Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer la longueur d'un arc et le périmètre d'un secteur circulaire, et à résoudre des problèmes comprenant des situations réelles.
On peut commencer par rappeler le vocabulaire utilisé pour décrire des parties d’un cercle. On rappelle d’abord qu’un arc de cercle est une section du cercle entre deux rayons. Cependant, étant donnés deux rayons, il existe deux arcs entre les deux rayons. On voit un exemple de cela sur la figure suivante.
Les deux arcs sont une section du cercle entre deux rayons donnés ; pour éviter toute confusion, on désigne donc l’arc le plus grand comme l’arc majeur et le plus petit comme l’arc mineur.
Cela revient à dire que si la mesure de l’angle au centre est inférieure à ou , alors on sait qu’il s’agit d’un arc mineur. Si elle est supérieure à ces valeurs, alors il s’agit d’un arc majeur. On peut alors définir les arcs de cercle comme suit.
Définition : Arc d’un cercle
Un arc d’un cercle est une section de la circonférence du cercle entre deux rayons.
Étant donnés deux rayons, on désigne le plus grand des arcs comme l’arc majeur et le plus petit des arcs comme l’arc mineur. Le plus grand arc est celui avec le plus grand angle au centre.
Si les deux arcs sont de même longueur, alors on les appelle arcs semi-circulaires. Ils se produisent lorsque la mesure de l’angle au centre est égale à ou , ou de manière équivalente lorsque les rayons forment un diamètre.
On peut maintenant voir comment trouver la longueur d’un arc de cercle. On suppose que l’on a l’arc ci-dessous.
On peut déterminer la longueur de tout arc intercepté par un angle en rappelant d’abord comment déterminer la circonférence d’un cercle, la longueur du contour du cercle.
La circonférence d’un cercle de rayon est donnée par
La longueur de l’arc mineur ci-dessus peut être calculée en multipliant la circonférence par . En général, un arc d’un cercle d’angle au centre représente une section de de la circonférence et sa longueur est calculée par
On peut faire de même pour un angle mesuré en radians. Si l’angle au centre est , alors l’arc est une section de de la circonférence. Par conséquent, la longueur de l’arc est donnée par
Cela nous donne les formules suivantes pour déterminer la longueur d’un arc de cercle.
Définition : Longueur d’un arc
La longueur d’un arc intercepté par un angle mesuré en degrés dans un cercle de rayon est donnée par
La longueur d’un arc intercepté par un angle mesuré en radians dans un cercle de rayon est donnée par
Nous allons maintenant voir quelques exemples d’application de ces formules, en commençant par la méthode pour déterminer la longueur d’un arc à partir d’un angle en radians.
Exemple 1: Calculer la longueur d’un arc
Déterminez la longueur de l’arc bleu sachant que le rayon du cercle est 8 cm et que la mesure de l’angle illustré est en radians. Donnez votre réponse au dixième près.
Réponse
Dans ce problème, on connaît l’angle interceptant un arc dont la mesure est en radians. On rappelle que la longueur d’un arc intercepté par un angle mesuré en radians dans un cercle de rayon est donnée par
Il est indiqué que le rayon de ce cercle est 8 cm. Par conséquent, on peut substituer et dans la formule pour obtenir
Comme on doit fournir une réponse au dixième près, on peut utiliser une calculatrice pour trouver cet arrondi, ce qui donne
Par conséquent, la longueur de l’arc bleu est 33,5 cm au dixième près.
Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer la longueur d’un arc dans un contexte réel.
Exemple 2: Résoudre un problème d’application impliquant la longueur d’arc d’un pendule
Un pendule de longueur 26 cm se balance selon un angle de . Déterminez la longueur de la trajectoire circulaire du pendule en donnant la réponse en centimètres en fonction de .
Réponse
Dans cette question, le pendule suit une trajectoire circulaire. Cela signifie que l’on peut modéliser la trajectoire du pendule comme un arc d’un cercle. Comme le pendule pivote autour d’un seul point, la longueur du pendule est donc le rayon du cercle. On sait que la mesure de l’angle au centre de l’arc est égale à .
La longueur d’un arc d’un cercle de rayon avec un angle au centre mesuré en degrés est donnée par
Ainsi, en substituant les valeurs et et en simplifiant, on a
On peut laisser la réponse en fonction de , la longueur de la trajectoire circulaire est donc .
Comme méthode alternative, on peut convertir l’angle en degrés en radians puis utiliser la formule pour déterminer la longueur d’un arc intercepté par un angle en radians. On rappelle que pour convertir un angle en degrés en radians, on multiplie la mesure de l’angle par . Par conséquent,
La longueur d’un arc intercepté par un angle mesuré en radians dans un cercle de rayon est donnée par
Comme le pendule forme un cercle de rayon , on peut le substituer dans la formule
Les deux méthodes permettent de calculer la longueur de la trajectoire circulaire qui est .
On peut étendre le processus de recherche de la longueur d’un arc de cercle pour déterminer le périmètre d’un secteur circulaire. Un secteur circulaire est une partie du cercle délimitée par deux rayons et l’arc entre eux. On peut rappeler que le périmètre d’une figure est la longueur de son contour.
Le périmètre d’un secteur est la somme des deux rayons et de la longueur de l’arc. Nous pouvons le définir ci-dessous.
Définition: Périmètre d’un secteur
Le périmètre du secteur d’un cercle de rayon défini par un angle mesuré en degrés est
Le périmètre du secteur d’un cercle de rayon défini par un angle mesuré en radians est
Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment calculer le périmètre d’un secteur circulaire en déterminant d’abord la longueur de l’arc.
Exemple 3: Déterminer le périmètre d’un secteur
Le rayon d’un cercle est 7 cm et la mesure de l’angle au centre d’un secteur est . Déterminez le périmètre du secteur au centimètre près.
Réponse
On peut tracer ce secteur circulaire comme suit.
Le périmètre du secteur, c’est-à-dire la longueur de son contour, est la somme des longueurs des deux rayons et de l’arc qui forme le secteur :
On sait que la longueur du rayon est 7 cm mais on doit calculer la longueur de l’arc.
La longueur d’un arc d’un cercle de rayon avec un angle au centre mesuré en degrés est donnée par
On sait que et que l’angle au centre est . Par conséquent, substituer ces valeurs dans la formule ci-dessus donne
On peut conserver cette valeur en fonction de pour la partie suivante du calcul.
Pour trouver le périmètre, on substitue le rayon et la longueur de l’arc dans le calcul du périmètre :
Par conséquent, on a
On peut alors arrondir cette valeur au centimètre près et trouver que le périmètre du secteur est de 19 cm.
Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser des informations sur le périmètre d’un secteur pour déterminer son rayon.
Exemple 4: Déterminer le rayon d’un secteur circulaire à partir de son angle au centre et de son périmètre
Le périmètre d’un secteur circulaire est de 67 cm et la mesure de son angle au centre est de 0,31 rad. Déterminez le rayon du secteur en donnant la réponse au centimètre près.
Réponse
Le périmètre d’un secteur est la longueur de son contour. Il est égal à la somme des longueurs des deux rayons et de l’arc qui forme le secteur. On peut définir la longueur de l’arc comme et écrire
On sait que le périmètre est de 67 cm, on a donc l’équation
On peut utiliser les informations sur l’angle au centre du secteur pour calculer la longueur de l’arc en notant que la mesure de l’angle est en radians. On rappelle que la longueur d’un arc, intercepté par un angle mesuré en radians dans un cercle de rayon est donnée par
On substitue maintenant l’angle donné, dans cette équation pour trouver comme suit :
Ensuite, en remplaçant par dans l’équation , on a
Enfin, en arrondissant au centimètre près, le rayon du secteur est .
Dans le dernier exemple, nous allons voir comment utiliser des informations sur des tangentes sécantes pour déterminer la longueur d’un arc.
Exemple 5: Déterminer la longueur d’un arc sachant que deux tangentes sont sécantes et connaissant leur angle d’intersection
Si et si le rayon du cercle est égal à 3 cm, déterminez la longueur de l’arc majeur .
Réponse
L’arc majeur est le plus grand des deux arcs, comme indiqué sur le schéma suivant.
Afin de déterminer la longueur de l’arc majeur ou mineur , on doit déterminer la mesure de l’angle au centre interceptant l’arc. On peut tracer les rayons munis de et au centre du cercle.
On rappelle qu’une tangente au cercle en un point coupe le rayon du cercle en selon un angle de mesure , donc et . On peut ajouter ces informations au schéma ainsi que .
On observe que l’on a maintenant un quadrilatère et trois des mesures de ses angles. La somme des mesures des angles internes d’un quadrilatère est égale à donc,
En substituant les mesures des angles et en simplifiant, on a
On peut maintenant utiliser l’information, pour déterminer la longueur de l’arc majeur .
La longueur d’un arc d’un cercle de rayon avec un angle au centre mesuré en degrés est donnée par
Si on utilise ici , cela donnera la longueur de l’arc mineur . Il y a deux options pour déterminer la longueur de l’arc majeur. Dans la première méthode, on trouve la mesure de l’angle rentrant en calculant . Remplacer par et dans la formule donne
On peut garder cette valeur en fonction de ou on peut déterminer son équivalent décimal comme et arrondir au dixième pour obtenir que la longueur de l’arc majeur est .
Dans la deuxième méthode, comme on a calculé que , on peut trouver la longueur de l’arc mineur en substituant et le rayon pour obtenir la longueur de l’arc mineur
Si on a la longueur de l’un des deux arcs et que l’on souhaite trouver l’autre, on peut rappeler que la somme des longueurs des deux arcs est égale à la circonférence du cercle. Pour un cercle de rayon , sa circonférence est donnée par
Pour trouver la circonférence, on substitue le rayon dans la formule, ce qui donne
Pour déterminer maintenant la longueur de l’arc majeur , on peut calculer
Les deux méthodes ont montré que la longueur de l’arc majeur est 13,4 cm arrondie au dixième près.
Nous résumons maintenant les points clés.
Points clés
- Un arc d’un cercle est une section de la circonférence du cercle entre deux rayons.
- Le plus grand des deux arcs est l’arc majeur et le plus petit est l’arc mineur. Si la mesure de l’angle au centre entre les deux rayons est inférieure à ou , alors il s’agit d’un arc mineur. Si elle est supérieure à ces valeurs, alors il s’agit d’un arc majeur. Si la mesure de l’angle est exactement égale à ou , alors il y a deux arcs semi-circulaires.
- La longueur d’un arc intercepté par un angle mesuré en degrés dans un cercle de rayon est donnée par
- La longueur d’un arc intercepté par un angle mesuré en radians dans un cercle de rayon est donnée par
- Le périmètre d’un secteur est égal à la somme des longueurs de deux rayons et de l’arc qui forme le secteur.
