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Fiche explicative de la leçon : Forme polaire des nombres complexes Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à représenter un nombre complexe sous forme polaire, à calculer le module et l’argument, et à utiliser ces notions pour changer la forme d’un nombre complexe.

On peut représenter un nombre complexe tel que 𝑧=4+4𝑖 (où 𝑖 est la racine carrée de -1) sur un plan complexe comme indiqué ci-dessous.

On peut se référer à des points du plan sous forme cartésienne ou polaire. De manière similaire, les nombres complexes peuvent être écrits sous forme algébrique ou polaire.

On rappelle que lors du changement des coordonnées d’un point (𝑥;𝑦) en forme polaire (𝑟;𝜃), on calcule 𝑟 en utilisant le théorème de Pythagore comme suit: 𝑟=𝑥+𝑦; et on calcule 𝜃 en utilisant la fonction tangente réciproque 𝜃=𝑦𝑥.arctan

En appliquant la même méthode au point 𝑧=4+4𝑖, on calcule 𝑟=4+4=32=42; et on calcule 𝜃=44=𝜋4.arctan

Les variables 𝑟 et 𝜃 ont des noms spécifiques pour les nombres complexes: 𝑟 est le module du nombre complexe (que l’on écrit comme |𝑧|=𝑟 ) et 𝜃 est son argument (que l’on écrit comme arg𝑧=𝜃 ). En utilisant 𝑟 et 𝜃, on peut exprimer 𝑧 par 𝑧=42𝜋4+𝑖𝜋4.cossin

Un nombre complexe exprimé sous cette forme est dit sous forme polaire.

Définition : Forme polaire d’un nombre complexe

Un nombre complexe 𝑧 écrit sous la forme 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃);cossin dont le module est |𝑧|=𝑟 et l’argument est arg𝑧=𝜃 est dit sous forme polaire. Cette forme est aussi appelée forme trigonométrique ou forme module-argument.

Exemple 1: Reconnaître la forme polaire d’un nombre complexe

Lequel des nombres complexes suivants est correctement exprimé sous forme polaire?

  1. 2𝜋2+𝑖𝜋2sincos
  2. 55𝜋6+𝑖5𝜋6cossin
  3. 𝑒11𝜋2𝑖11𝜋2cossin
  4. 3𝜋435+𝑖35cossin
  5. 235𝜋7+𝑖35𝜋6cossin

Réponse

Un nombre complexe 𝑧 est dit sous forme polaire si 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃);cossin𝑟 est le module de 𝑧 et 𝜃 est son argument. On va examiner chacune des réponses pour vérifier si elle est correctement exprimée sous cette forme.

  1. À première vue, ce nombre semble sous forme polaire. Cependant, un examen plus approfondi révèle qu’il n’est pas réellement sous forme polaire. En fait, il s’agit d’une erreur commune commise par les étudiants lors de l’écriture des nombres complexes sous forme polaire: échanger le sinus et le cosinus. Pour écrire correctement ce nombre sous forme polaire, on peut utiliser les fonctions trigonométriques de deux angles complémentaires: cossinsincos𝜃=𝜋2𝜃;𝜃=𝜋2𝜃. Par conséquent, en définissant 𝜃=0, on peut exprimer correctement ce nombre sous forme polaire par 2((0)+𝑖(0)).sincos
  2. Ce nombre est sous la forme 𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin, 𝑟=5 et 𝜃=5𝜋6. Comme 𝑟0, ce nombre est écrit correctement sous forme polaire.
  3. Encore une fois, ce nombre est étrangement proche de la forme correcte. Cependant, le signe négatif devant 𝑖𝜃sin signifie que le nombre n’est pas sous la forme correcte. Pour corriger cela, on peut utiliser les identités de parité, sinsincoscos(𝜃)=(𝜃);(𝜃)=(𝜃); pour reformuler le nombre comme 𝑒11𝜋2𝑖11𝜋2=𝑒11𝜋2+𝑖11𝜋2=𝑒11𝜋2+𝑖11𝜋2;cossincossincossin qui est maintenant correctement exprimé sous forme polaire.
  4. Il serait facile de supposer par erreur que ce nombre n’est pas sous forme polaire car il semble que 𝑟 et 𝜃 sont inversés. Cependant, 𝑟 peut être n’importe quel nombre réel positif; par conséquent, 3𝜋4 est une valeur parfaitement légitime pour 𝑟. De même, 𝜃 peut prendre n’importe quelle valeur réelle, ce qui signifie que 35 est une valeur légitime pour l’argument.
    Par conséquent, ce nombre est correctement écrit sous forme polaire.
  5. Il peut être facile de ne pas voir que ce nombre n’est pas sous forme polaire. Cependant, un examen attentif révèle que les fonctions sinus et cosinus ont des arguments différents. Pour le réécrire sous la forme correcte, on devrait calculer son module et son argument.

Par conséquent, les deux seuls nombres correctement exprimés sous forme polaire sont 55𝜋6+𝑖5𝜋6cossin et 3𝜋435+𝑖35cossin.

Maîtriser la conversion entre la forme algébrique (𝑥+𝑖𝑦) et la forme polaire des nombres complexes se révélera extrêmement utile. Nous allons maintenant examiner un exemple de conversion d’un nombre complexe sous forme algébrique en forme polaire.

Exemple 2: Convertir un nombre complexe sous forme algébrique en forme polaire

  1. Déterminez le module du nombre complexe 1+𝑖.
  2. Déterminez l’argument du nombre complexe 1+𝑖.
  3. Par conséquent, exprimez le nombre complexe 1+𝑖 sous forme polaire.

Réponse

Partie 1

On rappelle que le module d’un nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑖𝑏 est donné par |𝑧|=𝑎+𝑏.

Par conséquent, le module de 1+𝑖 est 1+1=2.

Partie 2

Lors du calcul de l’argument d’un nombre complexe, on doit faire attention à vérifier dans quel quadrant du plan complexe le nombre complexe se situe.

Comme il est dans le premier quadrant, on peut simplement utiliser la fonction tangente réciproque pour trouver l’argument. Par conséquent, argarctanarctan(1+𝑖)=11=(1)=𝜋4.

Partie 3

Enfin, en utilisant la définition de la forme polaire, on peut écrire 1+𝑖=2𝜋4+𝑖𝜋4.cossin

Comment convertir un nombre complexe sous forme algébrique en forme polaire

Pour convertir un nombre complexe sous forme algébrique 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 en forme polaire, on procède comme suit.

  1. Déterminer le module |𝑧| du nombre complexe en utilisant la formule |𝑧|=𝑎+𝑏.
  2. Déterminer l’argument arg𝑧 du nombre complexe. Il existe plusieurs techniques pour trouver l’argument d’un nombre complexe; l’une de ces techniques est présentée ici. Si 𝑧 est dans le premier ou le quatrième quadrant du plan complexe (𝑎>0), on peut simplement utiliser la fonction tangente réciproque et calculer argarctan𝑧=𝑏𝑎. Cependant, si le nombre complexe est dans le deuxième quadrant ( 𝑎<0 et 𝑏>0), on doit ajouter 𝜋 à la valeur que l’on obtient en utilisant la fonction tangente réciproque. Par conséquent, argarctan𝑧=𝑏𝑎+𝜋. Mais si le nombre complexe est dans le troisième quadrant ( 𝑎<0 et 𝑏<0), on doit soustraire 𝜋 à la valeur que l’on obtient en utilisant la fonction tangente réciproque.Par conséquent, argarctan𝑧=𝑏𝑎𝜋. Enfin, si le nombre complexe est purement imaginaire (𝑎=0), alors arg𝑧=𝜋2 si 𝑏>0, et arg𝑧=𝜋2 si 𝑏<0. Note que lorsque 𝑎=𝑏=0, l’argument est indéfini.
  3. Exprimez le nombre sous forme polaire 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃);cossin

𝑟=|𝑧| et 𝜃=𝑧arg.

Nous allons maintenant étudier un exemple où nous ne pouvons pas utiliser la fonction tangente réciproque pour trouver l’argument.

Exemple 3: Convertir un nombre complexe sous forme algébrique en forme trigonométrique

Exprime le nombre complexe 𝑍=4𝑖 sous forme trigonométrique.

Réponse

On rappelle que la forme trigonométrique et la forme polaire sont deux noms différents pour le même concept. On commence par déterminer le module du nombre complexe 𝑍. Appliquer la formule du module en notant qu’il n’y a pas de partie réelle donne |𝑍|=0+4=4.

On souhaite maintenant trouver l’argument. On remarque que 𝑍 est un nombre purement imaginaire, sans partie réelle.

Dans ce cas, on ne peut pas appliquer la fonction tangente réciproque pour calculer le module car on ne peut pas diviser par zéro. Cependant, sachant que tous les nombres complexes qui se situent sur l’axe imaginaire positif ont un argument de 𝜋2, on peut en conclure que arg𝑍=𝜋2.

On peut enfin exprimer le nombre sous sa forme trigonométrique (ou polaire) comme suit: 𝑍=4𝜋2+𝑖𝜋2.cossin

Nous allons maintenant considérer un exemple qui met en évidence la relation entre les formes polaire et algébrique d’un nombre complexe.

Exemple 4: Relation entre les formes polaire et algébrique d’un nombre complexe

On considère le plan complexe ci-dessous.

  1. Laquelle des expressions suivantes décrit correctement la relation entre 𝑎, 𝑟 et 𝜃?
    1. 𝑎=𝑟𝜃sin
    2. 𝑎=𝜃𝑟cos
    3. 𝑎=𝑟𝜃tan
    4. 𝑎=𝑟𝜃cos
    5. 𝑎=𝜃𝑟sin
  2. Laquelle des expressions suivantes décrit correctement la relation entre 𝑏, 𝑟 et 𝜃?
    1. 𝑏=𝜃𝑟sin
    2. 𝑏=𝑟𝜃cos
    3. 𝑏=𝑟𝜃sin
    4. 𝑏=𝑟𝜃tan
    5. 𝑏=𝜃𝑟cos
  3. Par conséquent, exprime 𝑧 en fonction de 𝑟 et 𝜃.

Réponse

Partie 1

Le triangle de côtés 𝑟, 𝑎 et 𝑏 est un triangle rectangle d’hypoténuse 𝑟. Ainsi, pour écrire une relation entre 𝑎, 𝑟 et 𝜃, on peut appliquer la trigonométrie de base. Le côté de longueur 𝑎 est adjacent à l’angle 𝜃. Par conséquent, on peut utiliser le cosinus comme suit: cosadjacenthypotenuse𝜃==𝑎𝑟.

En réarrangeant, on peut écrire 𝑎=𝑟𝜃.cos

Par conséquent, la relation correcte entre 𝑎, 𝑟 et 𝜃 est ( 𝑑).

Partie 2

De même, le côté de longueur 𝑏 est opposé à l’angle 𝜃. Ainsi, en utilisant la fonction sinus, on peut écrire sinoppositehypotenuse𝜃==𝑏𝑟.

En réarrangeant, on peut écrire 𝑏=𝑟𝜃.sin

Par conséquent, la relation correcte entre 𝑏, 𝑟 et 𝜃 est ( 𝑐).

Partie 3

Comme 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, on peut substituer les valeurs de 𝑎 et 𝑏 dans cette équation pour obtenir 𝑧=𝑟𝜃+𝑟𝑖𝜃.cossin

Si on factorise par 𝑟 dans la dernière partie de l’exemple précédent, on remarque que l’on a une expression de 𝑧 sous forme polaire, alors que sous sa forme actuelle, on a

qui est 𝑧 exprimé sous forme algébrique: 𝑎+𝑏𝑖.

Nous allons maintenant examiner un autre exemple de conversion de forme polaire en forme algébrique.

Exemple 5: Convertir des nombres complexes sous forme polaire en forme cartésienne

  1. Calcule cos𝜋6.
  2. Calcule sin𝜋6.
  3. Par conséquent, exprime le nombre complexe 10𝜋6+𝑖𝜋6cossin sous forme cartésienne.

Réponse

Partie 1

On rappelle que 𝜋6 est un angle « spécial ». Par conséquent, on doit avoir mémorisé ses valeurs de sinus, cosinus et tangente pour simplement se rappeler que cos𝜋6=32.

Partie 2

De même, sin𝜋6=12.

Partie 3

Rappelons que la forme cartésienne est un autre nom de la forme algébrique. Ainsi, en utilisant les deux valeurs que l’on vient de trouver, on peut exprimer le nombre complexe comme suit: 10𝜋6+𝑖𝜋6=1032+12𝑖.cossin

En développant les parenthèses, on a 10𝜋6+𝑖𝜋6=53+5𝑖.cossin

Comme nous l’avons vu dans l’exemple précédent, pour convertir une forme polaire en forme algébrique, il suffit simplement d’évaluer le sinus et le cosinus puis de développer les parenthèses.

Exemple 6: Argument d’un nombre complexe

Sachant que 𝑍=𝜃𝑖𝜃sincos, 𝜃0,𝜋2, trouvez la mesure principale de l’argument de 𝑍.

Réponse

Comme 𝑍 est donné sous une forme semblable à la forme polaire, le moyen le plus simple de résoudre ce problème consiste à utiliser des identités trigonométriques pour réécrire 𝑍 sous forme polaire. Une fois que l’on a 𝑍 sous forme polaire, on peut simplement lire son argument. On remarque d’abord que le sinus et le cosinus sont inversés pour la forme polaire. Pour résoudre ce problème, on peut utiliser les identités de symétrie qui relient le sinus et le cosinus comme suit: cossin=𝜋2𝜃;sincos=𝜋2𝜃.

En les utilisant, on peut reformuler 𝑍 comme suit: 𝑍=𝜃𝑖𝜃=𝜋2𝜃𝑖𝜋2𝜃.sincoscossin

La forme n’est pas encore complètement polaire: il y a un signe négatif devant le sinus, alors qu’il devrait être positif pour la forme polaire. Pour corriger cela, on peut utiliser les identités de parité sinsincoscos(𝜃)=(𝜃);(𝜃)=(𝜃); pour réécrire 𝑍 comme 𝑍=𝜋2𝜃+𝑖𝜋2𝜃=𝜋2𝜃+𝑖𝜋2𝜃.cossincossin

En simplifiant, on a 𝑍=𝜃𝜋2+𝑖𝜃𝜋2.cossin

Maintenant que 𝑍 est exprimé sous forme polaire, on peut simplement lire son argument comme 𝜃𝜋2. On doit enfin vérifier s’il s’agit de la mesure principale de l’argument. On rappelle que la mesure principale de l’argument doit être donnée dans l’intervalle ]𝜋,𝜋]. On sait que 𝜃0,𝜋2. Par conséquent, 0𝜃<𝜋2.

En soustrayant 𝜋2, on obtient 𝜋2𝜃𝜋2<0.

Par conséquent, arg(𝑍)=𝜃𝜋2 est dans l’intervalle 𝜋2,0 qui est inclus dans ]𝜋,𝜋] et est donc la mesure principale de l’argument de 𝑍.

Points clés

  • Similairement à la manière dont les points dans le plan peuvent être écrits en coordonnées cartésiennes et polaires, on peut écrire les nombres complexes sous des formes algébriques et polaires.
  • La forme polaire d’un nombre complexe 𝑧 est 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃);cossin𝑟0 est le module et 𝜃 est l’argument.
  • Pour convertir un nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 en forme polaire, on calcule simplement son module 𝑟 et son argument 𝜃=(𝑧)arg.
  • Pour convertir un nombre complexe sous forme polaire 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin en forme algébrique, on peut développer les parenthèses et évaluer le sinus et le cosinus.

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