Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer la somme des termes de suites géométriques.
Une suite géométrique est une suite dont toutes les paires de termes consécutifs ont le même rapport. Nous pouvons calculer ce rapport, appelé la « raison », en divisant un terme quelconque de cette suite par le terme qui le précède.
Par exemple, la suite suivante est géométrique :
Cette suite a une raison égale à 3 car chaque terme peut être calculé en multipliant le terme précédent par 3.
Si l’on se donne une suite géométrique de premier terme et de raison , alors cette suite est donnée par :
On remarque maintenant que l’exposant de de chaque terme est égal à l’indice du terme moins 1, de sorte que le terme général de la suite est de la forme .
Observons ce que nous obtenons lorsque l’on divise un terme par le terme qui le précède :
Quelle que soit la paire de termes consécutifs choisis, leur rapport est le même : il s’agit de la raison.
Généralisons cela.
Définition :
Une suite géométrique est une suite dont tous les termes consécutifs ont le même rapport, appelé la raison. Le terme général d’une suite géométrique de premier terme et de raison est donné par
Une série géométrique est la somme d’un nombre donné de termes d’une suite géométrique. Une série peut être finie ou infinie.
Définition :
La raison d’une suite géométrique dont le ième terme est est donnée par
La raison peut aussi être obtenue en calculant le rapport
Revenons maintenant à notre exemple de suite géométrique précédent :
Nous remarquons qu’à mesure que l’indice augmente, la valeur du terme croit exponentiellement. On pourrait alors en déduire que si on calculait la somme d’un grand nombre de termes, notre résultat serait particulièrement grand. En effet, dans le cas de cette suite, lorsque tend vers l’infini, la somme des termes tend vers l’infini.
Ce n’est toutefois pas toujours le cas. En effet, bien que cela puisse paraître contre-intuitif, il peut arriver que des suites géométriques aient une somme finie. Ce type de suite apparait, par exemple, lors du calcul de l’aire de certaines fractales, comme le flocon de Koch, ou bien lors du calcul de la forme fractionnaire de nombres dont le développement décimal est ultimement périodique.
Quand une suite géométrique a une somme finie, on dit que la série (c’est-à-dire la somme de tous les termes) est convergente. Pour qu’une série géométrique soit convergente, nous avons besoin que les termes successifs décroissent exponentiellement vers 0. Pour que cela se produise, la raison doit être dans l’intervalle .
Par exemple, la suite ci-dessous a pour raison et est convergente ; lorsque tend l’infini, tend vers zéro, ce qui signifie que nous pouvons calculer la somme de la suite :
Définition :
Une série géométrique est dite convergente si la valeur absolue de sa raison est strictement inférieure à 1 :
Afin de trouver une formule pour exprimer la somme partielle des termes d’une suite géométrique, considérons d’abord la série géométrique de premier terme et de raison avec termes :
En multipliant cette équation par , on obtient
Nous pouvons maintenant soustraire la deuxième équation à la première puis factoriser des deux côtés. Remarquez que la plupart des termes s’annulent entre eux lors de la soustraction dans le membre de droite :
En divisant les deux côtés de cette équation par , on déduit la formule de la somme partielle des premiers termes d’une suite géométrique de premier terme et de raison :
Nous avons dit dans ce qui précède que, dans le cas des séries convergentes, .
Ainsi, lorsque tend vers l’infini, tend vers zéro.
En d’autres termes, si , alors .
On peut alors étudier le comportement de cette série géométrique convergente lorsque tend vers l’infini. Si ,
On appelle parfois cela la somme d’une série géométrique.
Définition : Somme d’une série géométrique
Si la raison, notée , vérifie , alors la somme de la série géométrique de premier terme est donnée par
Étudions à présent une question qui nous demande d’appliquer la condition de convergence des séries géométriques en fonction de leur raison, et de calculer la somme d’une série géométrique convergente.
Exemple 1: Calculer la somme des termes d’une suite géométrique
Calculez la somme de la série géométrique donnée par .
Réponse
Si la raison, notée vérifie , alors la somme des termes de la suite géométrique de premier terme est donnée par
Ici, le premier terme de la suite est , nous devrons donc calculer la raison . Nous pouvons la calculer en divisant un terme par son prédécesseur, on choisit donc de calculer le rapport des deux premiers termes :
La raison étant strictement inférieure à 1 en valeur absolue, nous pouvons déterminer la limite de cette série en posant et :
La série a donc une somme égale à 13.
Dans le prochain exemple, nous allons appliquer la même technique dans le cas d’une suite géométrique dont la raison est une racine carrée.
Exemple 2: Calculer la raison d’une suite géométrique et de la somme de ses termes, si elle existe
Considérons la série .
La série est géométrique. Quelle est sa raison ?
Cette série est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa somme ?
Réponse
Partie 1
La raison d’une suite géométrique, est obtenue en divisant un terme de la série par le terme qui le précède. Calculons le rapport des deux premiers termes :
La raison est égale à .
Notez que nous obtiendrions le même résultat si nous divisions le troisième terme par le deuxième, ou même n’importe quel terme par le terme qui le précède !
Partie 2
Une série géométrique est convergente si , ou .
Ici, on a , la série est donc convergente. On peut donc calculer la somme de la série de premier terme et de raison en appliquant la formule avec et :
Pour simplifier on réduit les deux fractions au même dénominateur :
La somme de la série est maintenant
Pour finir, il nous faut avoir un nombre rationnel au dénominateur, ce que l’on obtient par multiplication par le conjugué de . Le conjugué est trouvé en changeant le signe entre les deux termes :
En factorisant cette expression, on trouve
La série est bien convergente, de somme .
Dans nos deux exemples précédents, nous avons établi l’existence d’une somme et nous avons calculé cette somme en fonction des premiers termes de la série. On peut aussi utiliser l’expression du -ième terme d’une suite géométrique pour obtenir le même résultat.
Exemple 3: Calculer la somme des termes d’une suite géométrique étant donnée l’expression de son terme général
Calculez la somme des termes de la suite géométrique de premier terme et de -ième terme .
Réponse
Le terme général d’une série géométrique de premier terme et de raison est
En comparant l’expression de ce terme à la suite donnée dans l’énoncé, on peut constater qu’elles ne sont pas tout à fait les mêmes. Au lieu de cela, nous pouvons utiliser l’expression du -ième terme donné dans l’énoncé pour calculer les deux premiers termes.
Pour ,
Pour ,
Le premier terme est donc 3 et la raison est .
Puisque la raison est dans l’intervalle , la série est convergente et nous pouvons déterminer sa somme en utilisant la formule avec et :
Comme mentionné précédemment, cette technique s’applique à d’autres cas que le seul calcul de la somme d’une série. Nous pouvons, en effet, trouver l’écriture fractionnaire d’un nombre dont le développement décimal est périodique en traitant ce nombre comme une série.
Exemple 4: Nombre à développement décimal périodique
Exprimez le nombre sous la forme d’une fraction via le calcul d’une somme d’une série géométrique.
Réponse
On a .
On peut donc écrire ce nombre comme la somme puis écrire chacun des termes sous forme de fraction :
Il s’agit d’une série géométrique de premier terme et de raison . Puisque la raison est dans l’intervalle , cette série est convergente et on peut donc calculer sa somme.
En utilisant la formule avec et , on trouve
En simplifiant complètement, on constate que le nombre d’écriture décimale périodique est égal à .
Regardons maintenant comment cette technique diffère lorsqu’on l’applique à un nombre dont l’écriture décimal comporte une pré-période.
Exemple 5: Nombre à écriture décimale ultimement périodique.
Exprimez le nombre d’écriture décimale sous forme de fraction en calculant une somme de série géométrique.
Réponse
On a .
On peut donc réécrire ce nombre de la façon suivante
La somme , est une série géométrique de premier terme . La raison est égale à .
Comme la valeur absolue de ce rapport commun est strictement inférieure à 1, cette série est convergente et nous pouvons calculer sa somme.
En utilisant la formule avec et on obtient
En simplifiant complètement, on constate que le nombre d’écriture décimale est égal à .
Ainsi,
Donc le nombre s’écrit, sous forme d’une fraction, .
Dans notre prochain exemple, nous allons voir comment déterminer la somme d’une série géométrique à partir de la valeur de deux des termes de sa suite associée. Pour ce faire, nous allons devoir utiliser la formule du terme général d’une suite géométrique pour pouvoir en en déduire la valeur de la raison.
Exemple 6: Calculer la somme des termes d’une suite géométrique sachant deux de ses termes
Calculez la somme des termes de la suite géométrique de premier terme 171 et de quatrième terme .
Réponse
Une série géométrique est convergente si , ou , où est la raison.
Dans ce cas, la somme d’une série géométrique de premier terme est donnée par
Notez que, puisque l’on connait les valeurs du premier et quatrième terme, nous devons nous en servir pour calculer la raison de cette suite.
Nous utiliserons l’expression générale du -ième terme d’une suite géométrique sur les termes et :
Pour résoudre cette équation en , nous allons diviser par 171 des deux côtés, puis appliquer la racine cubique dans les deux membres :
Comme la valeur absolue de la raison est strictement inférieure à 1, cette série est convergente et nous pouvons calculer sa somme.
En utilisant la formule avec et , on obtient
La somme des termes de la suite géométrique est donc égale à 228.
Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment déterminer le premier terme d’une suite géométrique à l’aide de l’expression de la somme de sa série.
Exemple 7: Calculer le premier terme d’une suite géométrique de raison et de somme données
Calculez le premier terme de la suite géométrique de raison et de somme .
Réponse
Si la raison vérifie , alors la somme des termes de la suite géométrique de premier terme est donnée par
En posant , on constate que la valeur absolue de satisfait bien la condition de convergence de la série.
En posant , l’expression de la somme de la série devient
Pour résoudre cette équation en , le premier terme de la suite, on multiplie des deux côtés par :
La suite géométrique est donc de premier terme .
Points clés
- Une série géométrique est dite convergente si la valeur absolue de la raison est strictement inférieure à 1 :
- La somme des termes d’une suite géométrique de premier terme est donnée par
- En exprimant un nombre dont le développement décimal est ultimement périodique sous la forme d’une série géométrique, on peut trouver son écriture fractionnaire par le calcul de la somme de cette série.
