Vidéo : Taux de variation moyens et instantanés

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment trouver le taux de variation moyen d’une fonction entre deux valeurs 𝑥 et utiliser des limites pour trouver le taux de variation instantané.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver le taux de variation moyen d’une fonction entre deux valeurs 𝑥 et à utiliser des limites pour trouver le taux de variation instantané. Nous allons apprendre comment le taux de variation moyen est lié à la pente d’une droite et l’utiliser pour dériver une formule pour trouver le taux de variation moyen d’une fonction avant d’envisager les applications de cette formule. On dit que le taux de variation moyen d’une fonction 𝑓 de 𝑥 sur un intervalle entre deux points donné par 𝑎, 𝑓 de 𝑎 et 𝑏, 𝑓 de 𝑏 est la pente de la droite sécante reliant ces deux points.

On peut aussi rappeler que la formule pour nous aider à trouver la pente d’une droite est donnée par la variation de 𝑦 divisé par la variation de 𝑥. Eh bien, dans ce cas, la variation de 𝑦 serait donnée par la différence entre la valeur de la fonction en 𝑏 et la valeur de la fonction en 𝑎. C’est 𝑓 de 𝑏 moins 𝑓 de 𝑎, alors que la variation de 𝑥 est simplement 𝑏 moins 𝑎. Et donc, la pente de notre droite sécante et donc le taux de variation moyen de notre fonction est donnée par 𝑓 de 𝑏 moins 𝑓 de 𝑎 sur 𝑏 moins 𝑎. Mais disons simplement que nous voulons réellement définir le deuxième point, qui est 𝑏, 𝑓 de 𝑏, par sa relation avec le premier point.

Disons plutôt que la distance horizontale entre ces deux points est ℎ. Ensuite, nous définissons 𝑏 comme étant égal à 𝑎 plus ℎ, et 𝑓 de 𝑏, nous pouvons dire, est égal à 𝑓 de 𝑎 plus ℎ. Le taux de variation moyen peut désormais s’écrire 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 sur ℎ. La fonction de taux de variation moyen est parfois appelée 𝐴 de ℎ. Cette dernière formule est celle que nous allons principalement examiner dans cette vidéo. Et maintenant, voyons comment nous pourrions l’appliquer à un simple problème de taux moyen de variation.

Déterminer la fonction taux moyen de variation 𝐴 de ℎ pour 𝑓 de 𝑥 est égal à quatre 𝑥 carré plus trois 𝑥 plus deux à 𝑥 égal à un.

Rappelez-vous que le taux de variation moyen d’une fonction 𝑓 de 𝑥 entre deux points définis par 𝑎, 𝑓 de 𝑎 et 𝑎 plus ℎ, 𝑓 de 𝑎 plus ℎ est 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 le tout sur ℎ. Nous pouvons voir dans cette question que 𝑓 de 𝑥 a été défini pour nous. C’est quatre 𝑥 au carré plus trois 𝑥 plus deux. Nous voulons trouver le taux de variation moyen pour 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 égal à un. Donc, nous posons 𝑎 égal à un. Nous ne savons pas vraiment ce qu’est ℎ, mais ça va. Cette question nous demande essentiellement de dériver une fonction qui nous permettra de trouver le taux de variation moyen pour toute valeur de ℎ avec cette fonction. Décomposons cela et commençons par déterminer ce que 𝑓 de 𝑎 plus ℎ est.

Nous avons dit que 𝑎 est égal à un, donc nous cherchons en fait à trouver 𝑓 de un plus ℎ. Nous revenons à notre fonction 𝑓 de 𝑥, et chaque fois que nous voyons un 𝑥, nous le remplaçons par un plus ℎ. Donc, 𝑓 de un plus ℎ est quatre fois un plus ℎ au carré plus trois fois un plus ℎ plus deux. Distribuons nos parenthèses. Un plus ℎ tout au carré est un plus deux ℎ plus ℎ au carré, et trois fois un plus ℎ est trois plus trois ℎ. Nous pouvons alors distribuer ces parenthèses et nous obtenons quatre plus huit ℎ plus quatre ℎ au carré. Enfin, nous collectons des termes similaires et nous obtenons quatre ℎ au carré plus 11 ℎ plus neuf.

Ensuite, nous travaillons sur 𝑓 de 𝑎. Eh bien, bien sûr, nous savons que c’est les 𝑓 d’un. Celui-ci est légèrement plus simple que 𝑓 de un plus ℎ. Nous remplaçons simplement 𝑥 par un. Et nous obtenons quatre fois un carré plus trois fois un plus deux. Et c’est égal à neuf. Nous sommes maintenant prêts à tout remplacer par la formule du taux de variation moyen. Nous avons 𝑓 de un plus ℎ moins 𝑓 de un et c’est fini ℎ. Eh bien, neuf emportent neuf est zéro, puis nous pouvons diviser par ℎ. Et cela simplifie vraiment bien à quatre ℎ plus 11. Et donc, la fonction taux moyen de variation 𝐴 de ℎ pour 𝑓 de 𝑥 est égal à quatre 𝑥 au carré plus trois 𝑥 plus deux à 𝑥 est égal à un est quatre ℎ plus 11.

Maintenant, qu’est-ce que cela nous dit réellement ? Eh bien, revenons à notre graphique. Étant donné tout autre point du graphique, nous pouvons calculer la pente de la droite sécante entre ce point et le point à 𝑥 égal à un. Et cela à son tour nous indique le taux de variation moyen de la fonction. Maintenant, bien que nous ayons utilisé une seule formule, nous avons pu définir la fonction de taux de variation moyen pour un 𝑓 donné de 𝑥 comme étant 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 le tout sur ℎ. Et si nous utilisons cela, cela nous donne une fonction que nous pouvons utiliser pour tout 𝑥 et ℎ. Prenons maintenant un exemple qui nous conduira à calculer le taux de variation moyen sur un intervalle donné.

Évaluer le taux de variation moyen de 𝑓 de 𝑥 est égal à la racine carrée de deux 𝑥 moins un lorsque 𝑥 varie de cinq à 5.62.

Rappelez-vous que le taux de variation moyen d’une fonction 𝑓 de 𝑥 car il varie de 𝑥 est égal à 𝑎 est égal à 𝑎 plus ℎ est 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 le tout sur ℎ. Dans cette question, on nous dit que 𝑓 de 𝑥 est la racine carrée de deux 𝑥 moins un, et que 𝑥 varie de cinq à 5.62. Supposons donc que 𝑎 soit égal à cinq et que ℎ est le montant à partir duquel 𝑥 varie. Donc, c’est 5.62 moins cinq, ce qui est 0.62. Une fois que nous les avons définis, il ne reste plus qu’à substituer chaque valeur à notre formule. Nous avons besoin de 𝐴 de ℎ, soit 𝐴 de 0.62. C’est le taux de variation moyen de notre fonction car 𝑥 varie de 0.62. Et cela est, bien sûr, égal à 𝑓 de cinq plus 0.62 moins 𝑓 de cinq sur 0.62. Simplifions ceci à 𝑓 de 5.62 moins 𝑓 de cinq sur 0.62.

Nous allons clairement devoir évaluer 𝑓 de 5.62 et 𝑓 de cinq. Donc, 𝑓 de 5.62 est trouvé en remplaçant 𝑥 par 5.62. Donc, c’est la racine carrée de deux fois 5.62 moins un. C’est la racine carrée de 10.24, ce qui est égal à 3.2. 𝑓 de cinq est la racine carrée de deux fois cinq moins un, qui est la racine carrée de neuf, que nous savons être égale à trois. 𝐴 de 0.62 est donc 3.2 moins trois sur 0.62, soit 10 sur 31. Comme 𝑥 varie de cinq à 5.62, le taux de variation moyen de la fonction elle-même, la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à la racine carrée de deux 𝑥 moins un, est 10 sur 31.

Maintenant, ce qui est génial avec cette formule, c’est qu’elle fonctionne très bien aussi pour des applications réelles, en particulier dans le domaine de la physique et en particulier du mouvement. Nous pouvons appliquer la formule à une fonction de déplacement pour nous aider à trouver le taux moyen de variation de déplacement, par exemple, qui finit par nous donner la fonction de vitesse. Nous pouvons également l’utiliser dans des problèmes géométriques comme nous le verrons maintenant.

Une lame en forme de triangle équilatéral se dilate tout en conservant sa forme. Trouvez le taux de variation moyen de sa surface lorsque ses côtés changent de 12 centimètres à 14 centimètres.

Dans cette question, nous cherchons à trouver le taux de variation moyen de l’aire du triangle équilatéral. Or, pour une fonction 𝑓 de 𝑥 qui varie de 𝑥 est égal à 𝑎 à 𝑥 est égal à 𝑎 plus ℎ, le taux de variation moyen est donné par 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 sur ℎ. Mais qu’est-ce que 𝑓 de 𝑥 ici ? Eh bien, rappelez-vous, nous sommes intéressés par le taux de variation de l’aire. Donc, nous avons besoin d’une fonction qui décrit l’aire de notre triangle. Alors, esquissons le triangle. Nous pouvons définir la longueur du côté à 𝑥 ou 𝑥 centimètres. Ceci est notre variable. Nous savons que le triangle est équilatéral, donc ses angles intérieurs sont tous de 60 degrés. Et puis, nous pouvons utiliser la formule l’aire d’un triangle est un demi 𝑎𝑏 sin 𝐶. Et puis, dans ce cas, la fonction de surface sera un demi fois 𝑥 fois 𝑥 fois sin 60.

Eh bien, nous savons que le sin de 60 degrés est égal à la racine carrée de trois sur deux. Ainsi, cela devient la racine carrée de trois sur quatre fois 𝑥 au carré. On nous dit que la longueur du côté passe de 12 centimètres à 14 centimètres. Donc, nous posons 𝑎 égal à 12, puis ℎ est la quantité de variation de 𝑥 ; c’est 14 moins 12, ce qui équivaut à deux. Et donc, maintenant, nous pouvons remplacer tout ce que nous avons dans notre formule pour le taux de variation. C’est 𝐴 de ℎ, donc ici c’est 𝐴 de deux, et bien sûr cela va être égal à 𝑓 de 12 plus deux moins 𝑓 de 12 sur deux. Nous simplifions 𝑓 de 12 plus deux à 𝑓 de 14.

Et maintenant, nous devons calculer 𝑓 de 14 moins 𝑓 de 12. C’est la racine carrée de trois sur quatre fois 14 carrés moins la racine carrée de trois sur quatre fois 12 carrés. Ces valeurs sont obtenues simplement en substituant 𝑥 égal à 14 et 𝑥 égal à 12 dans notre fonction. Nous factorisons la racine trois sur quatre, puis nous la divisons par deux pour obtenir la racine trois sur huit. 14 au carré est 196, et 12 au carré est 144. Et donc, cela devient racine trois sur huit fois 52. Et ensuite, nous simplifions en divisant par quatre pour nous donner 13 racine trois sur deux. Et donc, le taux de variation moyen de son aire est de 13 racine trois sur deux. Et nous pourrions dire que c’est 13 racine trois sur deux centimètres carrés par centimètre.

Nous allons maintenant regarder l’inverse de ce processus.

Le taux de variation moyen de 𝑓 car 𝑥 varie de deux à 2.6 est moins 1.67. Si 𝑓 de deux est égal à moins 13, que vaut 𝑓 de 2.6 ?

Rappelez-vous que le taux de variation moyen d’une fonction 𝑓 car 𝑥 varie de 𝑎 à 𝑎 plus ℎ est donné par 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 sur ℎ. Maintenant, dans cette question, nous ne savons pas vraiment ce que 𝑓 de 𝑥 vaut. Mais nous voyons que 𝑥 varie de deux à 2.6. Donc, nous posons 𝑎 égal à deux. Et puis, ℎ est la quantité de variation de 𝑥. C’est 2.6 moins deux, ce qui vaut 0.6. Nous voulons trouver la fonction du taux de variation moyen, donc c’est 𝐴 de ℎ, qui est 𝐴 de 0.6. Et donc, selon notre formule, c’est 𝑓 de deux plus 0.6 moins 𝑓 de deux sur 0.6. Cela simplifie à 𝑓 de 2.6 moins 𝑓 de deux sur 0.6.

On nous dit, cependant, que cela est égal à moins 1.67, et aussi que 𝑓 de deux est égal à 13. Par conséquent, nous constatons que moins 1.67 doit être égal à 𝑓 de 2.6 moins moins 13 sur 0.6. Pour trouver 𝑓 de 2.6 comme cette question nous le demande, nous devons résoudre cette équation pour 𝑓 de 2.6. Nous commencerons par multiplier par 0.6. Et cela nous donne moins 1.002 sur la gauche. Et puis à droite, nous nous retrouvons avec 𝑓 de 2.6 moins moins 13, ce qui est, bien sûr, 𝑓 de 2.6 plus 13. Ensuite, nous soustrayons 13 des deux côtés, et nous constatons que 𝑓 de 2.6 est moins 14.002. Corrigé du nombre entier le plus proche, 𝑓 de 2.6 est moins 14.

Maintenant, je voudrais revenir directement à notre diagramme d’origine. J’aimerais que nous réfléchissions à ce qui se passe lorsque ℎ diminue. À mesure que ℎ devient de plus en plus petit, la pente de la droite sécante s’approche de la pente de la courbe au point 𝑎, 𝑓 de 𝑎. Cela signifie que plutôt que de trouver le taux de variation moyen sur un intervalle donné, nous trouvons en fait le taux de variation à ce point précis. Nous appelons cela le taux de variation instantané de la fonction. Et puisque cela est trouvé en laissant ℎ devenir plus petit, nous le définissons comme étant égal à la limite lorsque ℎ s’approche de zéro du taux de variation moyen. Nous disons que le taux de variation instantané d’une fonction 𝑓 de 𝑥 en un point 𝑥 est égal à 𝑎 est la limite lorsque ℎ approche le zéro de 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 le tout sur ℎ. Voyons maintenant comment cela pourrait fonctionner.

Trouver le taux de variation instantané de 𝑓 de 𝑥 est égal à la racine carrée de 𝑥 à 𝑥 est égal à 𝑥 un, ce qui est supérieur à zéro.

Rappelez-vous que le taux de variation instantané d’une fonction 𝑓 de 𝑥 à un point 𝑥 égal à 𝑎 est trouvé en prenant la limite lorsque ℎ s’approche de zéro de la fonction de taux de variation moyen. C’est la limite lorsque ℎ approche le zéro de 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 le tout sur ℎ. Dans ce cas, nous savons que 𝑓 de 𝑥 est égal à la racine carrée de 𝑥, et nous voulons trouver le taux de variation instantané à 𝑥 égal à 𝑥 un. Donc, nous allons poser 𝑎 égal à 𝑥 un. Remplaçons ce que nous savons dans notre formule. Nous voulons calculer la limite lorsque ℎ approche le zéro de 𝑓 de 𝑥 un plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 un le tout sur ℎ. Nous devons trouver la limite lorsque ℎ approche zéro de la racine carrée de 𝑥 un plus ℎ moins la racine carrée de 𝑥 un le tout sur ℎ.

Maintenant, nous ne pouvons pas faire cela avec une substitution directe. Si nous le faisons, nous finissons par diviser par zéro et nous savons que cela n’est pas défini. Et donc à la place, nous multiplions le numérateur et le dénominateur de la fonction par le conjugué du numérateur, par la racine carrée de 𝑥 plus un plus ℎ plus la racine carrée de 𝑥 un. Au dénominateur, nous avons simplement ℎ fois la racine carrée de 𝑥 un plus ℎ plus la racine carrée de 𝑥 un. Ensuite, au numérateur, nous avons la racine carrée de 𝑥 un plus ℎ fois la racine carrée de 𝑥 un plus ℎ, qui est simplement 𝑥 un plus ℎ. Ensuite, nous multiplions la racine carrée de 𝑥 un plus ℎ par la racine carrée de 𝑥, et nous retirons la racine carrée de 𝑥 une fois la racine carrée de 𝑥 un plus ℎ. Lorsque nous trouvons leur somme, nous obtenons zéro.

Donc, tout ce qu’il reste à faire est de multiplier la racine carrée de 𝑥 un par la racine carrée de 𝑥 un. Et nous obtenons tout simplement moins 𝑥 un. 𝑥 un moins 𝑥 un est zéro. Et puis, nous divisons par ℎ. Et donc, cela devient la limite lorsque ℎ approche le zéro de un sur la racine carrée de 𝑥 un plus ℎ plus la racine carrée de 𝑥 un. Et nous pouvons maintenant évaluer cela lorsque ℎ approche zéro. Nous nous retrouvons avec un sur la racine carrée de 𝑥 un plus la racine carrée de 𝑥 un, qui est une fois plus de deux fois la racine carrée de 𝑥 un. La fonction de vitesse de variation instantanée de 𝑓 de 𝑥 est égale à la racine carrée de 𝑥 est donc une fois et deux fois la racine carrée de 𝑥 un.

Dans cette vidéo, nous avons appris que le taux de variation moyen d’une fonction 𝑓 de 𝑥 sur un intervalle entre deux points donnés par 𝑎, 𝑓 de 𝑎 et 𝑎 plus ℎ, 𝑓 de 𝑎 plus ℎ est la pente de la droite sécante qui relie ces deux points. Nous définissons souvent cela comme 𝐴 de ℎ, et il est donné par 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 le tout sur ℎ. Nous avons également vu que le taux de variation instantané d’une fonction est trouvé en laissant ℎ s’approcher de zéro. C’est la limite lorsque ℎ s’approche du zéro de 𝐴 de ℎ, de 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 le tout sur ℎ.

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