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Fiche explicative de la leçon : Longueur d'un arc Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer la longueur d'un arc et le périmètre d'un secteur circulaire, et à résoudre des problèmes comprenant des situations réelles.

On peut commencer par rappeler le vocabulaire utilisé pour décrire des parties d’un cercle. On rappelle d’abord qu’un arc de cercle est une section du cercle entre deux rayons. Cependant, étant donnés deux rayons, il existe deux arcs entre les deux rayons. On voit un exemple de cela sur la figure suivante.

Les deux arcs sont une section du cercle entre deux rayons donnés;pour éviter toute confusion, on désigne donc l’arc le plus grand comme l’arc majeur et le plus petit comme l’arc mineur.

Cela revient à dire que si la mesure de l’angle au centre est inférieure à 180 ou 𝜋radians, alors on sait qu’il s’agit d’un arc mineur. Si elle est supérieure à ces valeurs, alors il s’agit d’un arc majeur. On peut alors définir les arcs de cercle comme suit.

Définition : Arc d’un cercle

Un arc d’un cercle est une section de la circonférence du cercle entre deux rayons.

Étant donnés deux rayons, on désigne le plus grand des arcs comme l’arc majeur et le plus petit des arcs comme l’arc mineur. Le plus grand arc est celui avec le plus grand angle au centre.

Si les deux arcs sont de même longueur, alors on les appelle arcs semi-circulaires. Ils se produisent lorsque la mesure de l’angle au centre est égale à 180 ou 𝜋radians, ou de manière équivalente lorsque les rayons forment un diamètre.

On peut maintenant voir comment trouver la longueur d’un arc de cercle. On suppose que l’on a l’arc ci-dessous.

On peut déterminer la longueur de tout arc intercepté par un angle en rappelant d’abord comment déterminer la circonférence d’un cercle, la longueur du contour du cercle.

La circonférence 𝐶 d’un cercle de rayon 𝑟 est donnée par 𝐶=2𝜋𝑟.

La longueur de l’arc mineur ci-dessus peut être calculée en multipliant la circonférence 2𝜋𝑟 par 14. En général, un arc d’un cercle d’angle au centre 𝜃 représente une section de 𝜃360 de la circonférence et sa longueur est calculée par longueurdelarc=2𝜋𝑟×𝜃360=2𝜋𝑟𝜃360.

On peut faire de même pour un angle mesuré en radians. Si l’angle au centre est 𝜃radians, alors l’arc est une section de 𝜃2𝜋 de la circonférence. Par conséquent, la longueur de l’arc est donnée par longueurdelarc=2𝜋𝑟𝜃2𝜋=𝑟𝜃.

Cela nous donne les formules suivantes pour déterminer la longueur d’un arc de cercle.

Définition : Longueur d’un arc

La longueur d’un arc intercepté par un angle 𝜃 mesuré en degrés dans un cercle de rayon 𝑟 est donnée par longueurdelarc=2𝜋𝑟𝜃360.

La longueur d’un arc intercepté par un angle 𝜃 mesuré en radians dans un cercle de rayon 𝑟 est donnée par longueurdelarc=𝑟𝜃.

Nous allons maintenant voir quelques exemples d’application de ces formules, en commençant par la méthode pour déterminer la longueur d’un arc à partir d’un angle en radians.

Exemple 1: Calculer la longueur d’un arc

Déterminez la longueur de l’arc bleu sachant que le rayon du cercle est 8 cm et que la mesure de l’angle illustré est en radians. Donnez votre réponse au dixième près.

Réponse

Dans ce problème, on connaît l’angle interceptant un arc dont la mesure est en radians. On rappelle que la longueur d’un arc intercepté par un angle 𝜃 mesuré en radians dans un cercle de rayon 𝑟 est donnée par longueurdelarc=𝑟𝜃.

Il est indiqué que le rayon de ce cercle est 8 cm. Par conséquent, on peut substituer 𝑟=8 et 𝜃=4𝜋3 dans la formule pour obtenir longueurdelarccm=8×4𝜋3=32𝜋3.

Comme on doit fournir une réponse au dixième près, on peut utiliser une calculatrice pour trouver cet arrondi, ce qui donne longueurdelarccmcm=33,51033,5.

Par conséquent, la longueur de l’arc bleu est 33,5 cm au dixième près.

Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer la longueur d’un arc dans un contexte réel.

Exemple 2: Résoudre un problème d’application impliquant la longueur d’arc d’un pendule

Un pendule de longueur 26 cm se balance selon un angle de 58. Déterminez la longueur de la trajectoire circulaire du pendule en donnant la réponse en centimètres en fonction de 𝜋.

Réponse

Dans cette question, le pendule suit une trajectoire circulaire. Cela signifie que l’on peut modéliser la trajectoire du pendule comme un arc d’un cercle. Comme le pendule pivote autour d’un seul point, la longueur du pendule est donc le rayon du cercle. On sait que la mesure de l’angle au centre de l’arc est égale à 58.

La longueur d’un arc d’un cercle de rayon 𝑟 avec un angle au centre 𝜃 mesuré en degrés est donnée par longueurdelarc=2𝜋𝑟𝜃360.

Ainsi, en substituant les valeurs 𝑟=26 et 𝜃=58 et en simplifiant, on a longueurdelarccm=2𝜋(26)(58)360=3016𝜋360=377𝜋45.

On peut laisser la réponse en fonction de 𝜋, la longueur de la trajectoire circulaire est donc 37745𝜋cm.

Comme méthode alternative, on peut convertir l’angle en degrés en radians puis utiliser la formule pour déterminer la longueur d’un arc intercepté par un angle en radians. On rappelle que pour convertir un angle en degrés en radians, on multiplie la mesure de l’angle par 𝜋180. Par conséquent, 58=58𝜋180.

La longueur d’un arc intercepté par un angle 𝜃 mesuré en radians dans un cercle de rayon 𝑟 est donnée par longueurdelarc=𝑟𝜃.

Comme le pendule forme un cercle de rayon 𝑟=26cm, on peut le substituer dans la formule longueurdelarccm=26×58𝜋180=1508𝜋180=37745𝜋.

Les deux méthodes permettent de calculer la longueur de la trajectoire circulaire qui est 37745𝜋cm.

On peut étendre le processus de recherche de la longueur d’un arc de cercle pour déterminer le périmètre d’un secteur circulaire. Un secteur circulaire est une partie du cercle délimitée par deux rayons et l’arc entre eux. On peut rappeler que le périmètre d’une figure est la longueur de son contour.

Le périmètre d’un secteur est la somme des deux rayons et de la longueur de l’arc. Nous pouvons le définir ci-dessous.

Définition: Périmètre d’un secteur

Le périmètre du secteur d’un cercle de rayon 𝑟 défini par un angle 𝜃 mesuré en degrés est périmètre=2𝜋𝑟𝜃360+2𝑟.

Le périmètre du secteur d’un cercle de rayon 𝑟 défini par un angle 𝜃 mesuré en radians est périmètre=𝑟𝜃+2𝑟.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment calculer le périmètre d’un secteur circulaire en déterminant d’abord la longueur de l’arc.

Exemple 3: Déterminer le périmètre d’un secteur

Le rayon d’un cercle est 7 cm et la mesure de l’angle au centre d’un secteur est 40. Déterminez le périmètre du secteur au centimètre près.

Réponse

On peut tracer ce secteur circulaire comme suit.

Le périmètre du secteur, c’est-à-dire la longueur de son contour, est la somme des longueurs des deux rayons et de l’arc qui forme le secteur:périmètrelongueurdelarc=2𝑟+.

On sait que la longueur du rayon est 7 cm mais on doit calculer la longueur de l’arc.

La longueur d’un arc d’un cercle de rayon 𝑟 avec un angle au centre 𝜃 mesuré en degrés est donnée par longueurdelarc=2𝜋𝑟𝜃360.

On sait que 𝑟=7 et que l’angle au centre est 𝜃=40. Par conséquent, substituer ces valeurs dans la formule ci-dessus donne longueurdelarccm=2𝜋(7)(40)360=560𝜋360=14𝜋9.

On peut conserver cette valeur en fonction de 𝜋 pour la partie suivante du calcul.

Pour trouver le périmètre, on substitue le rayon 𝑟=7 et la longueur de l’arc =14𝜋9 dans le calcul du périmètre:périmètrelongueurdelarc=2𝑟+.

Par conséquent, on a périmètrecm=2(7)+14𝜋9=14+14𝜋9=18,886.

On peut alors arrondir cette valeur au centimètre près et trouver que le périmètre du secteur est de 19 cm.

Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser des informations sur le périmètre d’un secteur pour déterminer son rayon.

Exemple 4: Déterminer le rayon d’un secteur circulaire à partir de son angle au centre et de son périmètre

Le périmètre d’un secteur circulaire est de 67 cm et la mesure de son angle au centre est de 0,31 rad. Déterminez le rayon du secteur en donnant la réponse au centimètre près.

Réponse

Le périmètre d’un secteur est la longueur de son contour. Il est égal à la somme des longueurs des deux rayons et de l’arc qui forme le secteur. On peut définir la longueur de l’arc comme 𝑙 et écrire périmètre=2𝑟+𝑙.

On sait que le périmètre est de 67 cm, on a donc l’équation 67=2𝑟+𝑙.

On peut utiliser les informations sur l’angle au centre du secteur pour calculer la longueur de l’arc 𝑙 en notant que la mesure de l’angle est en radians. On rappelle que la longueur d’un arc, 𝑙 intercepté par un angle 𝜃 mesuré en radians dans un cercle de rayon 𝑟 est donnée par 𝑙=𝑟𝜃.

On substitue maintenant l’angle donné, 𝜃=0,31 dans cette équation pour trouver 𝑙 comme suit:𝑙=𝑟×0,31=0,31𝑟.

Ensuite, en remplaçant par 𝑙=0,31𝑟 dans l’équation 2𝑟+𝑙=67, on a 2𝑟+0,31𝑟=672,31𝑟=67𝑟=672,31=29,004.cm

Enfin, en arrondissant au centimètre près, le rayon du secteur est 29cm.

Dans le dernier exemple, nous allons voir comment utiliser des informations sur des tangentes sécantes pour déterminer la longueur d’un arc.

Exemple 5: Déterminer la longueur d’un arc sachant que deux tangentes sont sécantes et connaissant leur angle d’intersection

Si 𝑚𝐴=76 et si le rayon du cercle est égal à 3 cm, déterminez la longueur de l’arc majeur 𝐵𝐶.

Réponse

L’arc majeur 𝐵𝐶 est le plus grand des deux arcs, comme indiqué sur le schéma suivant.

Afin de déterminer la longueur de l’arc majeur ou mineur 𝐵𝐶, on doit déterminer la mesure de l’angle au centre interceptant l’arc. On peut tracer les rayons munis de 𝐵 et 𝐶 au centre 𝑂 du cercle.

On rappelle qu’une tangente au cercle en un point 𝑃 coupe le rayon du cercle en 𝑃 selon un angle de mesure 90, donc 𝑚𝐵=90 et 𝑚𝐶=90. On peut ajouter ces informations au schéma ainsi que 𝑚𝐴=76.

On observe que l’on a maintenant un quadrilatère 𝐴𝐵𝑂𝐶 et trois des mesures de ses angles. La somme des mesures des angles internes d’un quadrilatère est égale à 360 donc, 𝑚𝐴+𝑚𝐵+𝑚𝑂+𝑚𝐶=360.

En substituant les mesures des angles et en simplifiant, on a 76+90+𝑚𝑂+90=360256+𝑚𝑂=360𝑚𝑂=360256=104.

On peut maintenant utiliser l’information, 𝑚𝑂=104 pour déterminer la longueur de l’arc majeur 𝐵𝐶.

La longueur d’un arc d’un cercle de rayon 𝑟 avec un angle au centre 𝜃 mesuré en degrés est donnée par longueurdelarc=2𝜋𝑟𝜃360.

Si on utilise ici 𝜃=104, cela donnera la longueur de l’arc mineur 𝐵𝐶. Il y a deux options pour déterminer la longueur de l’arc majeur. Dans la première méthode, on trouve la mesure de l’angle rentrant 𝑂 en calculant 360104=256. Remplacer par 𝜃=256 et 𝑟=3 dans la formule donne longueurdelarcmajeurcm=2𝜋(3)(256)360=1536𝜋360=64𝜋15.

On peut garder cette valeur en fonction de 𝜋 ou on peut déterminer son équivalent décimal comme 13,404cm et arrondir au dixième pour obtenir que la longueur de l’arc majeur 𝐵𝐶 est 13,4cm.

Dans la deuxième méthode, comme on a calculé que 𝑚𝑂=104, on peut trouver la longueur de l’arc mineur 𝐵𝐶 en substituant 𝜃=104 et le rayon 𝑟=3 pour obtenir la longueur de l’arc mineur longueurdelarcmineurcm=2𝜋(3)(104)360=26𝜋15.

Si on a la longueur de l’un des deux arcs et que l’on souhaite trouver l’autre, on peut rappeler que la somme des longueurs des deux arcs est égale à la circonférence du cercle. Pour un cercle de rayon 𝑟, sa circonférence 𝐶 est donnée par 𝐶=2𝜋𝑟.

Pour trouver la circonférence, on substitue le rayon 𝑟=3 dans la formule, ce qui donne 𝐶=2𝜋×3=6𝜋.cm

Pour déterminer maintenant la longueur de l’arc majeur 𝐵𝐶, on peut calculer longueurdelarcmajeurcirconférencelongueurdelarcmineurcm==6𝜋26𝜋15=64𝜋15.

Les deux méthodes ont montré que la longueur de l’arc majeur 𝐵𝐶 est 13,4 cm arrondie au dixième près.

Nous résumons maintenant les points clés.

Points clés

  • Un arc d’un cercle est une section de la circonférence du cercle entre deux rayons.
  • Le plus grand des deux arcs est l’arc majeur et le plus petit est l’arc mineur. Si la mesure de l’angle au centre entre les deux rayons est inférieure à 180 ou 𝜋radians, alors il s’agit d’un arc mineur. Si elle est supérieure à ces valeurs, alors il s’agit d’un arc majeur. Si la mesure de l’angle est exactement égale à 180 ou 𝜋radians, alors il y a deux arcs semi-circulaires.
  • La longueur d’un arc intercepté par un angle 𝜃 mesuré en degrés dans un cercle de rayon 𝑟 est donnée par longueurdelarc=2𝜋𝑟𝜃360.
  • La longueur d’un arc intercepté par un angle 𝜃 mesuré en radians dans un cercle de rayon 𝑟 est donnée par longueurdelarc=𝑟𝜃.
  • Le périmètre d’un secteur est égal à la somme des longueurs de deux rayons et de l’arc qui forme le secteur.

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