Transcription de la vidéo
Déterminez les dimensions du corral rectangulaire ayant la plus grande aire avec 200 pieds de clôture.
Pour résoudre un problème comme celui-ci, qui demande de trouver la plus grande ou la plus petite valeur, il faut recourir à l’optimisation. Les valeurs maximale et minimale d’une fonction sont atteintes lorsque la dérivée d𝑦 sur d𝑥 est égale à zéro. Si la dérivée seconde d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est supérieure à zéro, il s’agit d’une valeur minimale. Si d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est inférieure à zéro, il s’agit d’une valeur maximale. Résolvons maintenant le problème posé. Considérons un rectangle de largeur 𝑥 pieds et de longueur 𝑦 pieds. Le périmètre de ce rectangle est égal à deux 𝑥 plus deux 𝑦 et l’aire du rectangle est égale à 𝑥 multiplié par 𝑦.
On sait que la clôture mesure 200 pieds. Par conséquent, le périmètre mesure 200 pieds. La première équation devient deux 𝑥 plus deux 𝑦 égale 200. En divisant chaque côté de cette équation par deux, on obtient 𝑥 plus 𝑦 égale 100. En soustrayant 𝑥 de chaque côté de l’équation, on obtient 𝑦 est égal à 100 moins 𝑥. On peut maintenant utiliser ce résultat dans la deuxième équation. L’aire du rectangle est égale à 𝑥 multiplié par 100 moins 𝑥. En développant les parenthèses, on trouve 100𝑥 moins 𝑥 au carré. On peut maintenant chercher les dimensions qui maximisent l’aire en dérivant cette expression.
Si 𝐴 égale 100𝑥 moins 𝑥 au carré, alors d𝐴 sur d𝑥 égale 100 moins deux 𝑥. On peut dériver chacun des termes individuellement. En fixant la dérivée égale à zéro, on trouve 100 moins deux 𝑥 égale zéro. Ajoutons deux 𝑥 de chaque côté, on obtient deux 𝑥 égale 100. Enfin, en divisant par deux, on trouve une valeur de 𝑥 égale à 50. On sait que 𝑦 est égal à 100 moins 𝑥. On peut donc utiliser cette valeur dans l’équation. 100 moins 50 est égal à 50. Donc 𝑦 est aussi égal à 50. Maintenant qu’on a trouvé la réponse, il est important de vérifier que cette valeur est bien une valeur maximale.
d𝐴 sur d𝑥 est égal à 100 moins deux 𝑥. En dérivant une deuxième fois, on obtient d deux 𝐴 sur d𝑥 au carré. La dérivée d’une constante — ici, 100 — est nulle. Et la dérivée de moins deux 𝑥 est moins deux. Par conséquent, d deux 𝐴 sur d𝑥 au carré est égal à moins deux. Maintenant, remplaçons 𝑥 par sa valeur dans la fonction. Mais la fonction est constante, égale à moins deux. En effet, l’équation de 𝐴 est une parabole tournée vers le bas, qui n’a donc qu’un seul extremum. Il s’agit d’un maximum car d deux 𝐴 sur d𝑥 au carré est négatif. Les dimensions associées à la surface maximale sont 50 pieds par 50 pieds.
