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Fiche explicative de la leçon : Forme polaire des nombres complexes Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à représenter un nombre complexe sous forme polaire, à calculer le module et l’argument, et à utiliser ces notions pour changer la forme d’un nombre complexe.

Rappelons que le module d’un nombre complexe est la distance, dans un plan complexe, entre l’origine et le nombre complexe, et que l’argument d’un nombre complexe est l’angle, mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, compris entre l’axe des réels positifs d’un plan complexe et le segment reliant l’origine et le nombre complexe. Nous rappelons également que l’argument principal d’un nombre complexe est l’argument qui se situe dans l’intervalle ]𝜋,𝜋] enradians ou ]180,180].

Si on connaît la partie réelle 𝑎 et la partie imaginaire 𝑏 d’un nombre complexe, on peut représenter le nombre complexe sous forme cartésienne, 𝑎+𝑏𝑖, qui peut ensuite être tracé dans un plan complexe avec des coordonnées (𝑎;𝑏). Dans cette fiche explicative, nous allons introduire la forme polaire d’un nombre complexe, qui est utilisée pour représenter un nombre complexe en utilisant son module et son argument.

Par exemple, considérons le nombre complexe 𝑧=4+4𝑖, qui est représenté par un point avec des coordonnées (4;4) sur un plan complexe comme indiqué ci-dessous.

On rappelle que le module d’un nombre complexe 𝑎+𝑏𝑖 est donné par 𝑎+𝑏, ce qui conduit à |𝑧|=(4)+4=32=42.

Dans le plan complexe ci-dessus, le module de 𝑧 est la longueur du segment bleu reliant l’origine et le nombre complexe 𝑧. L’argument d’un nombre complexe 𝑎+𝑏𝑖 qui se situe dans le deuxième quadrant est donné par arctan𝑏𝑎+𝜋;par conséquent, nous avons argarctanarctanradians𝑧=44+𝜋=(1)+𝜋=𝜋4+𝜋=3𝜋4.

Dans le plan complexe ci-dessus, l’argument de 𝑧 est l’angle mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre entre l’axe des réels positifs et le segment bleu. Ajoutons ces valeurs au plan.

Dans le plan complexe ci-dessus, nous avons indiqué l’emplacement du nombre complexe en utilisant uniquement son module et son argument. Nous pouvons voir que la connaissance du module et de l’argument d’un nombre complexe est suffisante pour identifier l’emplacement d’un nombre complexe dans un plan complexe. La forme polaire d’un nombre complexe fournit un moyen d’écrire l’expression du nombre complexe uniquement en utilisant son module et son argument.

Dans notre premier exemple, nous allons maintenant examiner comment écrire l’expression d’un nombre complexe en utilisant uniquement son module et son argument.

Exemple 1: Utiliser la trigonométrie pour écrire des nombres complexes sous forme polaire

Considérez le plan.

  1. Lequel des énoncés suivants décrit correctement la relation entre 𝑎, 𝑟 et 𝜃?
    1. 𝑎=𝑟𝜃sin
    2. 𝑎=𝜃𝑟cos
    3. 𝑎=𝑟𝜃tan
    4. 𝑎=𝑟𝜃cos
    5. 𝑎=𝜃𝑟sin
  2. Lequel des énoncés suivants décrit correctement la relation entre 𝑏, 𝑟 et 𝜃?
    1. 𝑏=𝜃𝑟sin
    2. 𝑏=𝑟𝜃cos
    3. 𝑏=𝑟𝜃sin
    4. 𝑏=𝑟𝜃tan
    5. 𝑏=𝜃𝑟cos
  3. Exprimez 𝑧 en fonction de 𝑟 et 𝜃.

Réponse

On nous donne un plan complexe du nombre complexe 𝑎+𝑏𝑖, où le module de 𝑧 est désigné par 𝑟 et l’argument de 𝑧 est désigné par 𝜃. Sur le plan, 𝑟 est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les deux autres côtés ont des longueurs 𝑎 et 𝑏 respectivement. Étant donné que le nombre complexe illustré se trouve dans le premier quadrant, 𝑎 et que 𝑏 sont positifs, alors ils donnent les longueurs des deux côtés de ce triangle. De même, 𝜃 est un angle dans ce triangle rectangle adjacent au côté de longueur 𝑎 et opposé au côté de longueur 𝑏. En gardant cela à l’esprit, nous pouvons appliquer la trigonométrie dans le triangle rectangle pour répondre à chaque partie.

Partie 1

Le côté de longueur 𝑎 est adjacent à l’angle 𝜃. Rappelons que la fonction cosinus donne le rapport trigonométrique entre le côté adjacent et l’hypoténuse d’un triangle rectangle:cosadjacenthypoténuse𝜃==𝑎𝑟.

En réarrangeant cette équation pour que 𝑎 soit isolé, on obtient 𝑎=𝑟𝜃.cos

Par conséquent, la relation correcte entre 𝑎, 𝑟 et 𝜃 est l’option D.

Partie 2

Tout comme la partie précédente, le côté de longueur 𝑏 est opposé à l’angle 𝜃. Rappelons que la fonction sinus donne le rapport trigonométrique entre le côté opposé et l’hypoténuse d’un triangle rectangle. Ainsi, on peut écrire sinopposéhypoténuse𝜃==𝑏𝑟.

En réarrangeant cette équation pour que 𝑏 soit isolé, on obtient 𝑏=𝑟𝜃.sin

Par conséquent, la relation correcte entre 𝑏, 𝑟 et 𝜃 est l’option C.

Partie 3

Puisque nous avons obtenu les expressions de 𝑎 et 𝑏 en fonction de 𝑟 et 𝜃, on peut substituer ces expressions dans 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 pour obtenir 𝑧=𝑟𝜃+𝑟𝑖𝜃.cossin

Dans l’exemple précédent, nous avons découvert qu’un nombre complexe 𝑧 dans le premier quadrant qui a le module 𝑟 et l’argument 𝜃 peut être écrit comme 𝑧=𝑟𝜃+𝑟𝑖𝜃.cossin

Si l’on factorise 𝑟 dans le membre droit de l’équation ci-dessus, on obtient la forme polaire du nombre complexe 𝑧.

Définition : Forme polaire d’un nombre complexe

Considérez un nombre complexe non nul 𝑧 qui a le module 𝑟 et l’argument 𝜃. La forme polaire du nombre complexe 𝑧 est 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃).cossin

Cette forme est aussi appelée forme trigonométrique ou forme module-argument.

Précédemment, nous avons noté que le nombre complexe 𝑧=4+4𝑖 a le module 𝑟=42 et l’argument 𝜃=3𝜋4. Ainsi, la forme polaire de ce nombre complexe s’écrit 𝑧=423𝜋4+𝑖3𝜋4.cossin

Considérons un autre exemple d’écriture de la forme polaire d’un nombre complexe étant donnés son module et son argument.

Exemple 2: Écriture d’un nombre complexe sous forme polaire en fonction de son module et de son argument principal

Sachant que |𝑍|=9 et l’argument de 𝑍 est 𝜃=𝜋6, déterminez 𝑍, en donnant votre réponse sous forme polaire.

Réponse

Rappelons que la forme polaire d’un nombre complexe qui a le module 𝑟 et l’argument 𝜃 est 𝑍=𝑟(𝜃+𝑖𝜃).cossin

Dans cet exemple, on nous indique que le module |𝑍| est égal à 9;par conséquent, 𝑟=9. On nous dit également que l’argument de ce nombre complexe est 𝜃=𝜋6. En substituant ces valeurs dans la formule ci-dessus, on obtient 𝑍=9𝜋6+𝑖𝜋6.cossin

Considérons un exemple où nous écrivons le nombre complexe donné dans un plan complexe sous la forme polaire.

Exemple 3: Déterminer la forme polaire des nombres complexes représentés sur le plan complexe

Déterminez la forme polaire du nombre complexe 𝑍 représentée par le plan complexe donné.

Réponse

Rappelons que la forme polaire d’un nombre complexe qui a le module 𝑟 et l’argument 𝜃 est 𝑍=𝑟(𝜃+𝑖𝜃).cossin

Le module d’un nombre complexe est la distance entre l’origine et le nombre complexe sur un plan complexe. Sur la figure ci-dessus, nous présentons le fait que le module est 4;par conséquent, 𝑟=4.

L’argument d’un nombre complexe est l’angle entre l’axe des réels positifs d’un plan complexe et le segment reliant l’origine et le nombre complexe, mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Par convention, l’argument est donné parradians dans l’intervalle ]𝜋,𝜋]. Sur la figure, on nous donne l’angle complémentaire endegrés à l’argument du nombre complexe 𝑍. En soustrayant l’angle donné de90, on obtient 9030=60.

La figure ci-dessous représente l’angle.

On peut convertir cet angle enradians en multipliant 𝜋180 par l’angle:60×𝜋180=𝜋3.radians

Ceci est l’angle dans le sens des aiguilles d’une montre 𝑥. Étant donné que l’argument est mesuré dans le sens antihoraire, nous pouvons l’écrire comme 𝜋3, qui se situe dans l’intervalle ]𝜋,𝜋] tel que souhaité. Par conséquent, 𝜃=𝜋3. En substituant ces valeurs à la forme polaire, nous avons 𝑍=4𝜋3+𝑖𝜋3.cossin

Dans l’exemple suivant, nous modifierons une forme donnée d’un nombre complexe en la forme polaire et identifierons le module et la mesure principale de l’argument d’un nombre complexe à partir de la forme polaire.

Exemple 4: Déterminer le module et l’argument principal des nombres complexes sous forme polaire

Déterminez le module et la mesure principale de l’argument du nombre 𝑍=375𝜋3𝑖5𝜋3sincos.

Réponse

Rappelons que la forme polaire d’un nombre complexe qui a le module 𝑟 et l’argument 𝜃 est 𝑍=𝑟(𝜃+𝑖𝜃).cossin

Rappelons aussi que la mesure principale de l’argument d’un nombre complexe est un argument dans l’intervalle ]𝜋,𝜋] enradians.

On note que la forme donnée du nombre complexe 𝑍 n’est pas la forme polaire. Elle diffère, notamment, de la forme polaire de la manière suivante:

  • Le nombre devant la parenthèse est négatif.
  • La partie réelle est donnée par la fonction sinus et la partie imaginaire par la fonction cosinus.
  • Il y a un signe moins entre les parties réelle et imaginaire.

Nous allons d’abord convertir la forme donnée en la forme polaire pour identifier le module et la mesure principale de l’argument. Pour corriger le négatif dans 37, nous distribuerons 1 aux termes entre parenthèses:𝑍=37(1)5𝜋3(1)𝑖5𝜋3=375𝜋3+𝑖5𝜋3.sincossincos

Maintenant, cette opération a également déplacé le signe négatif vers la fonction sinus. Nous savons que la fonction sinus est impaire et que la fonction cosinus est paire. Cela conduit aux identités suivantes:sinsincoscos𝜃=(𝜃),𝜃=(𝜃).

En appliquant ces identités, nous avons 𝑍=375𝜋3+𝑖5𝜋3.sincos

Enfin, pour échanger les fonctions sinus et cosinus, nous pouvons appliquer les identités de cofonction:sincoscossin𝜃=𝜋2𝜃,𝜃=𝜋2𝜃.

En appliquant ces identités, nous obtenons 𝑍=37𝜋2+5𝜋3+𝑖𝜋2+5𝜋3=373𝜋6+10𝜋6+𝑖3𝜋6+10𝜋6=3713𝜋6+𝑖13𝜋6.cossincossincossin

Ceci est la forme polaire de 𝑍. À partir de la forme polaire, nous notons que le module du nombre complexe est 37, et que l’argument du nombre complexe est 13𝜋6. Cependant, comme cet argument ne se situe pas dans l’intervalle ]𝜋,𝜋], nous devons additionner ou soustraire des multiples de la révolution complète 2𝜋 pour déterminer la mesure principale de l’argument. Étant donné que ce nombre est plus grand que la limite supérieure de l’intervalle 𝜋, on va soustraire 2𝜋 à partir de cet argument pour obtenir un argument équivalent 13𝜋62𝜋=𝜋6.

On voit que cet argument est compris dans l’intervalle ]𝜋,𝜋] et c’est la mesure principale de l’argument.

Par conséquent, nous avons le module |𝑍|=37 et la mesure principale de l’argument 𝜃=𝜋6.

Quand on nous donne la forme cartésienne d’un nombre complexe, nous pouvons trouver son module et son argument. En considérant ces deux caractéristiques, nous pouvons alors écrire la forme polaire du nombre complexe. Voici comment la forme cartésienne est convertie en forme polaire. Regardons quelques exemples où nous convertissons la forme cartésienne d’un nombre complexe en la forme polaire.

Exemple 5: Convertir un nombre complexe de la forme cartésienne en forme polaire

Exprimez le nombre complexe 𝑍=4𝑖 sous forme polaire.

Réponse

Rappelons que la forme polaire d’un nombre complexe qui a le module 𝑟 et l’argument 𝜃 est 𝑍=𝑟(𝜃+𝑖𝜃).cossin

Notez que 𝑍 est un nombre purement imaginaire, sans partie réelle. Par conséquent, ce nombre se situe dans l’axe imaginaire positif d’un plan complexe. Tracer ce nombre dans un plan complexe révèle immédiatement à la fois le module et l’argument de ce nombre complexe.

D’après le diagramme, nous pouvons voir que le module de 4𝑖 vaut 4;par conséquent, 𝑟=4. En outre, nous pouvons voir que l’argument de 4𝑖 est 𝜋2 radians.

En substituant ces valeurs sous forme polaire, nous avons 𝑍=4𝜋2+𝑖𝜋2.cossin

Dans l’exemple précédent, nous avons converti un nombre purement imaginaire de la forme cartésienne en la forme polaire. Si un nombre complexe est purement réel ou purement imaginaire, la conversion en forme polaire est simple car nous pouvons immédiatement voir le module et l’argument de ces nombres complexes à partir d’un plan complexe.

Lorsque nous convertissons un nombre complexe qui n’est ni purement réel, ni purement imaginaire en la forme polaire, nous devons d’abord calculer le module et l’argument du nombre complexe. On rappelle la méthode de recherche du module et de l’argument d’un nombre complexe sous forme cartésienne.

Comment : Déterminer le module et l’argument d’un nombre complexe

Le module d’un nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 est donné par |𝑧|=𝑎+𝑏.

L’argument d’un nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 peut être obtenu en utilisant la fonction tangente inverse dans chaque quadrant d’un plan complexe comme suit:

  • Si 𝑧 se situe dans le premier ou le quatrième quadrant, alors argarctan𝑧=𝑏𝑎.
  • Si 𝑧 se situe dans le deuxième quadrant, alors argarctan𝑧=𝑏𝑎+𝜋.
  • Si 𝑧 se situe dans le troisième quadrant, alors argarctan𝑧=𝑏𝑎𝜋.

Nous mettrons en évidence ce processus dans l’exemple suivant.

Exemple 6: Convertir un nombre complexe de la forme cartésienne en forme polaire

  1. Déterminez le module du nombre complexe 1+𝑖.
  2. Déterminez l’argument du nombre complexe 1+𝑖.
  3. Écrivez le nombre complexe 1+𝑖 sous forme polaire.

Réponse

Partie 1

Rappelons que le module d’un nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 est donné par |𝑧|=𝑎+𝑏.

Le nombre complexe donné 1+𝑖 peut aussi s’écrire 1+1𝑖, ce qui signifie 𝑎=1 et 𝑏=1. Par conséquent, 1+1=2.

Le module de 1+𝑖 est 2.

Partie 2

Lors du calcul de l’argument d’un nombre complexe, nous devons faire attention à vérifier dans quel quadrant du plan complexe se situe le nombre complexe.

Nous pouvons voir que 1+𝑖 se situe dans le premier quadrant. Rappelons que l’argument d’un nombre complexe 𝑎+𝑏𝑖 dans le premier quadrant est donné par arctan𝑏𝑎. Par conséquent, argarctanarctan(1+𝑖)=11=(1)=𝜋4.

L’argument de 1+𝑖 est 𝜋4.

Partie 3

Rappelons que la forme polaire d’un nombre complexe qui a le module 𝑟 et l’argument 𝜃 est 𝑍=𝑟(𝜃+𝑖𝜃).cossin

Nous avons obtenu dans la partie 1 que le module de 1+𝑖 est 2;par conséquent, 𝑟=2. Dans la partie 2, nous avons obtenu que l’argument de 1+𝑖 est 𝜋4;par conséquent, 𝜃=𝜋4. Alors, la forme polaire de 1+𝑖 est 2𝜋4+𝑖𝜋4.cossin

Jusqu’à présent, nous avons examiné comment écrire la forme polaire d’un nombre complexe. La conversion de la forme polaire d’un nombre complexe en la forme cartésienne est beaucoup plus simple. Pour ce faire, nous devons multiplier par la parenthèse et évaluer les rapports trigonométriques. L’exemple suivant traitera de la conversion d’un nombre complexe de la forme polaire en la forme cartésienne.

Exemple 7: Convertir des nombres complexes de la forme polaire en la forme cartésienne

  1. Déterminer cos𝜋6.
  2. Déterminez sin𝜋6.
  3. Exprimez le nombre complexe 10𝜋6+𝑖𝜋6cossin sous forme cartésienne.

Réponse

Partie 1

Rappelons que 𝜋6 est un angle « particulier ». Par conséquent, nous rappelons que cos𝜋6=32.

Partie 2

De même, sin𝜋6=12.

Partie 3

Rappelons que la forme cartésienne d’un nombre complexe est 𝑎+𝑏𝑖, 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels. En substituant les rapports trigonométriques que nous avons obtenus dans les parties précédentes, nous obtenons 10𝜋6+𝑖𝜋6=1032+12𝑖.cossin

En multipliant par la parenthèse, nous avons 10𝜋6+𝑖𝜋6=53+5𝑖.cossin

Par conséquent, la forme cartésienne du nombre complexe donné est 53+5𝑖.

Dans notre dernier exemple, nous allons déterminer la forme polaire du conjugué d’un nombre complexe donné pour déterminer son module.

Exemple 8: Déterminer le module d’un nombre complexe

Sachant que 𝑍=63𝜋4+𝑖3𝜋4cossin, déterminez |𝑍|.

Réponse

Rappelons que la forme polaire d’un nombre complexe qui a le module 𝑟 et l’argument 𝜃 est 𝑍=𝑟(𝜃+𝑖𝜃).cossin

On nous donne le nombre complexe 𝑍 sous forme polaire. On va d’abord trouver la forme polaire du conjugué 𝑍 et obtenir le module du conjugué à partir de la forme polaire.

On rappelle que le conjugué d’un nombre complexe est obtenu en changeant le signe de la partie imaginaire du nombre. On peut d’abord multiplier par la parenthèse de la forme polaire de 𝑍 pour écrire 𝑍=63𝜋4+6𝑖3𝜋4.cossin

Ensuite, on peut changer le signe de la partie imaginaire pour obtenir le conjugué:𝑍=63𝜋46𝑖3𝜋4.cossin

Mettons cela de nouveau sous une forme polaire. En factorisant 6 des deux termes, on obtient 𝑍=63𝜋4𝑖3𝜋4.cossin

Nous pouvons voir qu’il y a un signe négatif entre les parties réelle et imaginaire à l’intérieur de la parenthèse. Cela doit se transformer en une somme pour que ce soit la forme polaire. Nous savons que la fonction sinus est impaire et que la fonction cosinus est paire. Cela conduit aux identités ci-dessous:sinsincoscos𝜃=(𝜃),𝜃=(𝜃).

En appliquant ces identités, nous avons 𝑍=63𝜋4+𝑖3𝜋4.cossin

Ceci est la forme polaire de 𝑍. En particulier, nous pouvons voir que le module de ce nombre est 6.

Par conséquent, |𝑍|=6.

Dans l’exemple précédent et final, nous avons trouvé la forme polaire du conjugué d’un nombre complexe pour déterminer le module du conjugué. En effet, la forme polaire du conjugué d’un nombre complexe peut être obtenue facilement à partir de la forme polaire du nombre complexe d’origine. Pour cela, rappelons comment les conjugués complexes sont représentés dans un plan complexe.

Le conjugué de 𝑍 est la réflexion de 𝑍 sur l’axe des réels dans un plan complexe. Comme les distances sont conservées sous les réflexions, les modules de 𝑍 et 𝑍 sont les mêmes. Les angles géométriques sont également conservés par réflexion, mais l’orientation de l’angle change comme indiqué sur la figure ci-dessus. Nous pouvons voir que arg𝑍 a la même taille et l’orientation opposée de arg𝑍. Cela signifie que le signe de l’argument change sous l’effet du conjugué. Cela conduit à la relation suivante:|𝑍|=|𝑍|,𝑍=𝑍.argarg

En utilisant ces relations, nous pouvons écrire la forme polaire du conjugué d’un nombre complexe étant donnée la forme polaire du nombre complexe d’origine.

Définition : Forme polaire du conjugué d’un nombre complexe

Considérez un nombre complexe non nul 𝑍 qui a le module 𝑟 et l’argument 𝜃. La forme polaire du conjugué 𝑍 est 𝑍=𝑟((𝜃)+𝑖(𝜃)).cossin

En d’autres termes, la forme polaire du conjugué est obtenue en remplaçant 𝜃 par 𝜃 sous la forme polaire du nombre complexe d’origine.

Terminons par résumer quelques points importants.

Points clés

  • Étant donné un nombre complexe non nul 𝑧 qui a le module 𝑟 et l’argument 𝜃, la forme polaire du nombre complexe 𝑧 est 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃).cossin Cette forme est aussi appelée forme trigonométrique ou forme module-argument.
  • Pour convertir la forme cartésienne d’un nombre complexe en la forme polaire, nous devons calculer son module et son argument.
  • Pour convertir la forme polaire d’un nombre complexe en la forme cartésienne, nous multiplions par la parenthèse et évaluons les rapports trigonométriques.
  • Étant donné un nombre complexe non nul 𝑍 qui a le module 𝑟 et l’argument 𝜃, la forme polaire du conjugué 𝑍 est 𝑍=𝑟((𝜃)+𝑖(𝜃)).cossin

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