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Vidéo de la leçon : Taux de variation et nombre dérivé Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer le taux de variation d’une fonction entre deux valeurs de 𝑥 et à utiliser les limites pour calculer le nombre dérivé.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer le taux de variation d’une fonction entre deux valeurs de 𝑥 et à utiliser les limites pour calculer le nombre dérivé. Nous allons commencer par étudier comment le taux de variation est relié au coefficient directeur d’une droite et comment l’utiliser pour en déduire une formule du taux de variation d’une fonction, avant de considérer les applications de cette formule. Le taux de variation d’une fonction 𝑓 de 𝑥 sur un intervalle entre deux points 𝑎, 𝑓 de 𝑎 et 𝑏, 𝑓 de 𝑏 est le coefficient directeur de la droite sécante passant par ces deux points.

Nous rappelons de plus que le coefficient directeur d’une droite est égal à la variation de 𝑦 divisée par la variation de 𝑥. Eh bien, dans ce cas, la variation de 𝑦 est égale à la différence entre la valeur de la fonction en 𝑏 et la valeur de la fonction valeur en 𝑎. Soit 𝑓 de 𝑏 moins 𝑓 de 𝑎, alors que la variation de 𝑥 est simplement égale à 𝑏 moins 𝑎. Le coefficient directeur de la droite sécante, et donc le taux de variation de la fonction, est alors donné par 𝑓 de 𝑏 moins 𝑓 de 𝑎 sur 𝑏 moins 𝑎. Mais si on souhaite plutôt définir le second point, 𝑏, 𝑓 de 𝑏, en fonction du premier point.

On peut alors définir la distance horizontale entre ces deux points par ℎ. Ce qui nous donne 𝑏 égale 𝑎 plus ℎ, et 𝑓 de 𝑏 égale 𝑓 de 𝑎 plus ℎ. Le taux de variation peut maintenant être écrit comme 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 sur ℎ. La fonction du taux de variation est parfois appelée de ℎ. Cette dernière formule est celle que nous allons principalement utiliser dans cette vidéo. Voyons maintenant comment nous pourrions l’appliquer à un simple problème de taux de variation.

Déterminez la fonction du taux de variation de ℎ pour 𝑓 de 𝑥 égale quatre 𝑥 carré plus trois 𝑥 plus deux en 𝑥 égale un.

On rappelle que le taux de variation d’une fonction 𝑓 de 𝑥 entre deux points définis par 𝑎, 𝑓 de 𝑎 et 𝑎 plus ℎ, 𝑓 de 𝑎 plus ℎ est 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎, le tout sur ℎ. La question nous donne la définition de 𝑓 de 𝑥. Elle est égale à quatre 𝑥 carré plus trois 𝑥 plus deux. Nous souhaitons trouver la fonction du taux de variation de 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 égale un. On définit donc 𝑎 égal un. Nous ne connaissons pas la valeur de ℎ, mais cela n’est pas un problème. Cette question nous demande en fait de déterminer une fonction qui permet de calculer le taux de variation pour toute valeur de ℎ. Décomposons cela et commençons par déterminer l’expression de 𝑓 de 𝑎 plus ℎ.

Nous avons défini que 𝑎 est égal à un, nous cherchons donc 𝑓 de un plus ℎ. On revient à la fonction 𝑓 de 𝑥 et on remplace chaque 𝑥 par un plus ℎ. Donc 𝑓 de un plus ℎ égale quatre fois un plus ℎ au carré plus trois fois un plus ℎ plus deux. On développe les parenthèses. Un plus ℎ au carré égale un plus deux ℎ plus ℎ carré, et trois fois un plus ℎ égale trois plus trois ℎ. On peut alors distribuer le quatre et on obtient quatre plus huit ℎ plus quatre ℎ carré. On termine par regrouper les termes semblables, ce qui donne quatre ℎ carré plus 11ℎ plus neuf.

On calcule ensuite 𝑓 de 𝑎. Et on sait bien sûr que cela correspond à 𝑓 de un. Cela est légèrement plus simple que 𝑓 de un plus ℎ. On remplace simplement 𝑥 par un. Et on obtient quatre fois un au carré plus trois fois un plus deux. Et c’est égal à neuf. Nous sommes maintenant prêts à tout substituer dans la formule du taux de variation. On a 𝑓 de un plus ℎ moins 𝑓 de un, le tout sur ℎ. Eh bien, neuf moins neuf égale zéro, puis on peut diviser par ℎ. Et cela se simplifie par quatre ℎ plus 11. Par conséquent, la fonction du taux de variation de ℎ pour 𝑓 de 𝑥 égale quatre 𝑥 carré plus trois 𝑥 plus deux en 𝑥 égale un est quatre ℎ plus 11.

Mais que cela nous dit-il réellement? Eh bien, revenons à notre graphique. Pour n’importe quel autre point sur la courbe représentative, nous pouvons calculer le coefficient directeur de la droite passant par ce point et le point en 𝑥 égale un. Et cela nous indique à son tour le taux de variation de la fonction. Maintenant, bien que nous ayons utilisé ici un point précis, nous pouvons définir la fonction du taux de variation pour un 𝑓 de 𝑥 donné par 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 sur ℎ. Et si nous utilisons cette version, nous obtenons une fonction que nous pouvons utiliser pour tout 𝑥 et pour tout ℎ. Étudions maintenant un exemple qui nous amènera à calculer le taux de variation sur un intervalle donné.

Calculez le taux de variation de 𝑓 de 𝑥 égale racine carrée de deux 𝑥 moins un lorsque 𝑥 varie de cinq à 5,62.

On rappelle que le taux de variation d’une fonction 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 varie de 𝑎 à 𝑎 plus ℎ est égal à 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 le tout sur ℎ. La question indique que 𝑓 de 𝑥 égale racine carrée de deux 𝑥 moins un et que 𝑥 varie de cinq à 5,62. On définit donc égal cinq et ℎ comme la quantité dont 𝑥 varie. est donc égal à 5,62 moins cinq, soit 0,62. Il ne reste maintenant plus qu’à substituer chaque valeur dans la formule. On a besoin de t de ℎ, qui est égal à de 0,62. Il s’agit du taux de variation de notre fonction quand 𝑥 varie de 0,62. Et cela est bien sûr égal à 𝑓 de cinq plus 0,62 moins 𝑓 de cinq sur 0,62. Cela se simplifie par 𝑓 de 5,62 moins 𝑓 de cinq sur 0,62.

Nous devons donc calculer les valeurs de 𝑓 de 5,62 et de 𝑓 de cinq. On calcule 𝑓 de 5,62 en remplaçant 𝑥 par 5,62. Donc, racine carrée de deux fois 5,62 moins un. Cela donne racine carrée de 10,24, ce qui est égal à 3,2. 𝑓 de cinq égale racine carrée de deux fois cinq moins un, soit racine carrée de neuf, dont on sait que la valeur est trois. de 0,62 est donc égal à 3,2 moins trois sur 0,62, soit 10 sur 31. Quand 𝑥 varie de cinq à 5,62, le taux de variation de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale racine carrée de deux 𝑥 moins un est de 10 sur 31.

Maintenant, ce qui est formidable avec cette formule, c’est qu’elle fonctionne très bien pour des phénomènes réels, notamment en physique et en particulier pour l’étude du mouvement. Nous pouvons par exemple appliquer cette formule à une fonction de déplacement pour déterminer le taux de variation de celui-ci, ce qui nous donne en fait la fonction du vecteur vitesse. Nous pouvons également l’utiliser dans des problèmes géométriques comme nous allons maintenant le voir.

Une plaque en forme de triangle équilatéral se dilate tout en conservant sa forme. Déterminez le taux de variation de son aire lorsque ses côtés passent de 12 centimètres à 14 centimètres.

Dans cette question, nous cherchons le taux de variation de l’aire d’un triangle équilatéral. Pour une fonction 𝑓 de 𝑥 qui varie de 𝑥 égale 𝑎 à 𝑥 égale 𝑎 plus ℎ, son taux de variation est égal à 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 sur ℎ. Mais comment 𝑓 de 𝑥 est-elle définie ici? Eh bien, rappelez-vous que nous recherchons le taux de variation de l’aire. Nous recherchons donc une fonction décrivant l’aire du triangle. Commençons par tracer ce triangle. Nous pouvons définir la longueur du côté comme 𝑥 ou 𝑥 centimètres. Il s’agit de notre variable. On sait que le triangle est équilatéral, donc ses angles mesurent tous 60 degrés. Puis, on peut utiliser la formule de l’aire d’un triangle: un demi de 𝑎𝑏 sinus de 𝐶. Donc dans ce cas, la fonction d’aire est égale à un demi fois 𝑥 fois 𝑥 fois sin 60.

Et on sait que sinus de 60 degrés égale racine carrée de trois sur deux. On a donc racine carrée de trois sur quatre 𝑥 carré. Il est indiqué que la longueur du côté passe de 12 centimètres à 14 centimètres. On définit donc 𝑎 égal 12, puis ℎ comme la quantité dont 𝑥 varie, soit 14 moins 12, ce qui est égal à deux. On peut maintenant remplacer toutes ces valeurs dans la formule du taux de variation. C’est t de ℎ, donc de deux ici, qui est bien sûr égal à 𝑓 de 12 plus deux moins 𝑓 de 12 sur deux. On simplifie 𝑓 de 12 plus deux par 𝑓 de 14.

On donc doit calculer 𝑓 de 14 moins 𝑓 de 12. Cela fait racine carrée de trois sur quatre fois 14 au carré moins racine carrée de trois sur quatre fois 12 au carré. On a simplement obtenu cette formule en substituant 𝑥 égale 14 et 𝑥 égale 12 dans la fonction. On factorise par racine carrée de trois sur quatre, puis on divise par deux pour obtenir racine carrée de trois sur huit. 14 au carré égale 196 et 12 au carré égale 144. On obtient donc racine carrée de trois sur huit fois 52. On simplifie ensuite en divisant par quatre pour obtenir 13 racine carrée de trois sur deux. Par conséquent, le taux de variation de l’aire du triangle est de 13 racine carrée de trois sur deux. Et nous pourrions dire qu’il est de 13 racine carrée de trois sur deux centimètres carrés par centimètre.

Nous allons maintenant examiner le raisonnement inverse.

Le taux de variation de 𝑓 quand 𝑥 varie de deux à 2,6 est égal à moins 1,67. Si 𝑓 de deux égale moins 13, que vaut 𝑓 de 2,6?

On rappelle que le taux de variation d’une fonction 𝑓 lorsque 𝑥 varie de 𝑎 à 𝑎 plus ℎ est donné par 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 sur ℎ. Maintenant, dans cette question, nous ne connaissons pas la définition exacte de 𝑓 de 𝑥. Mais nous savons que 𝑥 varie de deux à 2,6. On définit donc 𝑎 égal deux. Et ℎ comme la quantité dont 𝑥 varie. Elle est de 2,6 moins deux, soit 0,6. Nous souhaitons trouver le taux de variation, c’est-à-dire t de ℎ, qui est ici de 0,6. Et selon la formule, il est égal à 𝑓 de deux plus 0,6 moins 𝑓 de deux sur 0,6. Cela se simplifie par 𝑓 de 2,6 moins 𝑓 de deux sur 0,6.

Il est cependant indiqué qu’il est égal à moins 1,67 et que 𝑓 de deux est égal à moins 13. On en déduit donc que moins 1,67 doit être égal à 𝑓 de 2,6 moins moins 13 sur 0,6. Pour trouver 𝑓 de 2,6 comme la question nous le demande, nous devons résoudre cette équation pour 𝑓 de 2,6. On commence par multiplier par 0,6. Cela donne moins 1,002 à gauche. Et à droite, il reste 𝑓 de 2,6 moins moins 13, ce qui est bien sûr, 𝑓 de 2,6 plus 13. On soustrait ensuite 13 aux deux membres et on trouve 𝑓 de 2,6 égale moins 14,002. Arrondi à l’entier le plus proche, 𝑓 de 2,6 égale moins 14.

Mais je voudrais maintenant revenir à notre schéma initial. Je voudrais que nous réfléchissions à ce qui se passe lorsque ℎ devient plus petit. Lorsque ℎ devient de plus en plus petit, le coefficient directeur de la droite sécante se rapproche du coefficient directeur de la tangente à la courbe au point 𝑎, 𝑓 de 𝑎. Cela signifie que plutôt que de calculer le taux de variation sur un intervalle donné, nous calculons en fait le taux de variation à ce point exact. Cette valeur est appelée le nombre dérivé de la fonction. Et comme nous le calculons en supposant que ℎ devient de plus en plus petit, il est défini par la limite du taux de variation lorsque ℎ tend vers zéro. Le nombre dérivé d’une fonction 𝑓 de 𝑥 en un point 𝑥 égale 𝑎 est la limite de 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 sur ℎ lorsque ℎ tend vers zéro. Voyons maintenant comment cela fonctionne.

Calculez le nombre dérivé de 𝑓 de 𝑥 égale racine carrée de 𝑥 en 𝑥 égale 𝑥 un, qui est strictement supérieur à zéro.

On rappelle que le nombre dérivé d’une fonction 𝑓 de 𝑥 en un point 𝑥 égal 𝑎 est égal à la limite de la fonction du taux de variation lorsque ℎ tend vers zéro. Il est égal à la limite de 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 le tout sur ℎ lorsque ℎ tend vers zéro. Dans ce cas, nous savons que 𝑓 de 𝑥 égale racine carrée de 𝑥, et nous souhaitons trouver le nombre dérivé en 𝑥 égale 𝑥 un. Nous définissons donc 𝑎 égale 𝑥 un. Remplaçons maintenant ce que nous connaissons dans la formule. Nous souhaitons calculer la limite de 𝑓 de 𝑥 un plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 un sur ℎ lorsque ℎ tend vers zéro. C’est-à-dire la limite de racine carrée de 𝑥 un plus ℎ moins racine carrée de 𝑥 un sur ℎ lorsque ℎ tend vers zéro.

Nous ne pouvons pas le calculer par substitution directe. Nous obtiendrions en effet une division par zéro et nous savons que cela n’est pas défini. Nous allons donc plutôt multiplier le numérateur et le dénominateur de la fonction par racine carrée de 𝑥 un plus ℎ plus racine carrée de 𝑥 un. Au dénominateur, on a simplement ℎ fois racine carrée de 𝑥 un plus ℎ plus racine carrée de 𝑥 un. Et au numérateur, on obtient racine carrée de 𝑥 un plus ℎ fois racine carrée de 𝑥 un plus ℎ, qui est simplement 𝑥 un plus ℎ. Puis on multiplie racine carrée de 𝑥 un plus ℎ par racine carrée de 𝑥 un, et moins racine carrée de 𝑥 un fois racine carrée de 𝑥 un plus ℎ. Dont la somme est égale à zéro.

Il reste enfin uniquement à multiplier moins racine carrée de 𝑥 un par racine carrée de 𝑥 un. Ce qui donne simplement moins 𝑥 un. 𝑥 un moins 𝑥 un égale zéro. Puis on divise par ℎ. Et cela devient donc la limite de un sur racine carrée de 𝑥 un plus ℎ plus racine carrée de 𝑥 un lorsque ℎ tend vers zéro. Et on peut maintenant l’évaluer lorsque ℎ tend vers zéro. On obtient un sur racine carrée de 𝑥 un plus racine carrée de 𝑥 un, qui est égal à un sur deux racine carrée de 𝑥 un. Le nombre dérivé de 𝑓 de 𝑥 égale racine carrée de 𝑥 est donc un sur deux racine carrée de 𝑥 un.

Dans cette vidéo, nous avons appris que le taux de variation d’une fonction 𝑓 de 𝑥 sur un intervalle entre deux points 𝑎, 𝑓 de 𝑎 et 𝑎 plus ℎ, 𝑓 de 𝑎 plus ℎ est le coefficient directeur de la droite sécante qui relie ces deux points. Il peut être défini par t de ℎ et est égal à 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎, le tout sur ℎ. Nous avons également vu que l’on calcule le nombre dérivé d’une fonction en faisant tendre ℎ vers zéro. Il est égal à la limite de t de ℎ, soit 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 sur ℎ, lorsque ℎ tend vers zéro.

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