Transcription de la vidéo
Dans cette vidĂ©o, nous allons dĂ©couvrir la forme polaire dâun nombre complexe. Câest une façon dâĂ©crire un nombre complexe particuliĂšrement adaptĂ© aux problĂšmes de
multiplication. Cette nouvelle forme est mieux comprise Ă lâaide dâun diagramme dâArgand. Alors rĂ©capitulons.
Un diagramme dâArgand reprĂ©sente tous les nombres complexes sur un plan. Les nombres rĂ©els sont situĂ©s sur lâaxe horizontal ou lâaxe des đ„ et les nombres
purement imaginaires se trouvent Ă la verticale ou lâaxe des đŠ. Quel point sur ce diagramme reprĂ©sente le nombre complexe quatre moins quatre
đ ? Eh bien, nous prenons la partie rĂ©elle de quatre pour la coordonnĂ©e đ„ et la partie
imaginaire moins quatre pour la coordonnĂ©e đŠ. Donc, le point reprĂ©sentant quatre moins quatre đ est ici dans le quatriĂšme quadrant
du diagramme.
Nous avons Ă©galement dĂ©couvert deux propriĂ©tĂ©s des nombres complexes : le module dâun
nombre complexe et lâargument dâun nombre complexe. Commençons par le module. Le module gĂ©nĂ©ralise le concept de valeur absolue dâun nombre des nombres rĂ©els aux
nombres complexes. Et câest Ă©crit de la mĂȘme maniĂšre avec deux barres verticales de chaque cĂŽtĂ© du
nombre. En Ă©crivant un nombre complexe en fonction de sa partie rĂ©elle đ et de sa partie
imaginaire đ, nous avons une formule pour son module. Il sâagit de la racine carrĂ©e de đ au carrĂ© plus đ au carrĂ©. Mais vraiment, cette formule est mieux comprise en utilisant le diagramme
dâArgand.
Si nous dessinons un vecteur de lâorigine au point reprĂ©sentant notre nombre
complexe, alors le module de notre nombre complexe est la longueur ou la norme de ce
vecteur et de la mĂȘme maniĂšre que le module de notre nombre complexe donne la norme
de ce vecteur. Son argument donne la direction du vecteur. Lâargument dâun nombre complexe đ§ sâĂ©crit arg đ§. Et la formule pour arg đ plus đđ dĂ©pend du quadrant dans lequel il se trouve, mais
dans chaque cas implique un arctan de đ sur đ. Encore une fois, la meilleure façon de penser Ă lâargument est dâutiliser le
diagramme dâArgand.
Câest lâangle du vecteur mesurĂ© dans le sens antihoraire Ă partir de lâaxe rĂ©el
positif. Nous commençons donc Ă lâaxe rĂ©el positif et nous nous dĂ©plaçons dans le sens
antihoraire jusquâĂ ce que nous arrivions Ă notre vecteur. Câest donc lâangle. Il nâest pas trop difficile de voir que cet angle aigu mesure 45 degrĂ©s ou đ sur
quatre radians. Et en considĂ©rant lâangle en un point, notre argument est de 350 degrĂ©s ou sept đ
sur quatre radians.
Lorsque nous parlons de lâargument dâun nombre complexe, nous avons tendance Ă
utiliser des radians. Et donc, nous pouvons Ă©crire que lâargument de quatre moins quatre đ est sept đ sur
quatre. Nous pourrions Ă©galement soustraire deux đ pour obtenir lâargument principal moins
đ sur quatre, que vous pouvez considĂ©rer comme une mesure de lâangle aigu orange
avec un signe moins car cet angle doit ĂȘtre mesurĂ© dans la direction opposĂ©e.
Ayant trouvĂ© lâargument de notre nombre complexe, nous pourrions aussi bien trouver
son module. Nous trouvons cela en utilisant la formule que nous avons. đ est quatre et đ est moins quatre. Et en simplifiant, nous obtenons la racine carrĂ©e de 32, qui dans sa forme la plus
simple est quatre racine deux. Ranger et interprĂ©ter sur notre diagramme. Nous avons trouvĂ© le module et lâargument de notre nombre complexe en utilisant ses
parties réelles et imaginaires. Eh bien, en fait, nous avons eu de la chance avec cet argument parce que nous avons
remarquĂ© lâangle de 45 degrĂ©s. Mais vous pouvez vĂ©rifier que le calcul de lâarctan de la partie imaginaire moins
quatre sur la partie rĂ©elle quatre aurait donnĂ© la mĂȘme rĂ©ponse.
Une question que nous pouvons poser est de savoir si nous pouvons aller dans lâautre
sens. Ătant donnĂ© le module et lâargument dâun nombre complexe đ§, pouvons-nous trouver
quâil sâagit de parties rĂ©elles et imaginaires et avons tendance Ă Ă©crire notre
đ§Â ? Il semble que nous devrions pouvoir. Nous savons que lâargument de notre nombre complexe est moins đ sur quatre. Et donc, si nous sortons notre rapporteur, nous pouvons voir que notre nombre
complexe doit se trouver quelque part sur ce rayon ou cette droite. Et puis, le module nous indique jusquâoĂč nous devons aller. Nous prenons notre rĂšgle et mesurons quatre racines deux unitĂ©s depuis lâorigine pour
constater que notre nombre complexe doit se trouver ici.
LâidĂ©e que nous pouvons spĂ©cifier un point en donnant sa distance par rapport Ă
lâorigine et Ă la direction mesurĂ©e Ă partir de lâaxe đ„ au lieu de ses coordonnĂ©es
đ„ et đŠ donne naissance Ă des coordonnĂ©es polaires que vous pourriez connaĂźtre. Lâapplication de la mĂȘme idĂ©e sur un diagramme dâArgand Ă des nombres complexes donne
naissance Ă la forme polaire dâun nombre complexe. Voyons comment on peut Ă©crire un nombre complexe đ§ en fonction de module et
dâargument.
Ătant donnĂ© que le module de đ§ est đ et lâargument de đ§ est đ, dĂ©terminez đ§.
Nous dessinons un diagramme dâArgand pour nous aider. Et comme le module de đ§ est đ, le point reprĂ©sentant đ§ sur le diagramme dâArgand
doit ĂȘtre Ă une distance de đ de lâorigine. Il se trouve donc sur le cercle avec le centre de lâorigine et le rayon đ. Et comme son argument est đ, il doit aussi se situer quelque part sur cette droite
violette. Voici donc đ§ Ă lâintersection. Mais avons-nous vraiment trouvĂ© đ§, ce que nous devons faire, câest lâĂ©crire sous la
forme đ plus đđ.
Et pour cela, il faut trouver la partie rĂ©elle đ et la partie imaginaire đ. On peut lire la partie rĂ©elle đ ; câest la coordonnĂ©e đ„ de notre point, et, de
mĂȘme, pour la partie imaginaire đ. Comment Ă©crivez-vous ces đ et đ en fonction de đ et đ ? Eh bien, si vous Ă©tiez dans un cercle unitaire, alors đ serait cos đ et đ serait
sin đ. Mais malheureusement, nous ne le sommes pas. Le rayon est đ. Et donc, tout est mis Ă lâĂ©chelle par đ, ce qui signifie que đ est đ cos đ et đ
est đ sin đ.
Nous pouvons voir cela dâune autre maniĂšre, en remarquant un triangle rectangle avec
lâhypotĂ©nuse đ, le rayon du cercle, la longueur du cĂŽtĂ© đ adjacent Ă lâangle đ et
đ en face. Le sin đ est donc lâopposĂ© đ sur lâhypotĂ©nuse đ. Et donc, đ sin đ est Ă©gal Ă đ. Et ce que nous devons faire, câest Ă©changer les cĂŽtĂ©s. De mĂȘme, cos đ est la longueur du cĂŽtĂ© adjacent đ sur lâhypotĂ©nuse đ. Et donc, notre cos đ est Ă©gal Ă đ. Encore une fois, il suffit dâĂ©changer les cĂŽtĂ©s pour trouver que đ est đ cos
đ.
AprĂšs avoir trouvĂ© les parties rĂ©elles et imaginaires de đ§ en fonction de đ et đ,
nous pouvons Ă©crire đ§ en fonction de đ et đ simplement en les substituant. đ§ est đ cos đ plus đ sin đ đ. Et ce sera la rĂ©ponse Ă notre question. Cela signifie que le nombre complexe đ§ dont le module est đ et dont lâargument est
đ est reprĂ©sentĂ© par le point đ cos đ, đ sin đ sur un diagramme dâArgand. Ces coordonnĂ©es devraient sembler familiĂšres si vous avez appris les coordonnĂ©es
polaires. Si nous connaissons le module et lâargument dâun nombre complexe, nous pouvons
lâutiliser comme formule pour trouver le nombre complexe.
Ătant donnĂ© que le module de đ§ est quatre racine deux et lâargument de đ§ est moins
đ sur quatre, dĂ©terminez đ§.
Eh bien, nous voyons que le module đ est quatre racine deux et lâargument đ est
moins đ sur quatre. Nous les substituons dans notre formule. Et nous pouvons simplifier soit en utilisant une calculatrice, soit en utilisant des
identitĂ©s impaires et paires et des angles spĂ©ciaux. Cos est une fonction paire. Et donc, cos de moins đ sur quatre est cos de đ sur quatre. Et đ sur quatre est un angle spĂ©cial dont nous nous souvenons que le cosinus est
racine deux sur deux. De mĂȘme, en utilisant le fait que le sin est une fonction impaire, nous obtenons que
le sin de moins đ sur quatre est racine moins deux sur deux. En substituant ces valeurs et en simplifiant, nous obtenons quatre moins quatre
đ. Mais parfois, nous ne voulons pas simplifier. Nous pouvons rĂ©Ă©crire lĂ©gĂšrement notre formule en supprimant le facteur commun de đ,
obtenant đ fois cos đ plus đ sin đ.
Notez que nous avons Ă©galement Ă©changĂ© lâordre de đ et de sin đ ici. Et il sâavĂšre quâil est trĂšs utile dâĂ©crire un nombre complexe sous cette forme. En appliquant ceci Ă notre exemple, oĂč le module de đ§ est quatre racine deux et son
argument est moins đ sur quatre, nous Ă©crivons đ§ sous la forme đ fois cos đ plus
đ fois sin đ. En substituant simplement quatre racine deux pour đ et moins đ sur quatre pour đ,
nous obtenons que đ§ est quatre racine deux fois cos moins đ sur quatre plus đ sin
moins đ sur quatre. Ce nâest pas seulement une Ă©tape de travail sur la façon dâĂ©crire la valeur de
đ§. Câest une façon valable dâexprimer la valeur de đ§ Ă part entiĂšre.
Voici donc une dĂ©finition. Lorsquâun nombre complexe đ§ est Ă©crit sous la forme đ fois cos đ plus đ sin đ,
il est dit ĂȘtre sous « forme polaire ». Cela peut aussi ĂȘtre appelĂ© « forme trigonomĂ©trique » car il implique des fonctions
trigonométriques cosinus et sinus ou le « forme module-argument » car cette forme
facilite la lecture du module et de lâargument. Avec đ§ comme dans la dĂ©finition, son module est đ et son argument est đ.
Cela nous laisse avec la question de savoir quel est lâappel de la forme originale đ
plus đđ. Câest ce quâon appelle « forme algĂ©brique », « forme cartĂ©sienne » ou « forme
rectangulaire ». Quatre moins quatre đ est sous cette forme. Et quatre racine deux fois cos moins đ sur quatre plus đ sin moins đ sur quatre
est le mĂȘme nombre complexe Ă©crit sous forme polaire. Regardons maintenant un exemple, oĂč certains nombres sont Ă©crits correctement sous
forme polaire et certains ne le sont pas.
Lequel des nombres complexes suivants est correctement exprimé sous forme
polaire ?
Prenez maintenant un moment pour mettre la vidéo en pause et examinez attentivement
chaque option avant de les parcourir ensemble. Dâaccord, tu es prĂȘt ? Et câest parti. On dit que notre nombre complexe est Ă©crit sous forme polaire sâil est Ă©crit sous la
forme đ fois cos đ plus đ sin đ pour certaines valeurs de đ et đ. Nous voulons toujours que la valeur de đ soit supĂ©rieure ou Ă©gale Ă zĂ©ro. Câest donc le module de notre nombre complexe. Et parfois, vous voulez que đ soit dans un intervalle de moins đ Ă đ incluant đ
mais pas moins đ pour que ce soit lâargument principal du nombre complexe. Mais nous ne nous en inquiĂ©terions pas pour le moment.
Dâaccord, commençons par lâoption A ; est-ce Ă©crit sous la forme requise ? La valeur de la racine deux en dehors des parenthĂšses semble correcte. Mais Ă lâintĂ©rieur des parenthĂšses, nous avons quelque chose de sin, plus đ cos
quelque chose oĂč nous voulons cos quelque chose en plus đ quelque chose sin. Ceci nâest pas correctement exprimĂ© sous forme polaire.
Et lâoption BÂ ? Eh bien, nous voyons quâen dehors des parenthĂšses, les valeurs de đ sont cinq, ce
qui est positif. Câest une bonne nouvelle. Et Ă lâintĂ©rieur des parenthĂšses, nous avons cos de quelque chose plus đ sin de
quelque chose qui est ce que nous voulons. Et surtout, dans les deux cas, les choses sont les mĂȘmes ; moins cinq đ sur six est
la valeur de đ. Maintenant, cette valeur de đ est nĂ©gative. Mais ça va. Câest permis. En fait, câest mĂȘme lâargument principal de notre nombre complexe. Et donc, B est correctement exprimĂ© sous forme polaire.
Passant Ă C, nous voyons que la valeur de đ est đ au carrĂ©, encore une fois le
nombre positif. Mais Ă lâintĂ©rieur des parenthĂšses, nous avons cos de quelque chose moins đ le sin
de quelque chose. Et nous aurions besoin que ce sin moins soit un plus pour que ce nombre complexe soit
correctement exprimé sous forme polaire.
Nous passons donc Ă D. La valeur de đ ici est de trois đ sur quatre. Ă lâintĂ©rieur des parenthĂšses, nous avons cos de quelque chose plus đ sin de quelque
chose comme requis. Et encore une fois, ces choses sont les mĂȘmes. La valeur de đ est racine 35. Maintenant, vous pourriez penser quâil est Ă©trange que ce nombre complexe ait un
module de trois đ sur quatre et un argument de racine 35. Ils devraient sĂ»rement ĂȘtre lâinverse, non ? Mais techniquement parlant, il nây a rien de mal Ă cela. Câest sous forme polaire. Cependant, si vous Ă©crivez un nombre complexe comme celui-ci oĂč le module est un
multiple de đ et lâargument est la racine carrĂ©e dâun nombre, alors vous devriez
probablement vous assurer que vous nâavez pas accidentellement changĂ© ces deux
valeurs.
Enfin, lâoption E, nous avons une valeur positive de đ en dehors des parenthĂšses et
cos de quelque chose plus đ sin de quelque chose Ă lâintĂ©rieur des parenthĂšses. Mais ces choses ne sont pas les mĂȘmes. Et nous avons 35đ sur sept et 35đ sur six. Ce devrait ĂȘtre la mĂȘme valeur đ qui est lâargument du nombre complexe. Comme ils ne sont pas identiques, ce nombre nâest pas correctement exprimĂ© sous forme
polaire.
Notre réponse est donc que seuls B et D sont correctement exprimés sous forme
polaire. En tant quâextension, vous souhaiterez peut-ĂȘtre utiliser certaines identitĂ©s que
vous connaissez sur le sinus et le cosinus pour exprimer correctement les options A
et C sous forme polaire. Malheureusement, il nây a pas de moyen facile de le faire pour lâoption E.
Voyons un exemple rapide de conversion dâune forme trigonomĂ©trique en forme
rectangulaire avant dâessayer de convertir dans lâautre sens.
Trouvez cos đ sur six. Trouvez le sin đ sur six. Et par consĂ©quent, exprimez le nombre complexe 10 cos đ sur six plus đ sin đ sur
six sous forme rectangulaire.
Eh bien, đ sur six radians qui est de 30 degrĂ©s est un angle spĂ©cial. Et donc, nous nous souvenons que cos de đ sur six est racine trois sur deux et le
sin de đ sur six est la moitiĂ©. Alternativement, votre calculatrice peut vous donner ces valeurs. Et maintenant que nous avons ces deux valeurs, nous pouvons les remplacer par notre
nombre complexe sous forme trigonométrique, obtenant 10 fois la racine trois sur
deux plus un demi đ. Et en rĂ©partissant ce 10 sur les termes entre parenthĂšses, nous obtenons cinq racine
trois plus cinq đ qui, selon les besoins, sont sous forme rectangulaire, Ă©galement
connue sous la forme algĂ©brique ou forme cartĂ©sienne, la forme đ plus đđ. Maintenant, convertissons un nombre complexe de forme algĂ©brique en forme
polaire.
Trouvez le module du nombre complexe un plus đ. Trouvez lâargument du nombre complexe un plus đ. Et donc, Ă©crivez le nombre complexe un plus đ sous forme polaire.
Nous pouvons dessiner un diagramme dâArgand pour nous aider. Et nous pouvons dessiner le vecteur de lâorigine zĂ©ro sur le diagramme dâArgand au
nombre complexe un plus đ. Le module de un plus đ nâest que la norme de ce vecteur. Et en considĂ©rant un triangle rectangle et en appliquant le thĂ©orĂšme de Pythagore,
nous constatons que câest la racine carrĂ©e dâun carrĂ© plus un carrĂ©, qui est la
racine carrĂ©e de deux. Bien sĂ»r, la formule du module de đ plus đđ nous aurait donnĂ© la mĂȘme rĂ©ponse. Câest un module de un plus đ. Et son argument ?
Eh bien, câest une mesure de cet angle ici, que nous appellerons đ. Et parce que nous avons un triangle rectangle avec la longueur du cĂŽtĂ© opposĂ© un et
la longueur du cĂŽtĂ© adjacent un, nous savons que tan đ est Ă©gal Ă lâopposĂ© de celui
adjacent. Et donc, đ est arctan un sur un qui est arctan un qui est đ sur quatre. Nous aurions Ă©galement pu le constater en remarquant que nous avons affaire Ă un
triangle rectangle isocĂšle. Et donc, đ doit ĂȘtre de 45 degrĂ©s, ce qui est đ sur quatre en radians. Maintenant que nous avons le module et lâargument de notre nombre complexe, nous
pouvons lâĂ©crire sous forme polaire.
On dit que notre nombre complexe est Ă©crit sous forme polaire sâil est Ă©crit sous la
forme đ fois cos đ plus đ sin đ. Et surtout pour nous, si le nombre complexe đ§ est Ă©crit sous cette forme, alors son
module est đ et son argument est đ. Eh bien, nous connaissons le module et lâargument de notre nombre complexe, nous
pouvons donc simplement les remplacer par des valeurs de đ et đ. La valeur de đ est la racine du module deux et la valeur de đ est lâargument đ sur
quatre. Il sâagit alors dâun nombre complexe un plus đ sous forme polaire. Câest ainsi que nous convertissons un nombre de la forme algĂ©brique en forme
polaire. Nous trouvons son module et son argument puis nous les substituons dans la
formule.
Voyons un autre exemple.
Exprimez le nombre complexe đ§ est Ă©gal Ă quatre đ sous forme trigonomĂ©trique.
Nous le faisons en trois Ă©tapes. On trouve đ qui est le module de đ§. On trouve đ qui est son argument. Et nous substituons ces valeurs en đ§ Ă©gal Ă đ cos đ plus đ sin đ. Mais dâabord, dessinons un diagramme dâArgand avec quatre đ bien sĂ»r se trouvant sur
lâaxe imaginaire. On peut voir son module, sa distance par rapport Ă lâorigine, est de quatre. Nous aurions pu obtenir cela en utilisant notre formule Ă la place. Dans tous les cas, đ vaut quatre. Et son argument ?
Essayer dâutiliser une formule impliquant arctan đ sur đ ne fonctionnera pas car đ
est nul. Et nous ne pouvons pas diviser par zĂ©ro. Mais heureusement, nous avons notre diagramme oĂč lâargument est juste cet angle ici,
dont la mesure est de 90 degrĂ©s ou đ sur deux radians. Lâargument de đ§ est donc đ sur deux. Câest une valeur que nous devons remplacer par đ. Et nous sommes maintenant prĂȘts Ă remplacer. Et ce faisant, nous obtenons quatre fois cos đ sur deux plus đ sin đ sur deux.
Voici les points clĂ©s que nous avons couverts dans la vidĂ©o. Tout comme les points dans le plan peuvent ĂȘtre donnĂ©s en utilisant des coordonnĂ©es
cartĂ©siennes ou polaires, les nombres complexes peuvent ĂȘtre donnĂ©s sous forme
algĂ©brique ou polaire. La forme polaire dâun nombre complexe đ§ est đ§ Ă©gale đ fois cos đ plus đ sin đ,
oĂč đ qui est supĂ©rieur ou Ă©gal Ă zĂ©ro est le module et đ est lâargument. Pour convertir đ§ est Ă©gal Ă đ plus đđ qui est sous forme algĂ©brique en forme
polaire, nous calculons son module đ et son argument đ et substituons ces valeurs
dans la formule ci-dessus. Pour convertir en đ§ Ă©gal Ă đ fois cos đ plus đ sin đ qui est sous forme
trigonométrique en forme algébrique, nous évaluons le sinus et le cosinus,
distribuons đ et simplifions.