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Fiche explicative de la leçon : Angles d’élévation et de dépression Mathématiques

Dans cette leçon, nous allons apprendre comment résoudre des problèmes de la vie courante qui impliquent des angles d’élévation et de dépression en utilisant le rapport de la tangente.

Afin de résoudre des problèmes impliquant des angles d’élévation ou de dépression, on doit être capable de déterminer quel angle du problème se réfère à une élévation ou une dépression.

Un angle d’élévation est l’angle formé entre la ligne de visée d’un observateur et un axe horizontal par rapport à son œil lorsque l’objet observé est au-dessus de l’horizontale. Cela peut être un avion, le sommet d’un arbre, un ballon ou tout autre objet au-dessus de l’horizontale. Il peut aussi être l’angle que fait un objet, par exemple une échelle, avec l’horizontale lorsqu’il est appuyé contre un mur.

Un angle de dépression est l’angle formé entre la ligne de visée d’un observateur et un axe horizontal par rapport à son œil lorsque l’objet observé est en dessous de l’horizontale. Cela peut être un objet au sol si l’observateur est sur un bâtiment ou une autre structure haute, ou la mer si l’observateur est sur une falaise.

Définition : Angles d’élévation et de dépression

Un angle d’élévation désigne l’angle formé par la ligne de visée d’un observateur et un axe horizontal pour un objet au-dessus de l’horizontale.

Un angle de dépression désigne l’angle formé par la ligne de visée d’un observateur et un axe horizontal pour un objet en dessous de l’horizontale.

Dans le premier exemple, nous allons identifier quel angle est l’angle d’élévation sur un schéma.

Exemple 1: Identifier l’angle d’élévation sur un schéma

Sur le schéma ci-dessous d’une échelle posée contre un mur, lequel des angles suivants représente l’angle d’élévation de l’échelle?

  1. 𝐵𝐴𝐶
  2. 𝐴𝐵𝐶
  3. 𝐴𝐶𝐵

Réponse

L’angle d’élévation est l’angle entre la ligne de visée de l’observateur et l’axe horizontal (lorsque l’objet est au-dessus de l’horizontale).

Dans ce cas, l’angle d’élévation se situe entre l’échelle et l’horizontale (car il n’y a pas d’observateur dans ce problème). Il est indiqué en violet sur le schéma ci-dessous.

Cet angle est formé par les segments 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 et est noté 𝐵𝐴𝐶 ou 𝐶𝐴𝐵.

La réponse est le choix A, 𝐵𝐴𝐶, car 𝐶𝐴𝐵 n’est pas listé dans les choix.

Après avoir appris à identifier l’angle d’élévation ou de dépression à l’aide d’un schéma, nous allons maintenant voir comment déterminer des côtés ou des angles inconnus dans des problèmes impliquant des angles d’élévation ou de dépression.

Dans cette leçon, nous allons nous concentrer sur les problèmes impliquant des triangles rectangles où la ligne de visée de l’observateur, l’axe horizontal et la distance perpendiculaire de l’objet observé à l’axe horizontal forment un triangle rectangle. Nous pouvons rencontrer cette situation dans les cas d’élévation et de dépression ci-dessous.

En utilisant la trigonométrie et le théorème de Pythagore, nous pouvons déterminer les longueurs et les angles de ces triangles rectangles lorsque nous connaissons deux longueurs, ou une longueur et l’angle de dépression ou d’élévation. Rappelons les rapports trigonométriques.

Définition : Rapports trigonométriques

Dans un triangle rectangle avec un angle 𝜃 différent de l’angle droit, une hypoténuse de longueur 𝐻, un côté opposé à 𝜃 de longueur 𝑂 et un côté adjacent à 𝜃 de longueur 𝐴, sincostan𝜃=𝑂𝐻,𝜃=𝐴𝐻,𝜃=𝑂𝐴.

Pour les triangles rectangles que l’on construit avec des angles d’élévation ou de dépression, on peut identifier les côtés en utilisant l’angle comme suit:l’hypoténuse est sur la ligne de visée de l’observateur, le côté adjacent est sur l’axe horizontal et le côté opposé est la distance perpendiculaire de l’objet observé à l’horizontale. On peut le voir sur le schéma ci-dessous.

Comme les problèmes impliquant des angles d’élévation ou de dépression impliquent généralement la distance horizontale de l’observateur au point situé au-dessus ou en dessous de l’objet observé (le côté adjacent), la distance perpendiculaire de l’objet à l’axe horizontal (le côté opposé) et l’angle d’élévation ou de dépression, nous utilisons le rapport de ces longueurs. Il s’agit de la tangente.

Définition : Calculer des angles d’élévation et de dépression

Un angle 𝜃, qui est l’angle d’élévation ou de dépression formé par la ligne de visée d’un observateur et l’axe horizontal d’un objet au-dessus ou en dessous de l’horizontale, peut être calculé à l’aide de la formule suivante:tan𝜃=𝑂𝐴,𝑂 est la longueur du côté opposé à l’angle d’élévation ou de dépression, ou la distance perpendiculaire de l’objet à l’axe horizontal, et 𝐴 est la distance horizontale entre l’observateur et le point situé au-dessus ou en dessous de l’objet observé.

Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser la tangente pour calculer l’angle de dépression à l’aide d’un schéma.

Exemple 2: Calculer l’angle de dépression

Dans le schéma ci-dessous, Adrien observe une bouée dans la mer à partir d’un point à 6 ft au-dessus d’une falaise de 45 ft. Il sait que la distance horizontale entre la bouée et la base de la falaise est de 60 ft. Quel est l’angle de dépression, en degrés, de Adrien à la bouée?Donnez votre solution au centième près.

Réponse

Pour résoudre ce problème, on doit commencer par indiquer les informations clés fournies dans la question sur le schéma.

On sait d’abord que Adrien observe une bouée dans la mer à partir d’un point à 6 ft au-dessus d’une falaise de 45 ft. On peut en déduire que la hauteur totale de Adrien et de la falaise est la somme de 6 ft et 45 ft, qui est égale à 51 ft. Sur le schéma, elle est représentée par 𝐴𝐷. Comme 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un rectangle, alors 𝐵𝐶 est de même longueur que 𝐴𝐷.

Ensuite, Adrien sait que la distance horizontale de la bouée à la base de la falaise est 60 ft. Elle est représentée par 𝐷𝐶 sur le schéma. Comme 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un rectangle, alors 𝐴𝐵 est de même longueur que 𝐷𝐶.

On doit déterminer l’angle de dépression de Adrien à la bouée. Il est formé par la ligne de visée de Adrien à la bouée, représentée par 𝐴𝐶, et l’axe horizontal de Adrien, qui est 𝐴𝐵.

Comme 𝐴𝐵 est perpendiculaire à 𝐵𝐶, 𝐴𝐵𝐶 forme un triangle rectangle. On peut utiliser les rapports trigonométriques pour déterminer l’angle de dépression. Identifier les côtés connus permet de déterminer que 𝐴𝐵 est le côté adjacent à l’angle et que 𝐵𝐶 est le côté opposé à l’angle.

On doit ensuite utiliser le rapport trigonométrique du côté opposé et du côté adjacent, qui est la tangente:tanopposéadjacent𝜃=,𝜃 est l’angle de dépression.

En substituant 60 ft à la longueur du côté adjacent et 51 ft à la longueur du côté opposé, on obtient tan𝜃=5160.

Pour déterminer 𝜃, on doit prendre la tangente réciproque de l’équation, ce qui donne tan5160=40,364, qui est égal à 40,36au centième près.

Donc l’angle de dépression de Adrien à la bouée est de 40,36 au centième près.

Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer l’angle d’élévation en utilisant la tangente, mais sans schéma cette fois.

Exemple 3: Utiliser la trigonométrie pour résoudre un problème impliquant un angle d’élévation

Mehdi se tient à 40 m d’un bâtiment de 25 m de haut. Quel est l’angle d’élévation de Mehdi au sommet du bâtiment?Arrondissez votre réponse au degré près.

Réponse

Pour résoudre ce problème, on commence par tracer un schéma pour représenter les informations clés fournies. On sait que Mehdi se tient à 40 m d’un bâtiment, ce que l’on peut représenter en utilisant un axe horizontal. On sait également que le bâtiment mesure 25 m de haut, ce que l’on peut représenter en utilisant une ligne verticale qui coupe l’axe horizontal.

Comme on doit déterminer l’angle d’élévation de Mehdi au sommet du bâtiment, alors on peut tracer une ligne d’une extrémité du segment horizontal au sommet du segment vertical (également appelée ligne de visée.

Comme le schéma ci-dessous est un triangle rectangle, on peut utiliser les rapports trigonométriques pour déterminer l’angle d’élévation. Identifier les côtés permet de déterminer que la hauteur du bâtiment est le côté opposé et que la distance de Mehdi au bâtiment est le côté adjacent.

On doit ensuite utiliser le rapport trigonométrique du côté opposé et du côté adjacent, qui est la tangente:tanopposéadjacent𝜃=,𝜃 est l’angle d’élévation.

En substituant 40 m à la longueur du côté adjacent et 25 m à la longueur du côté opposé, on obtient tan𝜃=2540.

Pour déterminer 𝜃, on doit prendre la tangente réciproque de l’équation, ce qui donne tan2540=32,005, qui est égal à 32 au degré près.

Donc, l’angle d’élévation de Mehdi au sommet du bâtiment est de 32 au degré près.

Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser le fait que la somme des angles d’un triangle est égale à 180 afin de résoudre un problème d’angle d’élévation impliquant un inclinomètre (un instrument utilisé pour mesurer l’angle d’élévation).

Exemple 4: Utiliser la trigonométrie pour résoudre un problème de la vie courante

Hugo veut déterminer la hauteur d’une tour. Il décide qu’il a besoin de fabriquer un inclinomètre pour mesurer l’angle d’élévation. Il utilise une paille, un rapporteur, de la ficelle et un peu de Patafix comme poids. Hugo se situe à une distance horizontale de 100 ft de la base de la tour et il mesure un angle de 59 grâce à son inclinomètre, comme le montre le schéma.

  1. Calculez l’angle d’élévation.
  2. Sachant que l’œil de Hugo est à 6 ft du sol, calculez la hauteur de la tour au piedprès.

Réponse

Partie 1

Pour déterminer l’angle d’élévation, on doit d’abord déterminer de quel angle il s’agit sur le schéma puis utiliser les informations fournies pour calculer l’angle.

Par définition, l’angle d’élévation est l’angle formé par la ligne de visée de l’observateur et l’axe horizontal quand l’objet observé est au-dessus de l’horizontale. Dans ce cas, il s’agit de la ligne de visée de Hugo au sommet de la tour et de l’axe horizontal de Hugo à la tour. Il est indiqué sur le schéma.

L’angle mesuré par l’inclinomètre est de 59;comme le triangle formé par la ligne de visée, l’axe horizontal et la distance perpendiculaire entre le sommet de la tour et l’axe horizontal est un triangle rectangle, on peut utiliser le fait que la somme des angles d’un triangle est égale à 180 pour déterminer l’angle d’élévation:angledélévationangledélévation+90+59=180=180149=31.

Donc, l’angle d’élévation est de 31.

Partie 2

Pour calculer la hauteur de la tour, on commence par utiliser les informations de la question pour identifier les valeurs connues sur le schéma. On sait que Hugo se situe à une distance horizontale de 100 ft de la tour. Elle est égale à la longueur du segment horizontal allant des yeux de Hugo au point situé sous le sommet de la tour, qui est la base du triangle sur la figure. On sait aussi de la première partie que l’angle d’élévation est égal à 31. On peut indiquer les deux valeurs sur le schéma.

La question indique également que Hugo mesure 6 ft. Il s’agit de la même longueur que la distance entre la base de la tour et le point où l’axe horizontal rencontre la tour. On cherche à déterminer la hauteur totale de la tour, on doit donc déterminer la distance perpendiculaire entre l’axe horizontal et le sommet de la tour, que l’on appelle 𝑥. On les indique également sur le schéma.

On cherche ensuite 𝑥. Comme on a un triangle rectangle et que l’on connaît un angle et un côté, on peut utiliser la trigonométrie pour déterminer la longueur inconnue, 𝑥. Pour ce faire, on utilise l’angle d’élévation de 31 comme l’angle connu. La valeur 𝑥 est alors la longueur du côté opposé à l’angle et le segment horizontal mesurant 100 ft est le côté adjacent à l’angle, comme le montre le schéma ci-dessous.

Après avoir indiqué les côtés et l’angle nécessaires, on peut utiliser l’un des rapports trigonométriques pour déterminer 𝑥. Comme on connaît la longueur du côté adjacent à l’angle et que l’on souhaite déterminer la longueur du côté opposé à l’angle, on doit utiliser la tangente, qui est tanopposéadjacent𝜃=,𝜃 est l’angle d’élévation.

En substituant 𝜃=31, opposé=𝑥 et adjacent=100, on a tan(31)=𝑥100.

En isolant 𝑥, on obtient tanft(31)×100=𝑥,𝑥=0,60086×10060,086.

Maintenant que l’on a trouvé 𝑥, on peut déterminer la hauteur de la tour, qui est égale à la somme de 𝑥 , 60,086 ft et de la taille de Hugo,, 6 ft:hauteurdelatour60,086+666,086, qui est 66 ft au pied près.

Donc, la hauteur de la tour est de 66 ft au piedprès.

Dans l’exemple suivant, nous allons étudier un problème avec une échelle posée contre un mur. Ce problème est légèrement différent des trois exemples précédents, car nous avons différentes informations et devons donc utiliser un rapport trigonométrique différent.

Exemple 5: Utiliser la trigonométrie des triangles rectangles pour déterminer une longueur inconnue dans un contexte réel impliquant un angle d’élévation

Sur le schéma ci-dessous, une échelle de 15 ft est posée contre un mur avec un angle d’élévation de 70. À quelle hauteur l’échelle touche-t-elle le mur?Donnez votre réponse au centième près.

Réponse

Afin de déterminer à quelle hauteur l’échelle touche le mur, on doit d’abord utiliser les informations clés de la question pour compléter le schéma. On sait que l’angle d’élévation, qui est l’angle entre l’axe horizontal 𝐴𝐶 et l’échelle 𝐴𝐵, est de 70. On sait aussi que la longueur de l’échelle 𝐴𝐵 est de 15 ft. On souhaite déterminer à quelle hauteur l’échelle touche le mur, c’est-à-dire 𝐵𝐶, on peut donc l’appeler 𝑥. En indiquant ces informations sur le schéma, on obtient ce qui suit.

Après avoir indiqué les informations clés sur le schéma, on peut voir que l’on connaît un côté et un angle dans un triangle rectangle. On utilise donc la trigonométrie pour trouver la longueur inconnue, 𝑥. Pour ce faire, on doit identifier les côtés en fonction de l’angle connu 𝜃, qui est de 70. Dans ce cas, 𝑥 est la longueur du côté opposé à l’angle et la longueur de l’échelle, 15 ft, est la longueur de l’hypoténuse, comme on le voit ci-dessous.

Comme on connaît l’angle et l’hypoténuse et que l’on doit déterminer la longueur du côté opposé à l’angle, on utilise le sinus, qui est sinopposéhypoténuse𝜃=,𝜃 est l’angle d’élévation.

En substituant 15 à la longueur de l’hypoténuse, 𝑥 à la longueur du côté opposé et 70 à l’angle 𝜃, on a sin(70)=𝑥15.

En isolant 𝑥, on obtient sinft(70)×15=𝑥,𝑥=0,9397×15=14,095, qui est 14,10 ft au centième près.

Donc, la hauteur que l’échelle peut atteindre est de 14,10 ft au centième près.

Dans cette fiche explicative, nous avons appris comment identifier et déterminer l’angle d’élévation ou de dépression dans des problèmes et comment utiliser les rapports trigonométriques pour résoudre des problèmes impliquant des angles d’élévation ou de dépression.

Points clés

  • L’angle d’élévation ou de dépression est l’angle entre la ligne de visée d’un observateur et l’axe horizontal au niveau de son œil lorsque l’objet est au-dessus ou en dessous de l’horizontale.
  • L’angle d’élévation ou de dépression, 𝜃, peut être calculé à l’aide de la formule suivante:tan𝜃=𝑂𝐴,𝑂 est la longueur du côté opposé à l’angle d’élévation ou de dépression, ou la distance perpendiculaire de l’objet à l’axe horizontal, et 𝐴 est la distance horizontale entre l’observateur et le point situé au-dessus ou en dessous de l’objet observé.

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