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Fiche explicative de la leçon : Taux de variation moyens et instantanés Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer le taux de variation moyen d’une fonction entre deux valeurs de 𝑥 et à utiliser les limites pour calculer son taux de variation instantané.

Le taux de variation moyen est un concept central à de nombreux domaines des mathématiques, de la physique, de la chimie et d’autres disciplines scientifiques. Son application n’est en fait pas limitée aux sciences, on le rencontre souvent dans la vie quotidienne avec des notions telles que la vitesse, l’accélération et les taux d’intérêt, qui sont en réalité des taux de variation moyen. Nous souhaitons parfois déterminer des taux de variation moyens, ou prédire le futur en fonction du taux de variation moyen dans le présent.

Quand on dit par exemple qu’une voiture se déplace à 60 milles par heure, que veut-on exactement dire?Peut-on définir un tel concept seulement si on roule pendant une heure?Bien sûr, on pourrait dire que l’on parcourt un mille par minute. Si on roule cependant moins d’une minute à cette vitesse, est-il toujours raisonnable de parler de mille par minute?Certes, si aucun temps ne passe, on ne parcourt aucune distance. On préfère tout de même parler de 60 milles par heure même si ce n’est que pour un instant. Lorsque l’on dit que l’on roule à une certaine vitesse à un instant donné, on fait en fait référence à un taux de variation moyen instantané, ou taux de variation instantané. Dans cette fiche explicative, nous allons voir comment le définir mathématiquement et comment nous pouvons le calculer.

Le taux de variation moyen est la variation de la quantité décrite par une fonction, également appelée variable dépendante, par rapport à la variation de la variable, également appelée variable indépendante.

Commençons par définir le taux de variation moyen d’une fonction sur un intervalle.

Définition : Taux de variation moyen

Le taux de variation moyen d’une fonction 𝑓(𝑥) sur un intervalle [𝑥;𝑥], c’est-à-dire quand 𝑥 varie de 𝑥 à 𝑥, est défini par 𝑇=𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑥𝑥.

Avec cette définition, on voit que le taux de variation moyen d’une fonction sur un intervalle correspond à la variation moyenne de la valeur de la fonction lorsque la valeur de la variable augmente d’une unité dans cet intervalle. En d’autres termes, sur l’intervalle [𝑥;𝑥], pour chaque variation de 1 unité de 𝑥, la variation moyenne de la valeur de la fonction 𝑓(𝑥) est de 𝑇, qui est un nombre.

Vous remarquerez peut-être que le taux de variation moyen sur un intervalle [𝑥;𝑥] a la même formule que la pente d’une droite. Sur la courbe représentative de la fonction, le taux de variation moyen peut être en fait interprété comme la pente de la droite passant par (ou reliant) les deux points (𝑥;𝑓(𝑥)) et (𝑥;𝑓(𝑥)) sur la courbe.

Si on désigne la variation de 𝑥 par Δ𝑥=𝑥𝑥 et la variation de 𝑦 par Δ𝑦=𝑓(𝑥)𝑓(𝑥), la pente de la droite qui passe par les points (𝑥;𝑓(𝑥)) et (𝑥;𝑓(𝑥)) est 𝑚=Δ𝑦Δ𝑥=𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑥𝑥.

Étudions un exemple où nous devons calculer le taux de variation moyen d’une fonction du second degré lorsque 𝑥 varie entre deux valeurs.

Exemple 1: Calculer le taux de variation moyen d’une fonction polynôme entre deux points

Calculez le taux de variation moyen de la fonction 𝑓(𝑥)=7𝑥3𝑥+3 lorsque 𝑥 varie de 1 à 1,5.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons calculer le taux de variation moyen d’une fonction du second degré lorsque 𝑥 varie entre deux valeurs.

On rappelle que le taux de variation moyen lorsque 𝑥 varie de 𝑥 à 𝑥 est défini par 𝑇=𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑥𝑥.

Nous souhaitons ici déterminer le taux de variation moyen pour 𝑥=1 et 𝑥=1,5, nous allons donc commencer par évaluer la fonction en ces valeurs:𝑓(1)=7(1)3(1)+3=73+3=7,𝑓(1,5)=7(1,5)3(1,5)+3=15,754,5+3=17,25.

Le taux de variation moyen est ensuite 𝑇=𝑓(1,5)𝑓(1)1,51=17,25+70,5=20,5.

Dans l’exemple suivant, nous allons étudier un problème concret où nous devons déterminer le taux de variation moyen de la récolte d’une ferme lorsque la quantité d’insecticide utilisée augmente entre deux points valeurs.

Exemple 2: Déterminer le taux de variation moyen d’une fonction rationnelle dans un contexte de la vie courante

La récolte d’une ferme en kilogrammes𝑦 en fonction de la quantité d’insecticide utilisée en kilogrammes𝑥 est définie par 𝑦=146473𝑥+8. Calculez le taux de variation moyen de 𝑦 quand 𝑥 varie de 13 à 17.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons calculer le taux de variation moyen de la récolte de la ferme en kilogrammes quand la quantité d’insecticide en kilogrammes, 𝑥 varie entre deux valeurs.

On rappelle que le taux de variation moyen d’une fonction 𝑦(𝑥) sur un intervalle [𝑥;𝑥] est défini par 𝑇=𝑦(𝑥)𝑦(𝑥)𝑥𝑥.

La quantité d’insecticide en kilogrammes𝑥 augmente de 𝑥=13 à 𝑥=17. Alors, elle varie de 1713=4. La récolte de la ferme varie également de 𝑦(13) à 𝑦(17) et la quantité dont elle varie est 𝑦(17)𝑦(13)=146473×17+8146473×13+8=4759+1=1259.

Par conséquent, le taux de variation moyen de 𝑦 quand 𝑥 varie de 13 à 17 est 𝑇=𝑦(17)𝑦(13)1713=4=359.

Cela signifie qu’augmenter la quantité d’insecticide utilisée de 13 à 17 kg conduit à une augmentation moyenne de la récolte de 3590,05kg pour chaque augmentation de 1 kg d’insecticide utilisé.

Puisque la quantité dont 𝑥 varie, Δ𝑥, est quelconque, on peut utiliser la variable pour la désigner telle que =Δ𝑥, et donc le taux de variation moyen 𝑇 peut être vu alors comme une fonction de , 𝑇() est calculé sur l’intervalle [𝑥;𝑥+].

Définition : Fonction du taux de variation moyen

La fonction du taux de variation moyen quand 𝑥 varie de 𝑥 à 𝑥+, ou de manière équivalente lorsque 𝑥=𝑥, est 𝑇()=𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥)(𝑥+)𝑥=𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥).

Notez que si <0, le taux de variation moyen 𝑇() est calculé sur l’intervalle [𝑥||;𝑥].

Étudions maintenant un exemple où nous devons déterminer l’expression du taux de variation moyen d’une fonction polynôme en un point.

Exemple 3: Déterminer le taux de variation moyen d’une fonction polynôme en un point

Déterminez l’expression de la fonction du taux de variation moyen 𝑇() pour 𝑓(𝑥)=6𝑥3 en 𝑥=1.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer l’expression de la fonction du taux de variation moyen d’une fonction polynôme pour une valeur de 𝑥.

On rappelle que la fonction du taux de variation moyen d’une fonction 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑥 est 𝑇()=𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥).

Pour la fonction 𝑓(𝑥)=6𝑥3 en 𝑥=1, on a 𝑇()=𝑓(1+)𝑓(1)=6(1+)36×13=61+2+3(63)=6+12+636+3=12+6=6+12.

Dans l’exemple suivant, nous devons déterminer l’expression du taux de variation moyen d’une fonction du troisième degré pour une valeur 𝑥=𝑥.

Exemple 4: Déterminer le taux de variation moyen d’une fonction polynôme en un point

Déterminez l’expression de la fonction du taux de variation moyen 𝑇() pour 𝑓(𝑥)=2𝑥+30 en 𝑥=𝑥.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer l’expression de la fonction du taux de variation moyen d’une fonction du troisième degré pour une valeur 𝑥.

On rappelle que la fonction du taux de variation moyen d’une fonction 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑥 est 𝑇()=𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥).

Pour la fonction 𝑓(𝑥)=2𝑥+30 en 𝑥=𝑥, on a 𝑇()=2(𝑥+)+302𝑥+30=2𝑥+3𝑥+3𝑥++302𝑥30=2𝑥+6𝑥+6𝑥+22𝑥=6𝑥+6𝑥+2=2+6𝑥+6𝑥.

Certains problèmes demandent parfois de déterminer le taux de variation moyen lorsque 𝑥 varie de 𝑥 à 𝑥+, ce qui est équivalent à demander l’expression de la fonction du taux de variation moyen en une valeur 𝑥=𝑥.

Étudions à présent un exemple où nous devons déterminer l’expression de la fonction du taux de variation moyen pour une fonction rationnelle quand 𝑥 varie de 𝑥 à 𝑥+.

Exemple 5: Déterminer l’expression du taux de variation moyen d’une fonction rationnelle

Déterminez l’expression de la fonction du taux de variation moyen 𝑇() pour 𝑓(𝑥)=𝑥+28𝑥 quand 𝑥 varie de 𝑥 à 𝑥+.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer l’expression de la fonction du taux de variation moyen d’une fonction rationnelle lorsque 𝑥 varie entre deux valeurs.

On rappelle que la fonction du taux de variation moyen d’une fonction 𝑓(𝑥) quand 𝑥 varie de 𝑥 à 𝑥+ est 𝑇()=𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥).

Pour la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥+28𝑥, on a 𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥)=(𝑥+)+28(𝑥+)𝑥+28𝑥=𝑥(𝑥+)+28𝑥(𝑥+)𝑥+2(𝑥+)8𝑥(𝑥+)=𝑥𝑥+2𝑥++2𝑥+𝑥+2𝑥+28𝑥+8𝑥=𝑥+2𝑥+𝑥+2𝑥𝑥𝑥2𝑥28𝑥+8𝑥=𝑥+𝑥28𝑥+8𝑥.

Par conséquent, la fonction du taux de variation moyen est 𝑇()=𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥28𝑥+8𝑥=𝑥+𝑥28𝑥+8𝑥.

Étudions maintenant un exemple concret où nous devons déterminer le taux de croissance d’une population décrite par une fonction 𝑓(𝑡) quand le temps varie entre deux valeurs. Ce taux de variation moyen sera exprimé en fonction de , la quantité dont 𝑡 varie.

Exemple 6: Déterminer le taux de variation moyen d’une fonction polynôme entre deux points

On suppose qu’une population suit la fonction 𝑓(𝑡)=14𝑡+33706 en fonction du temps 𝑡. Quel est le taux de croissance de cette population lorsque 𝑡 varie de 𝑡 à 𝑡+?

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer l’expression du taux de variation moyen d’une fonction du second degré 𝑓(𝑡) qui décrit une population à l’instant 𝑡, quand la valeur de 𝑥 varie entre deux valeurs.

On rappelle que la fonction du taux de variation moyen 𝑇() décrivant la variation d’une fonction 𝑓(𝑡) sur l’intervalle [𝑡;𝑡+] est définie par 𝑇()=𝑓(𝑡+)𝑓(𝑡).

En remplaçant la fonction de la population 𝑓(𝑡) dans cette formule, le taux de variation moyen lorsque 𝑡 varie de 𝑡 à 𝑡+ est 𝑇()=14(𝑡+)+3370614𝑡+33706=14(𝑡+)14𝑡=14𝑡+2𝑡+14𝑡=14+28𝑡=14+28𝑡.

Pour une valeur particulière de =, la fonction du taux de variation moyen en cette valeur 𝑇() est égale au taux de variation moyen 𝑇 sur l’intervalle [𝑥;𝑥], 𝑥=𝑥+. En d’autres termes, 𝑇()=𝑇. Par exemple, pour une fonction sur un intervalle [1;1,5], ou quand 𝑥 varie de 1 à 1,5, le taux de variation moyen est égal à la fonction du taux de variation moyen quand 𝑥 varie de 1 à 1+, en considérant 𝑥=1 et =0,5.

Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer l’expression de la fonction du taux de variation moyen d’une fonction polynôme pour une valeur de 𝑥 et l’évaluer en une valeur donnée.

Exemple 7: Déterminer le taux de variation moyen d’une fonction polynôme

Pour une fonction 𝑓(𝑥), le taux de variation moyen entre un point fixe 𝑥 et un autre point 𝑥+ est 𝑇()=𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥). Sachant que 𝑓(𝑥)=𝑥6𝑥+5, calculez 𝑇(0,5) pour 𝑥=4.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer l’expression de la fonction du taux de variation moyen 𝑇() d’une fonction du second degré et l’évaluer en une valeur de .

D’après la définition, la fonction du taux de variation moyen de la fonction ci-dessus lorsque 𝑥=4, ou quand 𝑥 varie de 4 à 4+, est 𝑇()=𝑓(4+)𝑓(4)=(4+)6(4+)+546×4+5=4+8+6×46+54+6×45=+2=+2.

En substituant =0,5, on trouve 𝑇(0,5)=0,5+2=2,5.

Il s’agit du taux de variation moyen de 𝑓(𝑥) quand 𝑥 varie de 4 à 4,5.

Si on étudie ce qui arrive à la fonction du taux de variation moyen quand devient arbitrairement petit ou quand l’intervalle [𝑥;𝑥+] rétrécit, on obtient le taux de variation instantané de la fonction. Lorsque 𝑥 varie de 𝑥 à 𝑥+, il n’y a en effet aucune variation de la variable quand 0;ceci donne le taux de variation à un instant plutôt qu’entre deux valeurs. Nous allons maintenant donner sa définition formelle en termes de limite.

Définition : Taux de variation instantané

Le taux de variation instantané d’une fonction 𝑓(𝑥) en un point 𝑥=𝑥 est limlim𝑇()=𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥), lorsque cette limite existe.

Pour de nombreuses fonctions communes, telles que les fonctions polynômes, trigonométriques, exponentielles, logarithmes et rationnelles, il est possible de déterminer leur taux de variation instantané pour des valeurs de 𝑥 dans leur ensemble de définition. Il existe cependant beaucoup de fonctions pour lesquelles cela n’est pas possible;nous introduirons des exemples de ces fonctions lorsque nous étudierons les dérivées plus en détail.

Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer le taux de variation instantané d’une fonction du second degré pour une valeur de 𝑥.

Exemple 8: Calculer le taux de variation instantané d’une fonction polynôme en un point

Calculez le taux de variation instantané de 𝑓(𝑥)=2𝑥+9 en 𝑥=3.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons calculer le taux de variation instantané d’une fonction du second degré en un point. Le taux de variation instantané d’une fonction 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑥 est lim𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥).

Pour la fonction 𝑓(𝑥)=2𝑥+9 en 𝑥=3, son taux de variation instantané est limlimlimlimlimlim𝑓(3+)𝑓(3)=2(3+)+92(3)+9=26+9+9(18+9)=212+18+9(18+9)=212=(212)=12.

Étudions maintenant un exemple où nous devons calculer le taux de variation instantané d’une fonction racine carrée pour une valeur de 𝑥.

Exemple 9: Calculer le taux de variation instantané de la fonction racine carrée

Calculez le taux de variation instantané de 𝑓(𝑥)=𝑥 en 𝑥=𝑥>0.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons calculer le taux de variation instantané de la fonction racine carrée pour une valeur de 𝑥.

On rappelle que le taux de variation instantané d’une fonction 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑥 est lim𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥).

Pour la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥, on a limlimlimlimlim𝑥+𝑥=𝑥+𝑥𝑥++𝑥𝑥++𝑥=𝑥+𝑥𝑥++𝑥=𝑥++𝑥=1𝑥++𝑥=12𝑥.

Les taux de variation instantanés ont de nombreuses applications concrètes, par exemple, la vitesse d’un objet en mouvement à un instant donné est le taux de variation instantané du déplacement à cet instant.

Dans le dernier exemple, nous allons étudier un problème concret et calculer le taux de variation instantané d’une fonction polynôme représentant la biomasse d’une culture bactérienne à un instant donné.

Exemple 10: Calculer le taux de variation instantané d’une fonction polynômiale représentant la biomasse d’une culture bactérienne à un instant donné

La biomasse d’une culture bactérienne en milligrammes en fonction du temps en minutes est définie par 𝑓(𝑡)=71𝑡+63. Quel est le taux de croissance instantané de la culture lorsque 𝑡=2minutes?

Réponse

Dans cet exemple, nous devons calculer le taux de variation instantané d’une fonction du troisième degré représentant la biomasse d’une culture bactérienne.

On rappelle que le taux de variation instantané d’une fonction 𝑓(𝑡) lorsque 𝑡=𝑡 est lim𝑓(𝑡+)𝑓(𝑡).

Pour la fonction 𝑓(𝑡)=71𝑡+63 lorsque 𝑡=2, son taux de variation instantané est limlimlimlimlim𝑓(2+)𝑓(2)=71(2+)+6371×2+63=71+6+12+871×8=71+426+852=71+426+852=852.

Comme le taux de variation instantané est positif, il est équivalent au taux de croissance.

Par conséquent, le taux de croissance de la biomasse d’une culture bactérienne lorsque 𝑡=2minutes est 852/.mgmin

La dérivée d’une fonction en un point quelconque 𝑥 est tirée de cette notion. Le taux de variation instantané d’une fonction en 𝑥=𝑥 est en effet égal à la dérivée de cette fonction en 𝑥=𝑥. Cela dépasse cependant le cadre de cette fiche explicative et sera couvert plus tard.

Résumons maintenant quelques points clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • Le taux de variation moyen d’une fonction 𝑓(𝑥) sur un intervalle [𝑥;𝑥], c’est-à-dire quand 𝑥 varie de 𝑥 à 𝑥, est défini par 𝑇=𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑥𝑥.
  • La fonction de taux de variation 𝑇() d’une fonction 𝑓(𝑥) lorsque 𝑥 varie de 𝑥 à 𝑥+, ou, de manière équivalente, sur l’intervalle [𝑥;𝑥+], est définie par 𝑇()=𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥).
  • Pour des valeurs fixes de 𝑥 et , le taux de variation moyen peut être interprété graphiquement comme la pente de la droite passant par les points (𝑥;𝑓(𝑥)) et (𝑥+;𝑓(𝑥+)).
  • Pour définir le taux de variation instantané, on introduit la notion de limite. On calcule alors le taux de variation moyen sur des intervalles de plus en plus petits, c’est-à-dire sur l’intervalle [𝑥;𝑥+] quand tend vers zéro.
    Formellement, le taux de variation instantané d’une fonction 𝑓 en un point 𝑥 est défini par limlim𝑇()=𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥) lorsque cette limite existe.
  • On peut également interpréter le taux de variation instantané de 𝑓 en 𝑥 comme la pente de la tangente à la courbe représentative de 𝑓 en 𝑥=𝑥.
  • On peut calculer la limite des pentes des droites sécantes coupant la courbe représentative de la fonction en 𝑥 et 𝑥+ quand 0.
  • Pour évaluer la limite et calculer le taux de variation instantané, il est souvent nécessaire de manipuler l’expression pour éliminer au dénominateur.
  • Bien que les taux de variation instantanés existent pour de nombreuses fonctions communes, il existe en réalité beaucoup de fonctions pour lesquelles la limite n’existe pas et pour lesquelles on ne peut donc pas définir de taux de variation instantané. Plusieurs exemples de ces fonctions vous seront présentés au fur et à mesure que vous progresserez en analyse.

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