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Une certaine action peut être effectuée de 𝑚 différentes façons. Une seconde action, mutuellement exclusive de la première, peut se faire de 𝑛 différentes façons. Ecrivez le nombre de façons d’effectuer la première ou la deuxième action.
Commençons par rappeler ce que sont deux événements incompatibles. Tout simplement, deux événements sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire en même temps. Par exemple, supposons qu’on lance une pièce de monnaie. La pièce peut tomber sur pile ou face. L’événement « la pièce tombe sur face » est incompatible avec l’événement « la pièce tombe sur pile ». Cela ne peut pas arriver en même temps.
Il peut être utile de se demander à quoi ressemble le diagramme de Venn associé. On est habitués aux diagrammes de Venn représentant deux événements 𝐴 et 𝐵 comme ceci. Mais bien sûr, si 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles, ils ne peuvent pas se produire en même temps. Cela signifie que leur chevauchement est l’ensemble vide. Autrement dit, leur chevauchement ne contient aucun élément. Voici donc comment on peut représenter un diagramme de Venn pour des événements 𝐴 et 𝐵 incompatibles.
Maintenant, revenons à notre question. On sait qu’une certaine action peut être réalisée de 𝑚 façons différentes. Appelons 𝐴 cette action. Ainsi, le nombre d’éléments de l’ensemble 𝐴 est égal à 𝑚. De même, il y a une autre action incompatible avec la première et qui peut se faire de 𝑛 façons différentes. Notons 𝐵 cette action ou événement. Alors, le nombre d’éléments de l’ensemble 𝐵 est 𝑛. On cherche le nombre de manières de réaliser la première ou la deuxième action. Autrement dit, combien de façons y a-t-il de choisir un résultat dans 𝐴 ou 𝐵 ?
En fait, il s’agit simplement la somme de 𝑚 et 𝑛, il y a donc au total 𝑚 plus 𝑛 façons de réaliser la première ou la deuxième action. Bien sûr, nous aurions pu gagner du temps. Il s’agit en effet du principe additif de deux événements. Soient 𝐴 et 𝐵 deux événements incompatibles, avec 𝑚 résultats distincts pour l’événement 𝐴 et 𝑛 résultats distincts pour l’événement 𝐵, alors il y a 𝑚 plus 𝑛 résultats distincts dans 𝐴 ou 𝐵.
