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On considère la fonction 𝑔 de 𝑥 égale deux 𝑥 au cube sur 𝑥 au carré, déterminez le taux de variation moyen sur l’intervalle fermé de un à cinq.
Nous pouvons rappeler qu’avec une fonction continue 𝑓, nous trouvons le taux de variation moyen sur l’intervalle fermé de 𝑎 à 𝑏 en calculant 𝑓 de 𝑏 moins 𝑓 de 𝑎 sur 𝑏 moins 𝑎. Maintenant, bien sûr, la fonction est 𝑔 de 𝑥. Donc, ce serait 𝑔 de 𝑏 moins 𝑔 de 𝑎 sur 𝑏 moins 𝑎. Mais nous avons dit que la fonction devait être continue. Vérifions donc la continuité de la fonction 𝑔 de 𝑥. On voit que 𝑔 de 𝑥 est un quotient. C’est une fraction de deux polynômes, en réalité des monômes, qui sont des fonctions polynômes à un seul terme.
Maintenant, nous savons que les polynômes eux-mêmes sont continus sur tout leur ensemble de définition. Et nous savons que si nous divisons deux fonctions continues, nous ne pouvons préserver la continuité que si le dénominateur n’est pas égal à zéro. Donc 𝑔 de 𝑥 sera continue sauf si 𝑥 au carré est égal à zéro. Maintenant, si 𝑥 au carré est égal à zéro, on peut dire que 𝑥 lui-même doit être égal à zéro. Mais l’intervalle fermé est l’intervalle de un à cinq. Donc 𝑥 égale zéro est en dehors de cet intervalle. Nous pouvons dire que 𝑔 de 𝑥 est continue sur l’intervalle donné.
Cela signifie donc que le taux de variation moyen sera 𝑔 de cinq moins 𝑔 de un sur cinq moins un. Rappelez-vous, 𝑎 est la limite inférieure de notre intervalle et 𝑏 est la limite supérieure. Alors calculons 𝑔 de cinq et 𝑔 de un. Puisque la fonction est donnée par deux 𝑥 au cube sur 𝑥 au carré, 𝑔 de cinq est deux fois cinq au cube divisé par cinq au carré.
Maintenant, nous pouvons simplifier en divisant par cinq au carré. Et donc 𝑔 de cinq est deux fois cinq, ce qui est juste égal à 10. Nous pouvons effectuer un processus similaire avec 𝑔 de un. Nous obtenons deux fois un au cube sur un carré. Et puis quand on divise par un au carré, on obtient deux fois un, c’est-à-dire deux. Cinq moins un est égal à quatre. Et donc le taux de variation moyen devient 10 moins deux sur quatre, mais 10 moins deux vaut huit. Nous obtenons donc huit sur quatre, ce qui est simplement égal à deux.
Le taux de variation moyen de la fonction 𝑔 de 𝑥 sur l’intervalle fermé de un à cinq est de deux.
