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Sachant que le module de 𝑍 est égal à cinq et que l’argument de 𝑍 est 𝜃 égale deux 𝜋 plus deux 𝑛𝜋, où 𝑛 est un entier, exprimez 𝑍 sous forme trigonométrique.
Lorsqu’on écrit un nombre complexe sous forme trigonométrique ou polaire, on l’écrit 𝑍 égale 𝑟 multiplié par cosinus 𝜃 plus 𝑖 sinus 𝜃, où 𝑟 désigne le module du nombre complexe 𝑍 et 𝜃 son argument. Sous forme polaire, 𝜃 peut s’exprimer en degrés ou en radians, tandis que sous forme exponentielle, il doit être en radians.
Utilisons dans cette formule ce que nous savons sur le nombre complexe 𝑍. Le module de 𝑍 est cinq et son argument est deux 𝜋 plus deux 𝑛𝜋. On obtient donc 𝑍 égale cinq multiplié par cosinus de deux 𝜋 plus deux 𝑛𝜋 plus 𝑖 sinus de deux 𝜋 plus deux 𝑛𝜋.
Ensuite, rappelons ce que nous savons des fonctions cosinus et sinus. Elles sont périodiques. C’est-à-dire qu’elles se répètent. Leur période est deux 𝜋 radians. Cela signifie que pour toute valeur de 𝜃, sinus de 𝜃 plus un multiple de deux 𝜋 est égal à sinus 𝜃. De même, cosinus de 𝜃 plus un multiple de deux 𝜋 est égal à cosinus de 𝜃.
Cela signifie que cosinus de deux 𝜋 plus deux 𝑛𝜋 est simplement égal à cosinus de deux 𝜋. De même, sinus de deux 𝜋 plus deux 𝑛𝜋 est égal à sinus de deux 𝜋. Sous forme trigonométrique, notre nombre complexe s’écrit donc cinq multiplié par cosinus de deux 𝜋 plus 𝑖 sinus de deux 𝜋.
