Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à représenter un nombre complexe sous forme polaire, à calculer le module et l’argument, et à utiliser ces notions pour changer la forme d’un nombre complexe.
Rappelons que le module d’un nombre complexe est la distance, dans un plan complexe, entre l’origine et le nombre complexe, et que l’argument d’un nombre complexe est l’angle, mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, compris entre l’axe des réels positifs d’un plan complexe et le segment reliant l’origine et le nombre complexe. Nous rappelons également que l’argument principal d’un nombre complexe est l’argument qui se situe dans l’intervalle enradians ou .
Si on connaît la partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe, on peut représenter le nombre complexe sous forme cartésienne, , qui peut ensuite être tracé dans un plan complexe avec des coordonnées . Dans cette fiche explicative, nous allons introduire la forme polaire d’un nombre complexe, qui est utilisée pour représenter un nombre complexe en utilisant son module et son argument.
Par exemple, considérons le nombre complexe , qui est représenté par un point avec des coordonnées sur un plan complexe comme indiqué ci-dessous.
On rappelle que le module d’un nombre complexe est donné par , ce qui conduit à
Dans le plan complexe ci-dessus, le module de est la longueur du segment bleu reliant l’origine et le nombre complexe . L’argument d’un nombre complexe qui se situe dans le deuxième quadrant est donné par ; par conséquent, nous avons
Dans le plan complexe ci-dessus, l’argument de est l’angle mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre entre l’axe des réels positifs et le segment bleu. Ajoutons ces valeurs au plan.
Dans le plan complexe ci-dessus, nous avons indiqué l’emplacement du nombre complexe en utilisant uniquement son module et son argument. Nous pouvons voir que la connaissance du module et de l’argument d’un nombre complexe est suffisante pour identifier l’emplacement d’un nombre complexe dans un plan complexe. La forme polaire d’un nombre complexe fournit un moyen d’écrire l’expression du nombre complexe uniquement en utilisant son module et son argument.
Dans notre premier exemple, nous allons maintenant examiner comment écrire l’expression d’un nombre complexe en utilisant uniquement son module et son argument.
Exemple 1: Utiliser la trigonométrie pour écrire des nombres complexes sous forme polaire
Considérez le plan.
- Lequel des énoncés suivants décrit correctement la relation entre , et ?
- Lequel des énoncés suivants décrit correctement la relation entre , et ?
- Exprimez en fonction de et .
Réponse
On nous donne un plan complexe du nombre complexe , où le module de est désigné par et l’argument de est désigné par . Sur le plan, est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les deux autres côtés ont des longueurs et respectivement. Étant donné que le nombre complexe illustré se trouve dans le premier quadrant, et que sont positifs, alors ils donnent les longueurs des deux côtés de ce triangle. De même, est un angle dans ce triangle rectangle adjacent au côté de longueur et opposé au côté de longueur . En gardant cela à l’esprit, nous pouvons appliquer la trigonométrie dans le triangle rectangle pour répondre à chaque partie.
Partie 1
Le côté de longueur est adjacent à l’angle . Rappelons que la fonction cosinus donne le rapport trigonométrique entre le côté adjacent et l’hypoténuse d’un triangle rectangle :
En réarrangeant cette équation pour que soit isolé, on obtient
Par conséquent, la relation correcte entre , et est l’option D.
Partie 2
Tout comme la partie précédente, le côté de longueur est opposé à l’angle . Rappelons que la fonction sinus donne le rapport trigonométrique entre le côté opposé et l’hypoténuse d’un triangle rectangle. Ainsi, on peut écrire
En réarrangeant cette équation pour que soit isolé, on obtient
Par conséquent, la relation correcte entre , et est l’option C.
Partie 3
Puisque nous avons obtenu les expressions de et en fonction de et , on peut substituer ces expressions dans pour obtenir
Dans l’exemple précédent, nous avons découvert qu’un nombre complexe dans le premier quadrant qui a le module et l’argument peut être écrit comme
Si l’on factorise dans le membre droit de l’équation ci-dessus, on obtient la forme polaire du nombre complexe .
Définition : Forme polaire d’un nombre complexe
Considérez un nombre complexe non nul qui a le module et l’argument . La forme polaire du nombre complexe est
Cette forme est aussi appelée forme trigonométrique ou forme module-argument.
Précédemment, nous avons noté que le nombre complexe a le module et l’argument . Ainsi, la forme polaire de ce nombre complexe s’écrit
Considérons un autre exemple d’écriture de la forme polaire d’un nombre complexe étant donnés son module et son argument.
Exemple 2: Écriture d’un nombre complexe sous forme polaire en fonction de son module et de son argument principal
Sachant que et l’argument de est , déterminez , en donnant votre réponse sous forme polaire.
Réponse
Rappelons que la forme polaire d’un nombre complexe qui a le module et l’argument est
Dans cet exemple, on nous indique que le module est égal à 9 ; par conséquent, . On nous dit également que l’argument de ce nombre complexe est . En substituant ces valeurs dans la formule ci-dessus, on obtient
Considérons un exemple où nous écrivons le nombre complexe donné dans un plan complexe sous la forme polaire.
Exemple 3: Déterminer la forme polaire des nombres complexes représentés sur le plan complexe
Déterminez la forme polaire du nombre complexe représentée par le plan complexe donné.
Réponse
Rappelons que la forme polaire d’un nombre complexe qui a le module et l’argument est
Le module d’un nombre complexe est la distance entre l’origine et le nombre complexe sur un plan complexe. Sur la figure ci-dessus, nous présentons le fait que le module est 4 ; par conséquent, .
L’argument d’un nombre complexe est l’angle entre l’axe des réels positifs d’un plan complexe et le segment reliant l’origine et le nombre complexe, mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Par convention, l’argument est donné parradians dans l’intervalle . Sur la figure, on nous donne l’angle complémentaire endegrés à l’argument du nombre complexe . En soustrayant l’angle donné de, on obtient
La figure ci-dessous représente l’angle.
On peut convertir cet angle enradians en multipliant par l’angle :
Ceci est l’angle dans le sens des aiguilles d’une montre . Étant donné que l’argument est mesuré dans le sens antihoraire, nous pouvons l’écrire comme , qui se situe dans l’intervalle tel que souhaité. Par conséquent, . En substituant ces valeurs à la forme polaire, nous avons
Dans l’exemple suivant, nous modifierons une forme donnée d’un nombre complexe en la forme polaire et identifierons le module et la mesure principale de l’argument d’un nombre complexe à partir de la forme polaire.
Exemple 4: Déterminer le module et l’argument principal des nombres complexes sous forme polaire
Déterminez le module et la mesure principale de l’argument du nombre .
Réponse
Rappelons que la forme polaire d’un nombre complexe qui a le module et l’argument est
Rappelons aussi que la mesure principale de l’argument d’un nombre complexe est un argument dans l’intervalle enradians.
On note que la forme donnée du nombre complexe n’est pas la forme polaire. Elle diffère, notamment, de la forme polaire de la manière suivante :
- Le nombre devant la parenthèse est négatif.
- La partie réelle est donnée par la fonction sinus et la partie imaginaire par la fonction cosinus.
- Il y a un signe moins entre les parties réelle et imaginaire.
Nous allons d’abord convertir la forme donnée en la forme polaire pour identifier le module et la mesure principale de l’argument. Pour corriger le négatif dans , nous distribuerons aux termes entre parenthèses :
Maintenant, cette opération a également déplacé le signe négatif vers la fonction sinus. Nous savons que la fonction sinus est impaire et que la fonction cosinus est paire. Cela conduit aux identités suivantes :
En appliquant ces identités, nous avons
Enfin, pour échanger les fonctions sinus et cosinus, nous pouvons appliquer les identités de cofonction :
En appliquant ces identités, nous obtenons
Ceci est la forme polaire de . À partir de la forme polaire, nous notons que le module du nombre complexe est 37, et que l’argument du nombre complexe est . Cependant, comme cet argument ne se situe pas dans l’intervalle , nous devons additionner ou soustraire des multiples de la révolution complète pour déterminer la mesure principale de l’argument. Étant donné que ce nombre est plus grand que la limite supérieure de l’intervalle , on va soustraire à partir de cet argument pour obtenir un argument équivalent
On voit que cet argument est compris dans l’intervalle et c’est la mesure principale de l’argument.
Par conséquent, nous avons le module et la mesure principale de l’argument .
Quand on nous donne la forme cartésienne d’un nombre complexe, nous pouvons trouver son module et son argument. En considérant ces deux caractéristiques, nous pouvons alors écrire la forme polaire du nombre complexe. Voici comment la forme cartésienne est convertie en forme polaire. Regardons quelques exemples où nous convertissons la forme cartésienne d’un nombre complexe en la forme polaire.
Exemple 5: Convertir un nombre complexe de la forme cartésienne en forme polaire
Exprimez le nombre complexe sous forme polaire.
Réponse
Rappelons que la forme polaire d’un nombre complexe qui a le module et l’argument est
Notez que est un nombre purement imaginaire, sans partie réelle. Par conséquent, ce nombre se situe dans l’axe imaginaire positif d’un plan complexe. Tracer ce nombre dans un plan complexe révèle immédiatement à la fois le module et l’argument de ce nombre complexe.
D’après le diagramme, nous pouvons voir que le module de vaut 4 ; par conséquent, . En outre, nous pouvons voir que l’argument de est radians.
En substituant ces valeurs sous forme polaire, nous avons
Dans l’exemple précédent, nous avons converti un nombre purement imaginaire de la forme cartésienne en la forme polaire. Si un nombre complexe est purement réel ou purement imaginaire, la conversion en forme polaire est simple car nous pouvons immédiatement voir le module et l’argument de ces nombres complexes à partir d’un plan complexe.
Lorsque nous convertissons un nombre complexe qui n’est ni purement réel, ni purement imaginaire en la forme polaire, nous devons d’abord calculer le module et l’argument du nombre complexe. On rappelle la méthode de recherche du module et de l’argument d’un nombre complexe sous forme cartésienne.
Comment : Déterminer le module et l’argument d’un nombre complexe
Le module d’un nombre complexe est donné par
L’argument d’un nombre complexe peut être obtenu en utilisant la fonction tangente inverse dans chaque quadrant d’un plan complexe comme suit :
- Si se situe dans le premier ou le quatrième quadrant, alors
- Si se situe dans le deuxième quadrant, alors
- Si se situe dans le troisième quadrant, alors
Nous mettrons en évidence ce processus dans l’exemple suivant.
Exemple 6: Convertir un nombre complexe de la forme cartésienne en forme polaire
- Déterminez le module du nombre complexe .
- Déterminez l’argument du nombre complexe .
- Écrivez le nombre complexe sous forme polaire.
Réponse
Partie 1
Rappelons que le module d’un nombre complexe est donné par
Le nombre complexe donné peut aussi s’écrire , ce qui signifie et . Par conséquent,
Le module de est .
Partie 2
Lors du calcul de l’argument d’un nombre complexe, nous devons faire attention à vérifier dans quel quadrant du plan complexe se situe le nombre complexe.
Nous pouvons voir que se situe dans le premier quadrant. Rappelons que l’argument d’un nombre complexe dans le premier quadrant est donné par . Par conséquent,
L’argument de est .
Partie 3
Rappelons que la forme polaire d’un nombre complexe qui a le module et l’argument est
Nous avons obtenu dans la partie 1 que le module de est ; par conséquent, . Dans la partie 2, nous avons obtenu que l’argument de est ; par conséquent, . Alors, la forme polaire de est
Jusqu’à présent, nous avons examiné comment écrire la forme polaire d’un nombre complexe. La conversion de la forme polaire d’un nombre complexe en la forme cartésienne est beaucoup plus simple. Pour ce faire, nous devons multiplier par la parenthèse et évaluer les rapports trigonométriques. L’exemple suivant traitera de la conversion d’un nombre complexe de la forme polaire en la forme cartésienne.
Exemple 7: Convertir des nombres complexes de la forme polaire en la forme cartésienne
- Déterminer .
- Déterminez .
- Exprimez le nombre complexe sous forme cartésienne.
Réponse
Partie 1
Rappelons que est un angle « particulier ». Par conséquent, nous rappelons que
Partie 2
De même,
Partie 3
Rappelons que la forme cartésienne d’un nombre complexe est , où et sont des nombres réels. En substituant les rapports trigonométriques que nous avons obtenus dans les parties précédentes, nous obtenons
En multipliant par la parenthèse, nous avons
Par conséquent, la forme cartésienne du nombre complexe donné est .
Dans notre dernier exemple, nous allons déterminer la forme polaire du conjugué d’un nombre complexe donné pour déterminer son module.
Exemple 8: Déterminer le module d’un nombre complexe
Sachant que , déterminez .
Réponse
Rappelons que la forme polaire d’un nombre complexe qui a le module et l’argument est
On nous donne le nombre complexe sous forme polaire. On va d’abord trouver la forme polaire du conjugué et obtenir le module du conjugué à partir de la forme polaire.
On rappelle que le conjugué d’un nombre complexe est obtenu en changeant le signe de la partie imaginaire du nombre. On peut d’abord multiplier par la parenthèse de la forme polaire de pour écrire
Ensuite, on peut changer le signe de la partie imaginaire pour obtenir le conjugué :
Mettons cela de nouveau sous une forme polaire. En factorisant 6 des deux termes, on obtient
Nous pouvons voir qu’il y a un signe négatif entre les parties réelle et imaginaire à l’intérieur de la parenthèse. Cela doit se transformer en une somme pour que ce soit la forme polaire. Nous savons que la fonction sinus est impaire et que la fonction cosinus est paire. Cela conduit aux identités ci-dessous :
En appliquant ces identités, nous avons
Ceci est la forme polaire de . En particulier, nous pouvons voir que le module de ce nombre est 6.
Par conséquent, .
Dans l’exemple précédent et final, nous avons trouvé la forme polaire du conjugué d’un nombre complexe pour déterminer le module du conjugué. En effet, la forme polaire du conjugué d’un nombre complexe peut être obtenue facilement à partir de la forme polaire du nombre complexe d’origine. Pour cela, rappelons comment les conjugués complexes sont représentés dans un plan complexe.
Le conjugué de est la réflexion de sur l’axe des réels dans un plan complexe. Comme les distances sont conservées sous les réflexions, les modules de et sont les mêmes. Les angles géométriques sont également conservés par réflexion, mais l’orientation de l’angle change comme indiqué sur la figure ci-dessus. Nous pouvons voir que a la même taille et l’orientation opposée de . Cela signifie que le signe de l’argument change sous l’effet du conjugué. Cela conduit à la relation suivante :
En utilisant ces relations, nous pouvons écrire la forme polaire du conjugué d’un nombre complexe étant donnée la forme polaire du nombre complexe d’origine.
Définition : Forme polaire du conjugué d’un nombre complexe
Considérez un nombre complexe non nul qui a le module et l’argument . La forme polaire du conjugué est
En d’autres termes, la forme polaire du conjugué est obtenue en remplaçant par sous la forme polaire du nombre complexe d’origine.
Terminons par résumer quelques points importants.
Points clés
- Étant donné un nombre complexe non nul qui a le module et l’argument , la forme polaire du nombre complexe est Cette forme est aussi appelée forme trigonométrique ou forme module-argument.
- Pour convertir la forme cartésienne d’un nombre complexe en la forme polaire, nous devons calculer son module et son argument.
- Pour convertir la forme polaire d’un nombre complexe en la forme cartésienne, nous multiplions par la parenthèse et évaluons les rapports trigonométriques.
- Étant donné un nombre complexe non nul qui a le module et l’argument , la forme polaire du conjugué est
