Transcription de la vidéo
Déterminez l’intégrale de huit racine carré de 𝑥 moins un sur 𝑥 à la puissance quatre par rapport à 𝑥.
La question veut que nous intégrions huit fois la racine carrée de 𝑥 moins un divisé par 𝑥 à la puissance quatre. Cet intégrande est sous une forme que nous ne savons pas encore intégrer. Nous allons donc devoir manipuler cette expression pour avoir une expression que nous pouvons intégrer. Puisque ces deux expressions comportent des exposants, nous allons essayer de les réécrire en utilisant nos lois sur les exposants. La première chose que nous remarquons est que le premier terme de notre intégrande contient la racine carrée de 𝑥. Et l’une de nos lois sur les exposants nous dit que nous pouvons réécrire la racine carrée de 𝑥 comme 𝑥 à la puissance un demi. Et nous savons comment intégrer 𝑥 à la puissance un demi en utilisant la règle de puissance pour l’intégration.
Ensuite, en utilisant nos lois des exposants, nous pouvons réécrire un divisé par 𝑥 à la puissance quatre comme 𝑥 à la puissance moins quatre. Et encore une fois, nous pouvons intégrer cela en utilisant la règle de puissance pour l’intégration. Ainsi, en utilisant nos lois des exposants, nous avons réécrit notre intégrale comme l’intégrale de huit 𝑥 à la puissance un demi moins 𝑥 à la puissance moins quatre par rapport à 𝑥. Ensuite, nous pouvons simplifier légèrement cette intégrale. Rappelez-vous que l’intégrale d’une différence entre deux fonctions est égale à la différence entre leurs intégrales. Nous pouvons donc simplement intégrer chaque terme séparément. Et, comme nous l’avons déjà dit, nous pouvons intégrer ces deux termes en utilisant la règle de puissance pour l’intégration.
Nous rappelons que la règle de puissance pour l’intégration nous dit que, pour les constantes 𝑎 et 𝑛, où 𝑛 n’est pas égal à moins un, l’intégrale de 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égal à 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un divisé par 𝑛 plus un plus la constante d’intégration 𝑐. Nous ajoutons un à notre exposant, puis divisons par ce nouvel exposant. En appliquant la règle de puissance de l’intégration au premier terme de notre intégrande, nous obtenons huit fois 𝑥 à la puissance un demi plus un divisé par un demi plus un. Nous devons ensuite soustraire l’intégrale de 𝑥 à la puissance moins quatre par rapport à 𝑥.
Nous l’avons fait en utilisant la règle de puissance pour l’intégration. Nous avons obtenu 𝑥 à la puissance moins quatre plus un divisé par moins quatre plus un. Et nous avons ensuite combiné nos deux constantes d’intégration en une constante d’intégration que nous avons appelée 𝑐. Et nous pouvons simplifier cette expression. Un demi plus un est égal à trois sur deux, et moins quatre plus un est égal à moins trois. Donc, cela nous donne huit 𝑥 à la puissance trois sur deux divisé par trois sur deux moins 𝑥 à la puissance moins trois divisé par moins trois plus 𝑐. Et nous pourrions laisser notre réponse comme ceci. Cependant, nous pouvons simplifier légèrement notre expression.
Premièrement, au lieu de diviser par trois sur deux, nous allons multiplier par l’inverse de trois sur deux. Ensuite, en utilisant nos lois des exposants, au lieu d’avoir 𝑥 à la puissance moins trois dans notre numérateur, nous allons diviser par 𝑥 au cube. Et l’inverse de trois sur deux est deux tiers. Cela nous donne huit fois deux tiers fois 𝑥 à la puissance trois sur deux moins un divisé par moins trois 𝑥 au cube plus 𝑐. Et nous pouvons simplifier cela à nouveau. Huit fois deux tiers est égal à seize tiers.
Ensuite, nous pouvons simplifier notre facteur commun moins un au numérateur et au dénominateur de notre deuxième terme. Et la dernière chose à faire est de réécrire 𝑥 à la puissance trois sur deux en utilisant nos lois des exposants. Nous écrirons ceci comme la racine carrée de 𝑥 au cube. Et cela nous donne notre réponse finale. Nous avons montré que l’intégrale de huit racine carré de 𝑥 moins un divisé par 𝑥 à la puissance quatre par rapport à 𝑥 est égal à 16 sur trois fois la racine carrée de 𝑥 au cube plus un sur trois 𝑥 au cube plus 𝑐.
