Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer le taux de variation moyen d’une fonction entre deux valeurs de et à utiliser les limites pour calculer son taux de variation instantané.
Le taux de variation moyen est un concept central à de nombreux domaines des mathématiques, de la physique, de la chimie et d’autres disciplines scientifiques. Son application n’est en fait pas limitée aux sciences, on le rencontre souvent dans la vie quotidienne avec des notions telles que la vitesse, l’accélération et les taux d’intérêt, qui sont en réalité des taux de variation moyen. Nous souhaitons parfois déterminer des taux de variation moyens, ou prédire le futur en fonction du taux de variation moyen dans le présent.
Quand on dit par exemple qu’une voiture se déplace à 60 milles par heure, que veut-on exactement dire ? Peut-on définir un tel concept seulement si on roule pendant une heure ? Bien sûr, on pourrait dire que l’on parcourt un mille par minute. Si on roule cependant moins d’une minute à cette vitesse, est-il toujours raisonnable de parler de mille par minute ? Certes, si aucun temps ne passe, on ne parcourt aucune distance. On préfère tout de même parler de 60 milles par heure même si ce n’est que pour un instant. Lorsque l’on dit que l’on roule à une certaine vitesse à un instant donné, on fait en fait référence à un taux de variation moyen instantané, ou taux de variation instantané. Dans cette fiche explicative, nous allons voir comment le définir mathématiquement et comment nous pouvons le calculer.
Le taux de variation moyen est la variation de la quantité décrite par une fonction, également appelée variable dépendante, par rapport à la variation de la variable, également appelée variable indépendante.
Commençons par définir le taux de variation moyen d’une fonction sur un intervalle.
Définition : Taux de variation moyen
Le taux de variation moyen d’une fonction sur un intervalle , c’est-à-dire quand varie de à , est défini par
Avec cette définition, on voit que le taux de variation moyen d’une fonction sur un intervalle correspond à la variation moyenne de la valeur de la fonction lorsque la valeur de la variable augmente d’une unité dans cet intervalle. En d’autres termes, sur l’intervalle , pour chaque variation de 1 unité de , la variation moyenne de la valeur de la fonction est de , qui est un nombre.
Vous remarquerez peut-être que le taux de variation moyen sur un intervalle a la même formule que la pente d’une droite. Sur la courbe représentative de la fonction, le taux de variation moyen peut être en fait interprété comme la pente de la droite passant par (ou reliant) les deux points et sur la courbe.
Si on désigne la variation de par et la variation de par , la pente de la droite qui passe par les points et est
Étudions un exemple où nous devons calculer le taux de variation moyen d’une fonction du second degré lorsque varie entre deux valeurs.
Exemple 1: Calculer le taux de variation moyen d’une fonction polynôme entre deux points
Calculez le taux de variation moyen de la fonction lorsque varie de 1 à 1,5.
Réponse
Dans cet exemple, nous devons calculer le taux de variation moyen d’une fonction du second degré lorsque varie entre deux valeurs.
On rappelle que le taux de variation moyen lorsque varie de à est défini par
Nous souhaitons ici déterminer le taux de variation moyen pour et , nous allons donc commencer par évaluer la fonction en ces valeurs :
Le taux de variation moyen est ensuite
Dans l’exemple suivant, nous allons étudier un problème concret où nous devons déterminer le taux de variation moyen de la récolte d’une ferme lorsque la quantité d’insecticide utilisée augmente entre deux points valeurs.
Exemple 2: Déterminer le taux de variation moyen d’une fonction rationnelle dans un contexte de la vie courante
La récolte d’une ferme en kilogrammes en fonction de la quantité d’insecticide utilisée en kilogrammes est définie par . Calculez le taux de variation moyen de quand varie de 13 à 17.
Réponse
Dans cet exemple, nous devons calculer le taux de variation moyen de la récolte de la ferme en kilogrammes quand la quantité d’insecticide en kilogrammes, varie entre deux valeurs.
On rappelle que le taux de variation moyen d’une fonction sur un intervalle est défini par
La quantité d’insecticide en kilogrammes augmente de à . Alors, elle varie de . La récolte de la ferme varie également de à et la quantité dont elle varie est
Par conséquent, le taux de variation moyen de quand varie de 13 à 17 est
Cela signifie qu’augmenter la quantité d’insecticide utilisée de 13 à 17 kg conduit à une augmentation moyenne de la récolte de pour chaque augmentation de 1 kg d’insecticide utilisé.
Puisque la quantité dont varie, , est quelconque, on peut utiliser la variable pour la désigner telle que , et donc le taux de variation moyen peut être vu alors comme une fonction de , où est calculé sur l’intervalle .
Définition : Fonction du taux de variation moyen
La fonction du taux de variation moyen quand varie de à , ou de manière équivalente lorsque , est
Notez que si , le taux de variation moyen est calculé sur l’intervalle .
Étudions maintenant un exemple où nous devons déterminer l’expression du taux de variation moyen d’une fonction polynôme en un point.
Exemple 3: Déterminer le taux de variation moyen d’une fonction polynôme en un point
Déterminez l’expression de la fonction du taux de variation moyen pour en .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons déterminer l’expression de la fonction du taux de variation moyen d’une fonction polynôme pour une valeur de .
On rappelle que la fonction du taux de variation moyen d’une fonction en est
Pour la fonction en , on a
Dans l’exemple suivant, nous devons déterminer l’expression du taux de variation moyen d’une fonction du troisième degré pour une valeur .
Exemple 4: Déterminer le taux de variation moyen d’une fonction polynôme en un point
Déterminez l’expression de la fonction du taux de variation moyen pour en .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons déterminer l’expression de la fonction du taux de variation moyen d’une fonction du troisième degré pour une valeur .
On rappelle que la fonction du taux de variation moyen d’une fonction en est
Pour la fonction en , on a
Certains problèmes demandent parfois de déterminer le taux de variation moyen lorsque varie de à , ce qui est équivalent à demander l’expression de la fonction du taux de variation moyen en une valeur .
Étudions à présent un exemple où nous devons déterminer l’expression de la fonction du taux de variation moyen pour une fonction rationnelle quand varie de à .
Exemple 5: Déterminer l’expression du taux de variation moyen d’une fonction rationnelle
Déterminez l’expression de la fonction du taux de variation moyen pour quand varie de à .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons déterminer l’expression de la fonction du taux de variation moyen d’une fonction rationnelle lorsque varie entre deux valeurs.
On rappelle que la fonction du taux de variation moyen d’une fonction quand varie de à est
Pour la fonction , on a
Par conséquent, la fonction du taux de variation moyen est
Étudions maintenant un exemple concret où nous devons déterminer le taux de croissance d’une population décrite par une fonction quand le temps varie entre deux valeurs. Ce taux de variation moyen sera exprimé en fonction de , la quantité dont varie.
Exemple 6: Déterminer le taux de variation moyen d’une fonction polynôme entre deux points
On suppose qu’une population suit la fonction en fonction du temps . Quel est le taux de croissance de cette population lorsque varie de à ?
Réponse
Dans cet exemple, nous devons déterminer l’expression du taux de variation moyen d’une fonction du second degré qui décrit une population à l’instant , quand la valeur de varie entre deux valeurs.
On rappelle que la fonction du taux de variation moyen décrivant la variation d’une fonction sur l’intervalle est définie par
En remplaçant la fonction de la population dans cette formule, le taux de variation moyen lorsque varie de à est
Pour une valeur particulière de , la fonction du taux de variation moyen en cette valeur est égale au taux de variation moyen sur l’intervalle , où . En d’autres termes, . Par exemple, pour une fonction sur un intervalle , ou quand varie de 1 à 1,5, le taux de variation moyen est égal à la fonction du taux de variation moyen quand varie de 1 à , en considérant et .
Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer l’expression de la fonction du taux de variation moyen d’une fonction polynôme pour une valeur de et l’évaluer en une valeur donnée.
Exemple 7: Déterminer le taux de variation moyen d’une fonction polynôme
Pour une fonction , le taux de variation moyen entre un point fixe et un autre point est . Sachant que , calculez pour .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons déterminer l’expression de la fonction du taux de variation moyen d’une fonction du second degré et l’évaluer en une valeur de .
D’après la définition, la fonction du taux de variation moyen de la fonction ci-dessus lorsque , ou quand varie de 4 à , est
En substituant , on trouve
Il s’agit du taux de variation moyen de quand varie de 4 à 4,5.
Si on étudie ce qui arrive à la fonction du taux de variation moyen quand devient arbitrairement petit ou quand l’intervalle rétrécit, on obtient le taux de variation instantané de la fonction. Lorsque varie de à , il n’y a en effet aucune variation de la variable quand ; ceci donne le taux de variation à un instant plutôt qu’entre deux valeurs. Nous allons maintenant donner sa définition formelle en termes de limite.
Définition : Taux de variation instantané
Le taux de variation instantané d’une fonction en un point est lorsque cette limite existe.
Pour de nombreuses fonctions communes, telles que les fonctions polynômes, trigonométriques, exponentielles, logarithmes et rationnelles, il est possible de déterminer leur taux de variation instantané pour des valeurs de dans leur ensemble de définition. Il existe cependant beaucoup de fonctions pour lesquelles cela n’est pas possible ; nous introduirons des exemples de ces fonctions lorsque nous étudierons les dérivées plus en détail.
Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer le taux de variation instantané d’une fonction du second degré pour une valeur de .
Exemple 8: Calculer le taux de variation instantané d’une fonction polynôme en un point
Calculez le taux de variation instantané de en .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons calculer le taux de variation instantané d’une fonction du second degré en un point. Le taux de variation instantané d’une fonction en est
Pour la fonction en , son taux de variation instantané est
Étudions maintenant un exemple où nous devons calculer le taux de variation instantané d’une fonction racine carrée pour une valeur de .
Exemple 9: Calculer le taux de variation instantané de la fonction racine carrée
Calculez le taux de variation instantané de en .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons calculer le taux de variation instantané de la fonction racine carrée pour une valeur de .
On rappelle que le taux de variation instantané d’une fonction en est
Pour la fonction , on a
Les taux de variation instantanés ont de nombreuses applications concrètes, par exemple, la vitesse d’un objet en mouvement à un instant donné est le taux de variation instantané du déplacement à cet instant.
Dans le dernier exemple, nous allons étudier un problème concret et calculer le taux de variation instantané d’une fonction polynôme représentant la biomasse d’une culture bactérienne à un instant donné.
Exemple 10: Calculer le taux de variation instantané d’une fonction polynômiale représentant la biomasse d’une culture bactérienne à un instant donné
La biomasse d’une culture bactérienne en milligrammes en fonction du temps en minutes est définie par . Quel est le taux de croissance instantané de la culture lorsque ?
Réponse
Dans cet exemple, nous devons calculer le taux de variation instantané d’une fonction du troisième degré représentant la biomasse d’une culture bactérienne.
On rappelle que le taux de variation instantané d’une fonction lorsque est
Pour la fonction lorsque , son taux de variation instantané est
Comme le taux de variation instantané est positif, il est équivalent au taux de croissance.
Par conséquent, le taux de croissance de la biomasse d’une culture bactérienne lorsque est
La dérivée d’une fonction en un point quelconque est tirée de cette notion. Le taux de variation instantané d’une fonction en est en effet égal à la dérivée de cette fonction en . Cela dépasse cependant le cadre de cette fiche explicative et sera couvert plus tard.
Résumons maintenant quelques points clés de cette fiche explicative.
Points clés
- Le taux de variation moyen d’une fonction sur un intervalle , c’est-à-dire quand varie de à , est défini par
- La fonction de taux de variation d’une fonction lorsque varie de à , ou, de manière équivalente, sur l’intervalle , est définie par
- Pour des valeurs fixes de et , le taux de variation moyen peut être interprété graphiquement comme la pente de la droite passant par les points et .
- Pour définir le taux de variation instantané, on introduit la notion de limite. On calcule alors le taux de variation moyen sur des intervalles de plus en plus petits, c’est-à-dire sur l’intervalle quand tend vers zéro.
Formellement, le taux de variation instantané d’une fonction en un point est défini par lorsque cette limite existe. - On peut également interpréter le taux de variation instantané de en comme la pente de la tangente à la courbe représentative de en .
- On peut calculer la limite des pentes des droites sécantes coupant la courbe représentative de la fonction en et quand .
- Pour évaluer la limite et calculer le taux de variation instantané, il est souvent nécessaire de manipuler l’expression pour éliminer au dénominateur.
- Bien que les taux de variation instantanés existent pour de nombreuses fonctions communes, il existe en réalité beaucoup de fonctions pour lesquelles la limite n’existe pas et pour lesquelles on ne peut donc pas définir de taux de variation instantané. Plusieurs exemples de ces fonctions vous seront présentés au fur et à mesure que vous progresserez en analyse.
