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On pose 𝑧 est égal à moins 28 plus 96𝑖. Déterminez les racines carrées de 𝑧 sans écrire le nombre sous la forme trigonométrique.
Puisque nous voulons trouver les racines carrées du nombre complexe 𝑧 est égal à moins 28 plus 96𝑖, écrivons les racines carrées comme 𝑧 à la puissance un demi est égal à 𝑤 qui est égal à 𝑥 plus 𝑖𝑦. Cela signifie alors que 𝑧 est égal à 𝑤 au carré. Ainsi, nous avons 𝑧 qui est égal à moins 28 plus 96𝑖, qui est égal à 𝑥 plus 𝑖𝑦 au carré. Si nous développons le côté droit et le rendons égal à 𝑧, la comparaison des parties réelles et imaginaires nous donne moins 28 est égal à 𝑥 au carré moins 𝑦 au carré et 96 est égal à deux 𝑥𝑦.
Notre deuxième équation nous dit que 𝑥𝑦 est égal à 96 sur deux, soit 48. Cela nous dit que 𝑥 et 𝑦 doivent être de mêmes signes. En effet, un positif fois un positif donne un positif et un négatif fois un négatif donne également un positif. Maintenant, rappelons que le module d’un nombre complexe 𝑧 de la forme 𝑎 plus 𝑖𝑏 est égale à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré, de sorte que le module au carré est égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Nous savons aussi que le carré du module de 𝑤, qui est notre racine, est égal au module de notre nombre complexe initial 𝑧. Autrement dit, 𝑥 carré plus 𝑦 carré est égal à la racine carrée de moins 28 au carré plus 96 au carré. Cela équivaut à la racine carrée de 10000, ce qui vaut 100, de sorte que 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré est égal à 100.
Maintenant, nous avons un système de deux équations que nous pouvons résoudre pour trouver 𝑥 et 𝑦. Autrement dit, 𝑥 carré moins 𝑦 carré vaut moins 28 et 𝑥 carré plus 𝑦 carré vaut 100. Si nous appelons ces équations un et deux et que nous les additionnons, nous avons deux 𝑥 au carré est égal à 28 moins 100. Autrement dit, deux 𝑥 au carré vaut 72. Cela nous donne 𝑥 au carré est égal à 36, de sorte que 𝑥 est égal à plus ou moins six. Si nous substituons la valeur de 𝑥 au carré, soit 36, dans l’équation deux, nous avons 36 plus 𝑦 au carré est égal à 100. Autrement dit, 𝑦 au carré vaut 100 moins 36, soit 64.
Cela nous donne 𝑦 est égal à plus ou moins huit. Nous avons donc 𝑥 est égal à plus ou moins six et 𝑦 est égal à plus ou moins huit. Rappelez-vous que 𝑥 et 𝑦 doivent avoir les mêmes signes, de sorte que les racines carrées de 𝑧 est égal à moins 28 plus 96𝑖 doivent être six plus huit 𝑖 et moins un fois six plus huit 𝑖.
