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Vidéo de la leçon : Longueurs d’arc Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer la longueur d’un arc et le périmètre d’un secteur circulaire, et à résoudre des problèmes comprenant des situations réelles.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer la longueur d’un arc et le périmètre d’un secteur circulaire, et à résoudre des problèmes comprenant des situations réelles. Mais commençons par rappeler la définition d’un arc de cercle.

Un arc de cercle est défini comme une section du cercle entre deux rayons. Sur ce schéma, un rayon coupe le cercle en un point 𝐴 et un autre rayon coupe le cercle en un point 𝐵. En observant le cercle, on peut cependant remarquer qu’il y a en fait deux arcs. Cet arc, le plus petit, qui est la distance la plus courte entre 𝐴 et 𝐵, et cet arc qui est plus grand. Ces deux arcs correspondent pourtant à la même définition : ils représentent deux sections du cercle entre deux rayons. On peut contourner ce problème en définissant l’arc le plus petit comme l’arc mineur et l’arc le plus grand comme l’arc majeur. Dans le cas où les deux rayons forment un diamètre, c’est-à-dire quand l’angle au centre est de 180 degrés ou 𝜋 radians, alors ont dit que ce sont deux arcs semi-circulaires.

Essayons maintenant de réfléchir à la façon dont on peut calculer la longueur d’un de ces arcs. Prenons cet exemple pour cela. Deux rayons créent une section du cercle et il est indiqué que l’angle au centre est de 90 degrés. Ce qu’on veut faire, c’est calculer la longueur de cet arc mineur. On rappelle alors que la circonférence, c’est-à-dire la distance autour du cercle, est égale à deux fois 𝜋 fois le rayon. Mais on ne souhaite pas exactement calculer la distance totale autour de ce cercle. Seule cette section nous intéresse. Et on voit qu’elle représente un quart de la totalité du cercle. On multiplie donc un quart par deux fois 𝜋 fois le rayon.

Cette méthode fonctionne en fait pour n’importe quel angle au centre : si au lieu d’avoir un angle de 90 degrés, on avait un angle de 𝜃 degrés, alors la circonférence serait multipliée par cette proportion de 𝜃 sur 360. On peut définir cela de manière plus formelle en disant que la longueur d’un arc inscrit par un angle au centre 𝜃 mesuré en degrés dans un cercle de rayon 𝑟 est égale à deux 𝜋𝑟𝜃 sur 360.

Vous avez peut-être remarqué qu’on a précisé que l’angle 𝜃 est mesuré en degrés car il existe bien sûr d’autres unités de mesure d’angle. Une de ces unités est le radian. Et on peut également calculer la longueur de l’arc lorsque l’angle est exprimé en radians. Si l’angle au centre est de 𝜃 radians, alors, en rappelant que deux 𝜋 radians est équivalent à 360 degrés, on doit multiplier la circonférence deux 𝜋𝑟 par la proportion 𝜃 sur deux 𝜋. On peut simplifier ce calcul en annulant un facteur de deux 𝜋 au numérateur et au dénominateur, ce qui donne simplement 𝑟𝜃.

On a ainsi déterminé une autre définition similaire. Cette fois, la longueur d’un arc dont l’angle au centre est mesuré en radians est égale à 𝑟𝜃. On peut appliquer l’une ou l’autre de ces formules, selon que la mesure de l’angle est exprimée en degrés ou en radians. Dans le premier exemple, on va voir comment calculer une longueur d’arc lorsque l’angle est exprimé en radians.

Déterminez la longueur de l’arc bleu sachant que le rayon du cercle est de huit centimètres et que la mesure de l’angle représenté est en radians. Donnez votre réponse au dixième près.

Pour cette question, on doit calculer la longueur de cet arc bleu, qui est le plus grand des deux arcs, on l’appelle également l’arc majeur. Il est indiqué que la mesure de l’angle est en radians. On rappelle que la longueur d’un arc inscrit par un angle 𝜃 mesuré en radians dans un cercle de rayon 𝑟 est égale à 𝑟𝜃. On peut alors simplement remplacer les valeurs qui nous sont données. Le rayon est de huit centimètres et la mesure de l’angle est de quatre 𝜋 sur trois. On les multiplie. Et on obtient 32𝜋 sur trois. Comme il s’agit d’une longueur, les unités sont les centimètres.

On pourrait laisser notre réponse sous cette forme. Mais la question nous demande de la donner à une décimale près. On doit donc utiliser une calculatrice. On obtient la valeur 33,510 centimètres, que l’on peut arrondir au dixième par 33,5 centimètres. On conclut donc que la longueur de l’arc bleu est de 33,5 centimètres.

Dans le prochain exemple, on va voir comment calculer la longueur d’un arc pour un cas concret.

Un pendule de 26 centimètres de long oscille de 58 degrés. Calculez la longueur de la trajectoire circulaire que parcourt le pendule en donnant votre réponse en fonction de 𝜋 en centimètres.

La question décrit un pendule de 26 centimètres de long. Cela signifie que la longueur de la corde du point ici en haut à la balle en bas est de 26 centimètres. Il est de plus indiqué que ce pendule oscille de 58 degrés. Et que sa trajectoire est circulaire. On peut tracer un schéma plus petit du pendule, ce qui nous permet de voir que si ce pendule devait pivoter complètement autour de son axe, il formerait en fait un cercle. La longueur de la corde, qui est de 26 centimètres, serait le rayon de ce cercle.

La longueur à calculer est indiquée en vert et représente un arc de cercle. Comme l’angle au centre est exprimé en degrés, on va utiliser cette formule : la longueur d’un arc de cercle de rayon 𝑟 et d’angle au centre 𝜃 degrés est égale à deux 𝜋𝑟𝜃 sur 360. On rappelle que cette formule est le résultat de la multiplication de la circonférence du cercle, qui est de deux 𝜋𝑟, et de cette proportion 𝜃 sur 360 degrés.

Tout ce qu’il reste maintenant à faire est de remplacer le rayon par 26 centimètres et 𝜃, l’angle au centre, par 58 degrés. On peut annuler le facteur commun deux avant de simplifier et on obtient que la longueur de l’arc est de 377 sur 45𝜋 centimètres. Certaines questions peuvent demander d’arrondir la longueur à une certaine décimale près. Mais on nous demande ici la longueur en fonction de 𝜋. On laisse donc la réponse telle quelle. La trajectoire circulaire a par conséquent une longueur de 377 sur 45 𝜋 centimètres.

On va voir maintenant comment utiliser la longueur d’un arc pour calculer le périmètre d’un secteur circulaire. On a vu jusqu’à présent qu’il existe deux formules pour calculer la longueur de l’arc d’un secteur. Et ces deux formules dépendent de l’unité dans laquelle l’angle est exprimé : degrés ou radians. Certains problèmes nécessitent alors de calculer le périmètre d’un secteur. On rappelle qu’il s’agit simplement de la longueur du contour du secteur Comme les deux longueurs supplémentaires sont des rayons du cercle, il suffit d’ajouter deux 𝑟 à la longueur de l’arc pour calculer le périmètre, que l’angle soit exprimé en degrés ou en radians. Voyons un exemple d’application de cela.

Le rayon d’un cercle est de sept centimètres et l’angle au centre d’un secteur est de 40 degrés. Calculez le périmètre du secteur au centimètre près.

Commençons par tracer ce secteur circulaire. Afin de calculer son périmètre, c’est-à-dire la longueur de son contour, on doit additionner les longueurs de ces deux segments, qui sont toutes les deux égales au rayon du cercle, et cette longueur de l’arc de cercle. Pour calculer la longueur d’un arc de cercle lorsque l’angle au centre 𝜃 est exprimé en degrés, on utilise la formule deux 𝜋𝑟𝜃 sur 360, où 𝑟 est le rayon. On peut alors substituer les valeurs connues dans cette formule. Le rayon est de sept centimètres et l’angle au centre de 40, donc la réponse simplifiée est 14𝜋 sur neuf. Comme il s’agit d’une longueur, son unité sera le centimètre.

Rappelez-vous qu’on n’a pour le moment déterminé que la longueur de l’arc et qu’on doit en fait calculer le périmètre. Pour cela, on prend la longueur de l’arc, que l’on a conservée en fonction de 𝜋 par précision. Puis on additionne deux fois la longueur du rayon, soit deux fois sept. On pourrait alors conserver la réponse 14𝜋 sur neuf plus 14 en fonction de 𝜋, mais la question demande une réponse au centimètre près ; on calcule alors la valeur du périmètre qui est de 18,886 centimètres. En arrondissant cette valeur au centimètre près, on obtient que le périmètre de ce secteur est de 19 centimètres.

On va maintenant traiter un exemple où on connaît le périmètre d’un secteur et on doit calculer son rayon.

Le périmètre d’un secteur circulaire est de 67 centimètres et son angle au centre est de 0,31 radians. Calculez le rayon du secteur en donnant votre réponse au centimètre près.

On commence par tracer ce secteur circulaire avec son angle au centre de 0,31 radians. On sait que le périmètre de ce secteur est de 67 centimètres. Et on rappelle que le périmètre est la longueur du contour du secteur. Le périmètre est alors égal à ces deux longueurs de segment, qui sont égales au rayon du cercle et que l’on peut définir par 𝑟, plus ce bord extérieur, qui correspond à la longueur de l’arc. On peut définir cette longueur d’arc par la lettre 𝑙. Le périmètre est donc égal à deux fois le rayon, soit deux 𝑟, plus 𝑙. Sachant que le périmètre est de 67 centimètres, on peut écrire l’équation 67 égale deux 𝑟 plus 𝑙.

On ne peut pas faire grand-chose de plus avec cette équation pour le moment car on ne connaît pas la valeur de 𝑟, le rayon. Il s’agit en fait de la longueur qu’on cherche à calculer. Voyons donc si on peut faire quelque chose avec 𝑙, qui est la longueur de l’arc. On rappelle que pour calculer la longueur d’un arc inscrit par un angle 𝜃 en radians dans un cercle de rayon 𝑟, on utilise la formule longueur de l’arc égale 𝑟𝜃. Ici, la longueur de l’arc 𝑙 est égale à 𝑟𝜃 et on sait que 𝜃 mesure 0,31 radians. On peut alors substituer 𝑙 qui est égal à 0,31𝑟 dans l’équation ci-dessus. On obtient 67 égale deux 𝑟 plus 0,31𝑟, ce qui se simplifie par 67 égale 2,31𝑟. Pour trouver la valeur de 𝑟, on divise ensuite les deux membres par 2,31.

On pourrait laisser notre réponse sous forme de fraction, mais comme la question demande une réponse au centimètre près, on va arrondir cette valeur. Donc 𝑟 est égal à 29,004 et comme il s’agit d’une longueur et que l’unité est ici le centimètre, le rayon 𝑟 est également en centimètres. En arrondissant au centimètre près, on conclut que le rayon de ce secteur est de 29 centimètres.

On va maintenant étudier un dernier exemple où on doit utiliser des informations sur des tangentes sécantes pour calculer la longueur d’un arc.

Sachant que la mesure de l’angle en 𝐴 est égale à 76 degrés et que le rayon du cercle est de trois centimètres, déterminez la longueur de l’arc majeur 𝐵𝐶.

Commençons par indiquer les informations qui nous sont fournies. La mesure de l’angle en 𝐴 est de 76 degrés et le rayon du cercle est de trois centimètres. On rappelle qu’un arc de cercle est une section de la circonférence entre deux rayons. Et il y a en fait ici deux arcs que l’on peut appeler l’arc 𝐵𝐶. C’est pourquoi, l’arc le plus grand est appelé l’arc majeur et l’arc le plus petit est appelé l’arc mineur. Dans cette question, on doit calculer la longueur de l’arc majeur. Afin de calculer la longueur de l’arc mineur ou de l’arc majeur 𝐵𝐶, on doit établir la mesure de l’angle au centre interceptant cet arc.

Voyons si on peut calculer cet angle 𝜃 en utilisant les informations sur les tangentes. On rappelle qu’une tangente au cercle en un point P forme un angle de 90 degrés avec le rayon du cercle d’extrémité P. Cela signifie que nous avons un angle de 90 degrés en 𝐶 et un angle de 90 degrés en 𝐵. Et en nommant le centre du cercle 𝑂, on remarque qu’on a en fait un quadrilatère 𝐴𝐵𝑂𝐶. On rappelle alors que la somme des angles d’un quadrilatère est égale 360 degrés. Cela signifie que l’on peut écrire que la somme des mesures des quatre angles du quadrilatère 𝐴, 𝐵, 𝑂 et 𝐶 doit être égale à 360 degrés.

On peut alors remplacer les mesures des angles connus : 𝐴 égale 76 degrés, 𝐵 égale 90 degrés et 𝐶 égale 90 degrés. En simplifiant, on obtient 256 degrés plus la mesure de l’angle en 𝑂 égale 360 degrés. Et en soustrayant 256 degrés des deux membres, on trouve que la mesure de l’angle en 𝑂 est de 104 degrés. Maintenant qu’on a déterminé que la mesure de cet angle 𝜃, l’angle en 𝑂, est de 104 degrés, on peut calculer une longueur d’arc. Notez cependant que si on utilise l’angle de 104 degrés, la longueur de l’arc qu’on calcule sera la longueur de l’arc mineur. Il existe donc deux méthodes pour calculer la longueur de l’arc majeur.

La première façon d’aborder ce problème est de calculer la mesure de cet angle rentrant en O et de l’utiliser directement pour calculer la longueur de l’arc majeur. Donc, comme la somme des angles autour d’un point est égale à 360 degrés, en soustrayant 104 degrés à 360, on obtient 256 degrés. Cela signifie que l’angle au centre de l’arc majeur est de 256 degrés. Pour calculer la longueur d’un arc d’angle au centre 𝜃 mesuré en degrés dans un cercle de rayon 𝑟, on utilise la formule longueur de l’arc égale deux 𝜋𝑟𝜃 sur 360. On substitue ensuite simplement les valeurs connues. Le rayon 𝑟 est égal à trois centimètres. Et on sait que cet angle au centre 𝜃 est de 256 degrés.

En simplifiant, on obtient une longueur d’arc de 64𝜋 sur 15 centimètres. On peut garder cette réponse en fonction de 𝜋 ou on peut calculer son équivalent décimal, qui est de 13,404 centimètres, et arrondir au dixième pour obtenir que la longueur de 𝐵𝐶 est de 13,4 centimètres. Notons cette réponse et penchons-nous sur l’autre méthode de calcul de l’arc majeur. Revenons à l’étape où on a calculé que cet angle obtus en 𝑂 était de 104 degrés. Au lieu de calculer immédiatement la longueur de l’arc majeur, calculons d’abord la longueur du petit arc, l’arc mineur. La valeur du rayon qu’on utilise reste la même, trois centimètres, mais l’angle au centre est cette fois de 104 degrés. En calculant et simplifiant, on obtient une réponse de 26𝜋 sur 15 centimètres.

Mais comment peut-on maintenant passer de la longueur de l’arc mineur à la longueur de l’arc majeur ? Eh bien, en additionnant les longueurs de l’arc majeur et de l’arc mineur, on obtient la circonférence du cercle. C’est-à-dire la distance autour du cercle. La circonférence est égale à deux fois 𝜋 fois le rayon. Dans ce cas, comme le rayon est de trois centimètres, on a deux fois 𝜋 fois trois, ce qui se simplifie par six 𝜋 centimètres.

Pour calculer la longueur de l’arc majeur 𝐵𝐶, on calcule donc la circonférence moins la longueur de l’arc mineur 𝐵𝐶. En substituant les valeurs six 𝜋 et 26𝜋 sur 15 et en simplifiant, on obtient 64𝜋 sur 15 centimètres. Cela nous donne la même valeur décimale arrondie que précédemment, c’est-à-dire 13,4 centimètres. Par conséquent, on a confirmé que la longueur de l’arc majeur 𝐵𝐶 est de 13,4 centimètres au dixième près.

On va maintenant résumer les points clés de cette vidéo. On a commencé par définir qu’un arc de cercle est une section de la circonférence d’un cercle entre deux rayons. On a vu que le plus grand des deux arcs est l’arc majeur et que le plus petit est l’arc mineur. On peut utiliser la mesure des angles au centre pour déterminer si l’arc est majeur ou mineur. On a ensuite démontré deux formules de la longueur d’un arc, selon que l’angle au centre 𝜃 est mesuré en degrés ou en radians. Enfin, on a vu que le périmètre d’un secteur est la somme de la longueur de deux rayons et de la longueur de l’arc qui fait le secteur.

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