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Quel est l’argument du nombre complexe moins six?
Dans cette question, on nous demande de trouver l’argument d’un nombre complexe. Et ce nombre complexe est moins six. Et il y a quelque chose qui mérite d’être souligné ici. Nous pourrions ne pas être habitués à considérer moins six comme un nombre complexe. Cependant, tout nombre réel peut être considéré comme un nombre complexe dont la partie imaginaire est égale à zéro. Donc, toute question que nous pouvons nous poser sur les nombres complexes peut également être posée sur les nombres réels.
Dans cette question, nous voulons trouver l’argument de ce nombre complexe. Commençons donc par rappeler ce que nous entendons par l’argument d’un nombre complexe. Nous rappelons que l’argument d’un nombre complexe 𝑧, noté arg de 𝑧, est égal à une valeur 𝜃 où 𝜃 est l’angle que 𝑧 fait avec l’axe des réels positifs dans le plan complexe. Et il y a quelques points qui méritent d’être soulignés au sujet de cette définition.
Tout d’abord, l’argument d’un nombre complexe est l’angle formé dans le plan complexe par la demi-droite reliant l’origine à notre point 𝑧 et l’axe des réels positifs. Ensuite, cet angle est positif lorsque nous le mesurons dans le sens antihoraire et négatif si nous le mesurons dans le sens horaire. Et nous mesurons généralement cet angle en radians. Cependant, nous pouvons également mesurer cet angle en degrés. Et la dernière chose à souligner est que l’argument d’un nombre complexe 𝑧 n’est pas unique. Tout comme avec tout autre angle que nous mesurons de cette manière, il y a beaucoup d’angles équivalents. Par exemple, l’angle zéro, 360 degrés et 720 degrés sont tous équivalents.
Donc, pour trouver l’argument d’un nombre complexe, nous allons commencer par le représenter dans le plan complexe. Rappelez-vous que dans le plan complexe, l’axe horizontal représente la partie réelle des nombres complexes et l’axe vertical représente la partie imaginaire des nombres complexes. Puisque nous voulons trouver l’argument de moins six, qui est un nombre réel, nous connaissons déjà ces valeurs. La partie réelle de moins six est égale à elle-même soit moins six. Et puisque c’est un nombre réel, il n’a pas de partie imaginaire. La partie imaginaire de moins six est donc égale à zéro.
Donc, concernant notre point, nous voulons que la partie imaginaire soit égale à zéro et que la partie réelle soit égale à moins six. Donc, ce point se trouve simplement sur l’axe des réels en moins six. Et si nous le souhaitons, nous pouvons donner un nom à ce point. Nous pouvons appeler notre nombre complexe 𝑧. Mais ce n’est pas absolument nécessaire. Maintenant, pour trouver les arguments de ce nombre complexe, nous allons devoir le relier à l’origine via une demi-droite ou un segment. Et l’argument de notre nombre complexe va être tout angle que ce segment va faire avec l’axe des réels positifs. Et peu importe celui que nous choisissons. Ils seront tous les arguments de notre nombre complexe.
Nous choisirons de mesurer notre angle dans le sens antihoraire et de le rendre aussi petit que possible. Habituellement, pour trouver l’argument d’un nombre complexe, nous utilisons la trigonométrie. Cependant, ce n’est pas nécessaire dans ce cas. Nous pouvons voir que 𝜃 est simplement un angle plat. Et parce qu’il est mesuré dans le sens antihoraire, nous savons qu’il sera positif. Donc, 𝜃 va simplement être égal à 𝜋.
Par conséquent, nous avons montré que l’argument du nombre complexe moins six est égal à 𝜋. Cependant, il convient de souligner quelque chose ici. Cela serait vrai pour tout nombre réel négatif. Par exemple, si nous voulions trouver l’argument d’un nombre réel 𝑎 qui serait négatif, nous aurions construit notre segment de la même manière et aurions choisi exactement le même angle 𝜃, ce qui signifie que nous avons en fait prouvé un résultat. L’argument d’un nombre réel négatif est égal à 𝜋. Nous aurions donc pu utiliser ce résultat directement pour répondre à notre question. Par conséquent, nous avons pu montrer deux façons différentes de trouver l’argument du nombre complexe moins six. Dans les deux cas, nous avons établi qu’il était égal à 𝜋.
