Vidéo de la leçon: Trigonométrie : angles d’élévation et de dépression Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons étudier une application de la trigonométrie au calcul des angles d’élévation et de dépression.

Donc, tout d’abord, clarifions ce que l’on entend par angles d’élévation et angles de dépression. Et les deux figures ici sont utiles pour l’expliquer, les angles d’élévation, tout d’abord. Donc, nous avons ici une figure d’une personne et elle regarde un objet au-dessus d’elle. L’angle d’élévation est l’angle formé entre l’horizontale et la ligne de vue de cette personne lorsqu’elle regarde vers cet objet.

Un angle de dépression est un concept similaire, mais cette fois, notre observateur regarde quelque chose. Ainsi, l’angle de dépression est l’angle formé à nouveau entre l’horizontale et la ligne de vue de l’observateur lorsqu’ils regardent vers un objet.

En fait, si je devais ajouter une autre personne, comme je l’ai fait dans cette figure à droite, alors l’angle d’élévation de l’observateur ci-dessous et l’angle de dépression de l’observateur ci-dessus sont les mêmes. Ils sont congruents car les deux horizontales sont parallèles. Et donc, ces deux angles sont des angles intérieurs alternés en lignes parallèles. Donc, beaucoup de questions sur les angles d’élévation et de dépression ont tendance à être formulées, où vous devez lire une description, l’interpréter, et je suggère toujours de dessiner une figure pour vous aider. Nous allons donc voir quelques exemples de cela.

Voici donc notre première question.

Il dit que Tom se tient sur une falaise de 100 mètres de haut et voit un bateau en mer. L’angle de dépression de Tom au bateau est de 51 degrés. Calculez la distance entre le bateau et la base de la falaise.

Ainsi, comme je l’ai mentionné, une figure est toujours un point de départ utile pour visualiser la situation ici. Voici donc mon schéma. J’ai une falaise avec Tom dessus et un bateau en mer et Tom regarde vers le bateau. Maintenant, on nous dit que l’angle de dépression est de 51 degrés. Donc, je dois aussi dessiner à l’horizontale. Parce que, rappelez-vous, l’angle de dépression est mesuré à partir de l’horizontale. Donc, il y a l’horizontale. Et l’angle de dépression qu’on nous donne est de 51 degrés. Donc, je dois étiqueter cela ici.

Maintenant, si je veux utiliser la trigonométrie pour aborder ce problème, j’ai besoin d’un triangle rectangle. Donc, je vais également ajouter une droite verticale parallèle à la falaise du bateau à l’horizontale. Donc, cela me donne le triangle rectangle avec lequel je vais travailler. Maintenant, nous avons d’autres informations. On nous dit que la falaise sur laquelle Tom se tient est à 100 mètres de haut. Cela signifie donc que je peux étiqueter cette mesure ici comme 100 mètres.

Maintenant, il convient de souligner que nous n’avons en aucune façon pris en compte la taille de Tom. De toute évidence, Tom est au sommet de la falaise, alors il va ajouter un peu à cela. Mais on ne nous a pas dit la taille de Tom. Donc, dans cette question, nous ignorons la taille de Tom. Dans une autre question, il est possible que l’on vous dise la taille de Tom ou la hauteur de ses yeux par rapport au sol, auquel cas vous devrez également en tenir compte. Mais dans cette question, nous le traitons simplement comme les 100 mètres pour la hauteur de la falaise.

Maintenant, on nous demande de calculer la distance entre le bateau et la base de la falaise. Donc, c’est cette distance horizontale ici, que j’ai appelée 𝑑 mètres. Donc, en réfléchissant à la façon d’aborder ce problème, c’est un problème de trigonométrie. Et la première étape pour moi lorsque j’aborde une question de trigonométrie est de toujours étiqueter les côtés comme opposés, adjacents et hypoténuse par rapport à l’angle. Donc, c’est par rapport aux 51 degrés ici.

Donc, il y a leurs étiquettes. Et je peux voir que l’on m’a donné le contraire et je veux connaître le voisin. Donc, j’ai O et A. Donc, je vais utiliser le rapport de tangence ici. Je dois alors rappeler quelle est la définition du rapport tangent. Et la définition, rappelez-vous, est que le tan de 𝜃, où 𝜃 représente un angle, est le rapport de l’opposé divisé par l’adjacent.

Donc, ce que je vais faire, c’est que je vais réécrire ce ratio, mais je vais remplir les informations que je connais pour cette question. Donc, je vais remplacer 𝜃 par 51 degrés, je vais remplacer l’opposé par 100, et je vais remplacer adjacent par 𝑑 car c’est la lettre que je lui ai donnée dans cette question. Donc, j’ai un tan de 51 est égal à 100 sur 𝑑.

Maintenant, cherchons à résoudre cette équation afin de déterminer la valeur de 𝑑. 𝑑 est actuellement dans le dénominateur d’une fraction, donc la première chose que je vais faire est que je vais multiplier les deux côtés de l’équation par 𝑑. Et cela me donne 𝑑 multiplié par tan 51 est égal à 100. Maintenant, la prochaine étape pour obtenir 𝑑 seul ici est de diviser les deux côtés de l’équation par tan 51. Tan 51 est juste un nombre, donc je peux le faire sans aucun problème. Et donc, cela me donne 𝑑 est égal à 100 sur tan 51.

Maintenant, à ce stade, je vais chercher ma calculatrice afin d’évaluer cela. Et comme ce 51 a été mesuré en degrés, je dois m’assurer que ma calculatrice est en mode degrés pour cette question. Donc, évaluer cela me donne 80.9784 pour 𝑑. On ne m’a pas dit comment arrondir ma réponse. Donc, dans ce cas, je vais l’arrondir au mètre près. Donc, cela me dit que la distance entre le bateau et la base de la falaise est de 81 mètres au mètre près.

Donc, vraiment important de dessiner une figure si on ne vous en a pas donné. Lisez attentivement les informations de la question et assurez-vous de les mettre correctement sur la figure. Rappelant le rapport tangent puis résolvant l’équation résultante afin de déterminer la longueur du côté recherché.

D’accord, la deuxième question que nous allons examiner.

Jess se trouve à 40 mètres d’un immeuble de 25 mètres de haut. Quel est l’angle d’élévation de Jess au sommet du bâtiment ?

Ainsi, comme je l’ai suggéré auparavant, une figure serait un très bon point de départ pour cette question. Donc, cette fois, je viens de représenter Jess par un point. On ne nous a rien dit sur sa taille. Nous n’en tenons donc pas compte. Elle est à 40 mètres du bâtiment, qui est de 25 mètres de haut. Et nous faisons ici l’hypothèse raisonnable que le bâtiment est à angle droit par rapport au sol, qui est horizontal. Donc, nous cherchons à calculer l’angle d’élévation alors que Jess regarde en haut du bâtiment. C’est donc cet angle que j’ai marqué comme 𝜃 sur la figure.

Donc, comme précédemment, c’est un problème de trigonométrie, il est donc toujours judicieux d’étiqueter les trois côtés du triangle en premier. Donc, l’hypoténuse, le côté le plus long ici, l’opposé qui est le côté opposé à cet angle 𝜃, puis l’adjacent qui est entre 𝜃 et l’angle droit. Les deux côtés qu’on nous a donnés sont le contraire et l’adjacent. Donc, nous allons utiliser à nouveau ce rapport de tangence. Écrivons donc sa définition. Donc, le tan de 𝜃 est égal à l’opposé divisé par l’adjacent.

Donc, ce que je vais faire, c’est que je vais écrire ce rapport. Mais je vais remplacer l’opposé et l’adjacent par leurs valeurs dans cette question, donc 25 et 40. Donc, j’ai un tan de 𝜃 est égal à 25 sur 40. Maintenant, cela simplifie en fait car je peux diviser les deux parties de ce rapport par cinq. Donc, si je le voulais, je pourrais le simplifier à cinq sur huit. Maintenant, comme nous cherchons à calculer un angle cette fois plutôt qu’un côté, nous devons utiliser cette fonction de tan inverse pour ce faire.

Donc, j’ai que 𝜃 est égal au tan inverse de cinq sur huit. Et à ce stade, je vais chercher ma calculatrice pour évaluer cela. Donc, cela me dit que 𝜃 est égal à 32.00538. Et si j’arrondis cela au degré près, j’ai ma réponse à cette question, à savoir que l’angle d’élévation est de 32 degrés. Donc, comme précédemment, commencez par une figure, identifiez les côtés du triangle rectangle, puis utilisez le rapport de tan afin de trouver cet angle manquant.

D’accord, la dernière question que nous allons examiner dit, Sue se tient à quatre mètres et demi d’une statue. L’angle d’élévation de Sue à la base de la statue est de 18 degrés. L’angle d’élévation de Sue au sommet de la statue est de 49 degrés. On nous demande de déterminer la hauteur de la statue.

Alors, réfléchissez bien aux informations de cette question pendant un moment. On nous donne deux angles d’élévation. Et l’un d’eux est à la base de la statue, ce qui signifie que cette statue n’est pas à plat sur le sol avec Sue. C’est au-dessus d’elle en quelque sorte. Nous devons donc en tenir compte lorsque nous dessinons notre figure. Ainsi, la situation ressemble à ceci. Nous avons Sue debout par terre et elle regarde vers la statue. Je dessinerai également l’horizontale pour le sol.

Alors maintenant, ajoutons les informations que nous connaissons. Sue est à quatre mètres et demi de là. Donc, la distance horizontale ici est de quatre mètres et demi. On nous donne également deux angles d’élévation. L’angle d’élévation de Sue à la base est de 18 degrés. Voilà donc cet angle ici. Et l’angle d’élévation de Sue vers le haut est de 49 degrés. Donc, c’est tout cet angle ici, mesuré à partir de l’horizontale. Et ce que nous cherchons à déterminer, c’est la hauteur de la statue. Nous cherchons donc à calculer cette distance, que j’appellerai 𝑥 mètres.

Or, cette longueur 𝑥 n’est pas réellement dans un triangle rectangle. Et nous avons besoin de triangles rectangles pour effectuer ce type de trigonométrie. Donc, ça va être un processus en deux étapes afin de déterminer cette longueur 𝑥. Il y a deux triangles rectangles dans la figure. Donc, ce que je vais faire, c’est les dessiner séparément afin que nous puissions visualiser le problème un peu plus facilement.

Voici donc ces deux triangles rectangles. Et disons simplement les faire correspondre avec la figure. Cette longueur ici, que je vais appeler 𝑦, est cette longueur ici dans la figure d’origine. Donc, c’est le petit triangle rectangle en bas. Cette longueur ici dans le plus grand triangle, donc celle-ci ici que je vais appeler 𝑧, c’est cette longueur totale ici dans la figure. Alors peut-être, vous pouvez voir maintenant quelle sera ma stratégie. Je vais utiliser ces deux triangles rectangles pour calculer 𝑦 et 𝑧. Et puis en regardant la figure, vous pouvez voir que 𝑥 sera la différence entre ces deux valeurs. Donc, 𝑥 sera 𝑧 moins 𝑦.

Donc, tout d’abord, dans chacun de ces triangles, je vais étiqueter les trois côtés, l’hypoténuse, l’opposé et l’adjacent par rapport à ces angles de 18 et 49 degrés. Donc, dans les deux cas, nous connaissons le voisin et nous voulons calculer le contraire, ce qui signifie que je vais utiliser le rapport de tan. Je vais donc rappeler la définition du rapport de tangence. Et rappelez-vous, c’est cela, que le tan de l’angle 𝜃 est égal à l’opposé divisé par l’adjacent.

Donc, je vais appliquer cela deux fois. En commençant par le petit triangle, je vais remplacer 𝜃 par 18 degrés et je vais remplacer l’adjacent par 4.5. Donc, j’ai un tan de 18 est égal à 𝑦 sur 4.5. La première étape pour résoudre cette équation est alors que je dois multiplier les deux côtés de l’équation par 4.5, car c’est actuellement au dénominateur. Donc, cela me donne que 𝑦 est égal à 4.5 tan 18. Et je viens d’écrire les deux côtés de l’équation dans l’autre sens. Maintenant, si j’évalue cela sur ma calculatrice, c’est une valeur de 1.46. Mais je vais le garder exact pour le moment car je dois réutiliser 𝑦 plus tard dans la question. Et si je le garde comme ça, alors ce sera une valeur exacte et je n’introduirai aucune erreur d’arrondi.

Alors, maintenant, je regarde le deuxième triangle. Et encore une fois, je veux écrire le rapport tangent mais en remplissant les informations que je connais. Donc, 𝜃 va être remplacé par 49 et adjacent va de nouveau être remplacé par 4.5. Donc, j’ai un tan de 49 est égal à 𝑧 sur 4.5. Comme dans le triangle précédent, je dois maintenant multiplier les deux côtés de cette équation par 4.5. Et donc, j’ai que 𝑧 est égal à 4.5 tan 49. Maintenant, encore une fois, si je devais évaluer cela, c’est une valeur d’environ 5.18. Mais je vais le garder comme ça pour l’instant.

À droite, la dernière étape est que je voulais déterminer la hauteur de cette statue, qui était 𝑥. Et rappelez-vous que nous avons dit que pour ce faire, je devrais faire 𝑧 moins 𝑦. Donc, j’ai 𝑥 est égal à 4.5 tan 49 moins 4.5 tan 18. Et c’est la première étape, où je vais utiliser ma calculatrice pour évaluer cela. Donc, cela me dit que 𝑥 est égal à 3.7145. Maintenant, cette réponse est en mètres. Donc, si je l’arrondis au centième près, ce serait le centimètre le plus proche. Donc, cela me dit que la hauteur de la statue est alors de 3.71 mètres.

Donc, dans cette question, obtenir une figure correctement dessinée au début était vraiment important. Ne présumez pas que la statue se tient sur le même terrain plat que Sue. Nous avons dû lire attentivement la question et en déduire qu’elle est en fait au-dessus d’elle.

En résumé, nous avons défini les angles d’élévation et de dépression. Et nous avons vu comment utiliser le rapport de tangente afin de répondre à des questions impliquant le calcul de l’angle d’élévation ou de dépression ou le calcul d’une longueur manquante à partir d’une description formulée.