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Le 𝑛-ième terme d’une suite géométrique est noté T indice 𝑛, le premier terme est T indice un, et la somme des 𝑛 premiers termes est 𝑆 indice 𝑛. Déterminez les trois premiers termes et la somme 𝑆 indice ∞ de tous les termes de la suite géométrique infinie vérifiant T indice deux moins T indice six égale 33 et 𝑆 indice quatre égale 132.
Une suite géométrique est une suite dans laquelle le rapport entre deux termes consécutifs est constant. En d’autres termes, si nous connaissons un terme de la suite, nous arrivons toujours au terme suivant de la même manière en multipliant par la même valeur, que nous appelons la raison et que nous notons q. Nous avons reçu diverses informations sur cette suite. La différence entre les deuxième et sixième termes est de 33 et la somme des quatre premiers termes vaut 132. Rappelons quelques-unes des formules clés dont nous aurons besoin dans cette question.
Premièrement, le terme général d’une suite géométrique, T indice 𝑛, est donné par T indice un multiplié par q à la puissance 𝑛 moins un. Nous prenons le premier terme et le multiplions par la raison q à la puissance 𝑛 moins un. Deuxièmement, la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite géométrique notée par 𝑆 indice 𝑛 est égale à T indice un multiplié par un moins q à la puissance 𝑛 sur un moins q. Enfin, si la valeur absolue de la raison q est inférieure à un, alors la suite géométrique infinie est convergente. Nous pouvons trouver la somme de tous les termes en utilisant la formule 𝑆 indice ∞ égale T indice un sur un moins q. Utilisons ces formules et les informations données dans la question pour former quelques équations.
Pour le deuxième terme, la valeur de 𝑛 est deux. Ainsi, le deuxième terme T indice deux est égal à T indice un multiplié par q à la puissance deux moins un, soit q puissance un, ou q. Pour le sixième terme, la valeur de 𝑛 est six. Nous avons donc T indice six est égal à T indice un multiplié par q à la puissance cinq. On nous dit que T indice deux moins T indice six est égal à 33. Nous avons donc l’équation T indice un q moins T indice un q à la puissance cinq est égal à 33. Nous pouvons factoriser cette équation sur le côté gauche par T indice un q pour donner T indice un q multiplié par un moins q à la puissance quatre est égal à 33. Ceci est notre première équation.
Ensuite, on nous dit que la somme des quatre premiers termes 𝑆 indice quatre est égale à 132. Ainsi, en substituant 𝑛 égal quatre dans la formule, la somme des premiers 𝑛 termes d’une suite géométrique donne T indice un multiplié par un moins q à la puissance quatre sur un moins q est égal à 132. Ceci est notre deuxième équation. Maintenant, en regardant les deux équations que nous avons écrites, nous notons que les deux équations contiennent des facteurs de T indice un multiplié par un moins q à la puissance quatre. Nous pouvons réorganiser la première équation pour donner T indice un multiplié par un moins q à la puissance quatre est égal à 33 sur q et réorganiser la deuxième pour donner T indice un multiplié par un moins q à la puissance quatre est égal à 132 multiplié par un moins q.
Puisque les côtés gauches de ces deux équations sont identiques, nous pouvons alors assimiler les côtés droits, ce qui donnera une équation en fonction de q uniquement. 33 sur q est égal à 132 multiplié par un moins q. Nous cherchons maintenant à résoudre cette équation pour q. La première étape consiste à multiplier les deux côtés par q, ce qui donne 33 égale 132q multiplié par un moins q. Ensuite, nous distribuons les parenthèses sur le côté droit, ce qui donne 33 est égal à 132q moins 132q au carré. Puis, nous pouvons rassembler tous les termes sur le côté gauche de l’équation en ajoutant 132q au carré et en soustrayant 132q des deux côtés pour donner 132q au carré moins 132q plus 33 est égal à zéro.
Nous voyons maintenant que nous avons un polynôme du second degré en q. En fait, cette équation peut être simplifiée de manière assez significative car les trois coefficients sont des multiples de 33. Diviser par 33 donne alors le polynôme quatre q au carré moins quatre q plus un est égal à zéro. Cette équation du second degré peut être résolue en factorisant. Il s’agit d’un carré parfait. Quatre q au carré moins quatre q plus un est égal à deux q moins un multiplié par deux q moins un, ou simplement deux q moins un au carré. Nous trouvons q en plaçant l’expression à l’intérieur des parenthèses égale à zéro parce que si son carré est nul, il doit lui-même être nul. Nous avons donc deux q moins un est égal à zéro. Puis, en ajoutant un des deux côtés de cette équation et en divisant par deux, nous obtenons q est égal à un demi.
Nous avons donc trouvé la valeur de q, la raison de cette suite géométrique. Nous devrions être contents à ce stade, car on nous demande plus tard de trouver la somme à l’infini de cette suite géométrique. Or, pour pouvoir le faire, nous avons besoin que la valeur absolue de q soit inférieure à un, ce qui est le cas vu que q est égal à un demi. Ensuite, nous devons trouver la valeur de T indice un, le premier terme de la suite, ce que nous pouvons faire en substituant q est égal à un demi dans l’équation un. Cela donne T indice un multiplié par un demi multiplié par un moins un demi à la puissance quatre est égal à 33. Un demi à la puissance quatre vaut un sur 16 et un moins un sur 16 vaut 15 sur 16. Nous multiplions ensuite 15 sur 16 par un demi, ce qui donne 15 sur 32. Nous avons donc T indice un multiplié par 15 sur 32 est égal à 33.
Pour trouver la valeur de T indice un, nous devons multiplier les deux côtés de cette équation par l’inverse de 15 sur 32, soit 32 sur 15. Nous avons que T indice un est égal à 33 multiplié par 32 sur 15, soit 352 sur cinq. Nous avons donc trouvé le premier terme de la suite. Nous devons également trouver les deux termes suivants, puis la somme à l’infini. Faisons un peu d’espace pour le faire. Rappelez-vous, pour passer d’un terme à l’autre dans une suite géométrique, nous multiplions par la raison. Ainsi, si le premier terme est 352 sur cinq, le deuxième terme est 352 sur cinq multiplié par un demi, soit 176 sur cinq. Le terme suivant, le troisième, est de 176 sur cinq multiplié par un demi, soit 88 sur cinq.
Nous avons donc trouvé les trois premiers termes, nous devons maintenant calculer la somme à l’infini. Rappelez-vous, la formule est T indice un sur un moins q, où la valeur absolue de q doit être strictement inférieure à un. Nous avons donc 352 sur cinq multiplié par un sur un moins un demi. Maintenant, un moins un demi vaut un demi et un divisé par un demi vaut deux. Ainsi, cela se simplifie en 352 sur cinq multiplié par deux, soit 704 sur cinq. Nous avons donc résolu le problème. En calculant d’abord la raison et le premier terme de la suite, nous avons constaté que les trois premiers termes sont 352 sur cinq, 176 sur cinq et 88 sur cinq. Puis, la somme de tous les termes de cette suite géométrique est de 704 sur cinq.
