Vidéo de la leçon: Somme d’une suite géométrique infinie Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment calculer la somme d'une suite géométrique infinie. Commençons par rappeler ce que nous savons des suites géométriques.

Une suite géométrique est une suite qui a un rapport constant entre deux termes consécutifs appelé raison. Dans de tels cas, pour passer d’un terme au terme suivant, on multiplie par cette raison. Et on peut donc déterminer la valeur de la raison en divisant tout terme par le terme qui le précède. Maintenant, pour une suite géométrique de premier terme 𝑎 et de raison 𝑟, le 𝑛-ème terme est défini par 𝑢 𝑛 égale 𝑎 fois 𝑟 puissance 𝑛 moins un. Mais rappelons également qu’on peut déterminer la somme d’une suite géométrique finie. Et lorsqu’on additionne les termes d’une suite, on appelle cela une série.

Pour une série géométrique de premier terme 𝑎 et de raison 𝑟, la somme des 𝑛 premiers termes est 𝑎 facteur de un moins 𝑟 puissance 𝑛 sur un moins 𝑟. Il convient également de rappeler que cela équivaut à 𝑎 facteur de 𝑟 puissance 𝑛 moins un sur 𝑟 moins un. À présent, il n’est pas nécessaire de basculer entre ces deux formes, mais cela peut être utile si on doit effectuer des calculs à la main. Lorsque 𝑟 est supérieur à un, on a tendance à utiliser cette forme. Et si 𝑟 - la raison - est inférieur à un, on a tendance à utiliser cette forme.

Les formules que nous avons vues jusqu’ici sont vraiment utiles pour résoudre des problèmes impliquant des séries géométriques. Mais ce qui nous intéresse, c’est d’explorer comment utiliser ces dernières formules pour calculer la somme de tous les termes d’une série géométrique. Alors, à ce stade, vous pensez peut-être que ce n’est pas possible. En effet, une série contient un nombre infini de termes, et nous nous attendons donc à ce que la somme soit un nombre infiniment grand. Et dans une certaine mesure, c’est vrai. Par exemple, prenons la suite deux, quatre, huit, 16 et 32. La raison ici est deux. Et donc, au fur et à mesure qu’on avance dans cette suite, les termes deviennent de plus en plus grands. Il s’ensuit que la somme de tous les termes ne serait pas un nombre que nous pouvons calculer.

Mais qu’en est-il de cette suite 32, 16, huit, quatre, deux, etc. Cette fois, la raison est un-demi. Et donc, chaque fois on divise les termes par deux. Cela signifie que nos termes deviendront de plus en plus petits. En fait, lorsque le nombre de termes de notre série géométrique tend vers l’∞, les termes eux-mêmes tendent vers zéro. Et cela signifie que la somme de ces termes se rapprochera en fait d’une valeur finie. Mais quelle est la différence ici ? Pourquoi peut-on calculer la somme de tous les termes de notre deuxième suite, mais pas la première ? Eh bien, c’est parce que les termes deviennent de plus en plus petits, et cela ne se produit que lorsque la raison est un nombre compris entre moins un et un.

En fait, nous allons généraliser un peu plus, et dire que si la valeur absolue de la raison est strictement inférieure à un, alors la série géométrique est convergente, autrement dit, si 𝑟 est strictement supérieur à moins un et strictement inférieur à un. Et si la série est convergente, alors on peut calculer la somme à l’∞. Alors, comment peut-on utiliser ce fait pour trouver la somme de tous nos termes ? Revenons à l’une de nos formules 𝑆 𝑛 et réfléchissons à ce qui se passe lorsque 𝑛 tend vers l’∞. Eh bien, puisque le module de 𝑟 est strictement inférieur à un - en d’autres termes, il s’agit d’un nombre compris strictement entre moins un et un - lorsque la valeur de 𝑛 augmente, 𝑟 puissance 𝑛 diminue. Lorsque 𝑛 tend vers l’∞, 𝑟 puissance 𝑛 tend vers zéro. Et donc, cela signifie que la somme de 𝑛 doit tendre vers 𝑎 facteur de un moins zéro sur un moins 𝑟, ce qui revient plus simplement à 𝑎 sur un moins 𝑟.

Formalisons cela. On peut dire que pour une série géométrique convergente, la somme à l’∞ est égale à 𝑎 sur un moins 𝑟. Il est très, très important de réaliser que si la série n’est pas convergente - en d’autres termes, si le module de la raison n’est pas strictement inférieur à un – on ne peut pas calculer la somme d’un nombre infini de termes. Maintenant que nous avons une définition, nous allons considérer quelques exemples. Dans le premier, nous allons identifier les suites pour lesquelles on peut calculer la somme à l’∞.

Pour laquelle des suites géométriques suivantes peut-on calculer la somme à l’∞ ?

Et on nous donne cinq suites au choix. Nous commençons par rappeler qu’une suite géométrique est une suite qui a une rapport commun entre les termes, appelé raison. Le 𝑛-ème terme d’une suite géométrique est 𝑎𝑟 puissance 𝑛 moins un, où 𝑎 est le premier terme et 𝑟 est la raison. À présent, on peut calculer la somme à l’∞ d’une suite géométrique si elle est convergente. Et cela se produit lorsque le module de 𝑟 ou la valeur absolue de 𝑟, où 𝑟 est la raison, est strictement inférieur à un.

Maintenant, on sait que toutes ces suites sont des suites géométriques et notre travail consiste donc à trouver la raison. Commençons par la suite (A). On a huit fois six puissance 𝑛 moins cinq. Nous allons devoir écrire ceci sous cette forme : 𝑎 fois 𝑟 puissance 𝑛 moins un. Et nous pouvons utiliser l’une de nos règles sur les exposants. Nous savons que lorsqu’on multiplie deux termes exponentiels de même base, on ajoute simplement leurs exposants. Et donc, on peut utiliser cela dans l’autre sens et dire que « Eh bien, six puissance 𝑛 moins cinq est égal à six puissance moins quatre fois six puissance 𝑛 moins un ». Six puissance moins quatre, est par ailleurs égal à un sur six puissance quatre. Et donc, nous pouvons réécrire ceci comme huit sur six puissance quatre fois six puissance 𝑛 moins un.

Si on compare cela au 𝑛-ème terme général d’une suite géométrique, on constate que 𝑎, qui est le premier terme de cette suite, est huit sur six puissance quatre. 𝑟, cependant, est égal à six. Maintenant, il apparait évident que six n’est pas inférieur à un. Nous pouvons donc dire que la suite (A) n’est pas convergente et on ne peut calculer sa somme à l’∞.

Et donc, passons à la suite (B). Cette fois, nous rappelons qu’on peut calculer la raison en divisant un terme par le terme qui le précède. Et ainsi, dans ce cas, nous pouvons diviser trois sur vingt-huit par un sur vingt-huit. Et puisque les dénominateurs de ces fractions sont les mêmes, on a trois divisé par un soit, trois. Encore une fois, trois n’est pas inférieur à un. Et ainsi, la suite (B) n’est pas convergente et on ne peut pas calculer sa somme à l’∞.

Examinons maintenant la suite (C). Encore une fois, nous allons calculer la raison en divisant le deuxième terme par le premier. Le résultat serait le même si on divisait le troisième terme par le deuxième et ainsi de suite. Une méthode pour facilement diviser les fractions est de les mettre au même dénominateur. Ainsi, si on multiplie 263 par cinq, on obtient 1315. Donc, 263 est équivalent à mille trois cent quinze sur cinq. On divise ensuite les numérateurs. Et on obtient que 𝑟 est égal à moins 789 sur 1315. Cette valeur de 𝑟 est comprise strictement entre moins un et un. Et donc, on peut dire que la valeur absolue de la raison de cette suite est strictement inférieure à un. Cela signifie qu’elle est convergente et qu’on peut calculer sa somme à l’∞.

Vérifions les deux autres suites. En divisant le deuxième terme par le premier dans la suite (D), on peut voir que la valeur absolue de la raison n’est pas inférieure à un, et ça ne peut donc pas être (D). Et en fait, on obtient la même valeur pour la raison de la suite (E). Et cela nous confirme donc que la seule suite géométrique de cette liste dont on peut calculer la somme à l’∞ est (C).

Dans l’exemple suivant, nous allons calculer la somme d’une série géométrique.

Calculez la somme de la série géométrique 13 sur deux plus 13 sur quatre plus 13 sur huit, et ainsi de suite.

On ne nous donne pas le nombre de termes pour trouver la somme de cette série géométrique. Et donc, nous devons supposer que nous allons trouver la somme de tous les termes. Autrement dit, nous devons calculez la somme à l’∞ de cette série. Donc, nous rappelons que pour une série géométrique de premier terme 𝑎 et de raison 𝑟, la somme à l’∞ est 𝑎 sur un moins 𝑟. Mais cette formule ne peut être utilisée que si la valeur absolue de la raison est strictement inférieure à un. Ainsi, la première chose que nous allons faire est simplement de vérifier si cette série géométrique est convergente et donc si la valeur absolue de 𝑟 est inférieure à un.

Maintenant, nous savons que, pour une suite géométrique, on peut déterminer la valeur de la raison en divisant un terme par le terme qui le précède. Divisons le deuxième terme par le premier. Ainsi, la raison est 13 sur quatre divisé par 13 sur deux. Et une technique pour facilement diviser des fractions est les mettre au même dénominateur. Si on multiplie le numérateur et le dénominateur de 13 sur deux par deux, on obtient 26 sur quatre. Et ainsi, une fois que les dénominateurs sont égaux, on divise simplement les numérateurs. Donc, la raison est 13 sur 26, ce qui est égal à un-demi. Maintenant, la valeur absolue d’un-demi est simplement un-demi, et c’est bien strictement inférieur à un. Cela signifie que notre série géométrique est convergente, et nous pouvons calculer sa somme à l’∞.

𝑎, le premier terme de notre série, est clairement 13 sur deux. Et nous venons de voir que 𝑟 est égal à un-demi. Cela signifie que la somme à l’∞ de notre série est 13 sur deux divisé par un moins un demi. Maintenant, un moins un demi est égal à un demi. Donc, on calcule 13 sur deux divisé par un-demi. Et puisque les dénominateurs sont égaux, on divise simplement les numérateurs. Cela nous indique que la somme à l’∞ est 13 divisé par un, soit, 13. Maintenant, puisque la somme à l’∞ est la somme de tous les termes de notre série géométrique, nous avons terminé. La somme de la série géométrique donnée est 13.

Nous allons maintenant voir comment trouver la somme d’une suite géométrique infinie connaissant deux de ses termes.

Calculez la somme d’une suite géométrique infinie, sachant que le premier terme est 171 et le quatrième terme 171 sur 64.

Nous savons qu’on peut calculer la somme d’une suite géométrique convergente en utilisant de la formule somme à l’∞ qui est égale à 𝑎 sur un moins 𝑟. Et la suite est dite convergente si la valeur absolue de sa raison est strictement inférieure à un. Maintenant, 𝑎 est le premier terme de la suite et on sait que le premier terme est 171. Mais quelle est la valeur de la raison ? Eh bien, nous allons utiliser la formule générale du 𝑛-ème terme dans une suite géométrique pour trouver cela.

C’est 𝑎 fois 𝑟 puissance 𝑛 moins un, où encore une fois 𝑎 est le premier terme et 𝑟 est la raison. Nous allons combiner cela avec le fait que le quatrième terme de la suite est 171 sur 64. Et cela signifie que 𝑢 quatre vaut 171, qui est 𝑎, fois 𝑟 puissance quatre moins un ou 𝑟 au cube. Mais en fait, nous connaissons la valeur de 𝑢 quatre. C’est 171 sur 64. Et donc, notre équation est 171 sur 64 est égal à 171 fois 𝑟 au cube. Divisons les deux membres de cette équation par 171. Et ainsi, 𝑟 au cube est égal à un sur 64.

On peut déterminer 𝑟 en prenant la racine cubique de chaque membre et obtenir que 𝑟 est la racine cubique de un sur 64, ce qui est simplement égal à un quart. La valeur absolue d’un quart est un quart ; c’est inférieur à un. Et donc, nous avons confirmé que la suite géométrique est en effet convergente. Et nous connaissons maintenant la valeur de 𝑎, qui est 171 et de 𝑟.

Remplaçons tout ce que nous savons dans la formule. On obtient 171 sur un moins un quart comme étant la somme à l’∞, en d’autres termes, la somme de tous les termes de notre suite. Cela fait 171 sur trois quarts. Maintenant, bien sûr, diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. C’est donc équivalent à 171 fois quatre sur trois. Ensuite, on simplifie en divisant 171 et trois par trois, ce qui nous donne 57 fois quatre sur un, ce qui correspond à 57 fois quatre. Et c’est égal à 228. Et nous pouvons donc dire que la somme d’une suite géométrique infinie de premier terme 171 et de quatrième terme 171 sur 64 est 228.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment utiliser cette même méthode pour écrire un nombre rationnel non décimal sous la forme d’une fraction.

Exprimez 0,375 barre sous la forme d’une fraction.

À présent, à première vue, il peut sembler que cela n’a rien à voir avec la somme d’une série géométrique. Cependant, regardons l’écriture décimale infinie 0,375 barre et trouvons une autre manière de l’écrire. Nous savons que chacun des chiffres trois sept cinq se répète à l’infini. Donc, c’est 0,375375375 et ainsi de suite. Et ainsi, on peut séparer ce nombre décimal, et dire que c’est la somme de 0,375, 0,000375 et 0,000000375. Il pourrait même être utile d’écrire chacun de ces nombres sous forme d’une fraction décimale, soit 375 sur 1000, 375 sur un million, et ainsi de suite.

En effet, nous avons maintenant une série géométrique. La raison de cette série est un millième. Maintenant, nous pourrions nous convaincre que c’est vrai en divisant un terme par le terme qui le précède. Et puisque la valeur absolue d’un millième est un millième et que c’est strictement inférieur à un, on peut dire que la série géométrique que nous avons créée est convergente. Et puisqu’elle est convergente, on peut calculer sa somme à l’∞. Autrement dit, on peut additionner tous ses termes. La formule que nous utilisons est 𝑎 sur un moins 𝑟, où 𝑎 est le premier terme et 𝑟 est la raison.

Maintenant, on voit que le premier terme de notre série est 375 sur 1000, et que 𝑟 vaut un sur 1000. Et donc, notre somme à l’∞ doit être le quotient de 375 sur 1000 par un moins un sur 1000. Le dénominateur de cette fraction devient 999 sur 1000. Et on voit qu’on doit diviser une paire de fractions de même dénominateur. Dans ce cas, on peut simplement calculer le quotient en divisant leurs numérateurs. Soit 375 sur 999. Dans la mesure du possible, nous devons simplifier notre fraction. Et on peut en effet diviser le numérateur et le dénominateur de notre quotient par trois. Lorsqu’on le fait, on a 375 divisé par trois égal 125 et 999 divisé par trois égal 333. La somme de notre série géométrique, qui, nous l’avons dit était 0,375 barre, est de 125 sur 333. Et donc, nous avons écrit notre nombre rationnel non décimal sous la forme d’une fraction.

Récapitulons les points clés de cette leçon. Dans cette leçon, nous avons appris que si la valeur absolue de la raison 𝑟 d’une suite géométrique est strictement inférieure à un, on dit alors que cette suite est convergente. Nous avons vu que lorsqu’on calcule la somme de tous les termes d’une suite géométrique, on appelle cela une série. Et si tel est le cas, si la valeur absolue de 𝑟 est strictement inférieure à un pour cette série, on peut calculer sa somme. Autrement dit, on peut calculer la somme de tous ses termes. On appelle cela la somme à l’∞ de la série. Et on la calcule en divisant 𝑎 qui est le premier terme par 1 moins 𝑟, où 𝑟 est la bien sûr, la raison. Enfin, nous avons vu qu’en exprimant un nombre rationnel non décimal comme une série géométrique, on peut utiliser cette expression pour l’écrire sous forme de fraction.