrie des triangles rectangles pour déterminer une longueur inconnue dans un contexte réel impliquant un angle d’élévation

Sur le schéma ci-dessous, une échelle de 15 ft est posée contre un mur avec un angle d’élévation de . À quelle hauteur l’échelle touche-t-elle le mur ? Donnez votre réponse au centième près.

Réponse

Afin de déterminer à quelle hauteur l’échelle touche le mur, on doit d’abord utiliser les informations clés de la question pour compléter le schéma. On sait que l’angle d’élévation, qui est l’angle entre l’axe horizontal et l’échelle , est de . On sait aussi que la longueur de l’échelle est de 15 ft. On souhaite déterminer à quelle hauteur l’échelle touche le mur, c’est-à-dire , on peut donc l’appeler . En indiquant ces informations sur le schéma, on obtient ce qui suit.

Après avoir indiqué les informations clés sur le schéma, on peut voir que l’on connaît un côté et un angle dans un triangle rectangle. On utilise donc la trigonométrie pour trouver la longueur inconnue, . Pour ce faire, on doit identifier les côtés en fonction de l’angle connu , qui est de . Dans ce cas, est la longueur du côté opposé à l’angle et la longueur de l’échelle, 15 ft, est la longueur de l’hypoténuse, comme on le voit ci-dessous.

Comme on connaît l’angle et l’hypoténuse et que l’on doit déterminer la longueur du côté opposé à l’angle, on utilise le sinus, qui est où est l’angle d’élévation.

En substituant 15 à la longueur de l’hypoténuse, à la longueur du côté opposé et à l’angle , on a

En isolant , on obtient qui est 14,10 ft au centième près.

Donc, la hauteur que l’échelle peut atteindre est de 14,10 ft au centième près.