Transcription de la vidéo
Le cercle de centre 𝑀 a un rayon de 12 centimètres et la longueur de 𝐶𝐵 mesure 16 centimètres. Calculez la longueur de l’arc 𝐶𝐵 en donnant la réponse au centième près.
Commençons par mettre toutes les informations qui nous ont été fournies dans la figure. D'après les informations dont nous disposons, le cercle a un rayon de 12 centimètres. Par conséquent, les segments 𝑀𝐶 et 𝑀𝐵 ont chacun une longueur de 12 cm. La longueur du segment 𝐶𝐵 est également donnée comme étant de 16 centimètres. Dans cette question, nous voulons déterminer la longueur de l'arc 𝐶𝐵, qui est marqué en rose.
Pour y arriver, nous devons donc d'abord déterminer la mesure de l'angle au centre, qui a été marqué comme 𝜃 dans la figure. On ne nous a pas fourni l'angle 𝜃, nous devons donc le déterminer en nous basant sur les autres faits de la question. Vous constaterez que le 𝜃 est contenu dans le triangle 𝑀𝐵𝐶, et nous connaissons les longueurs des trois côtés. Ils mesurent 12 centimètres, 12 centimètres et 16 centimètres.
Si nous connaissons les longueurs des trois côtés d'un triangle, nous pouvons utiliser la loi des cosinus pour calculer la mesure de chacun de ses angles. En utilisant les notations de cette question, la loi des cosinus pour un angle nous indique que cos de 𝜃 est égal à 𝐵𝑀 au carré plus 𝐶𝑀 au carré moins 𝐵𝐶 au carré sur deux multiplié par 𝐵𝑀 multiplié par 𝐶𝑀. Donc, pour chacune de ces longueurs, substituons les valeurs. Cela nous indique que cos de 𝜃 est égal à 12 au carré plus 12 au carré moins 16 au carré sur deux multiplié par 12 multiplié par 12. Après avoir évalué chacun d'eux, nous pouvons conclure que cos de 𝜃 est égal à 32 sur 288.
Pour obtenir la valeur de 𝜃, nous devons employer la fonction réciproque du cosinus. 𝜃 est le arc cosinus de 32 divisé par 288. L’évaluation de cela sur ma calculatrice me dit que 𝜃 est égal à 83.62062…. Je vais maintenant conserver cette valeur sur l'écran de ma calculatrice car je dois l'utiliser dans la prochaine étape de mon calcul et je ne veux pas introduire des erreurs d'arrondi dans ma réponse.
L'étape suivante pour répondre à cette question est donc de déterminer la longueur de cet arc 𝐶𝐵. Donc, pour déterminer la longueur de l'arc, on prend la circonférence du cercle entier deux 𝜋𝑟 et on la multiplie par la portion de cercle que nous avons. Donc, c’est 𝜃 sur 360. Ainsi, le fait d'avoir ce nombre sur l'écran de ma calculatrice a été vraiment utile car je peux maintenant l'utiliser précisément à ce stade du calcul. J'ai pris 83,62062 et je l'ai divisé par 360, puis je l'ai multiplié par deux fois 𝜋 fois le rayon du cercle, soit 12.
Donc, si j’évalue tout cela sur ma calculatrice, j’ai une valeur de 17.513463. Lorsque je reviens à la question, on me demande de donner ma réponse au centième près. Donc, en arrondissant ma réponse et en incorporant les unités pour une longueur d'arc, qui dans ce cas sont les centimètres, j'obtiens que la longueur de l’arc 𝐶𝐵 est de 17,51 centimètres.
