Vidéo : Utiliser des dérivées dans les problèmes d’optimisation

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer les dérivées à des problèmes de la vie courante afin d’optimiser une fonction sous certaines contraintes.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous verrons une des applications pratiques de la dérivation aux problèmes d’optimisation. C’est-à-dire les problèmes où l’on nous demande de déterminer la valeur maximale ou minimale d’une fonction donnée comme le temps, l’aire ou le périmètre. Nous serons en mesure de répondre à des questions telles que : quelle est l’aire maximale que je peux entourer avec une longueur de clôture donnée, ou quel est le point le plus haut atteint par une fusée suivant une courbe donnée. Dans certains exemples, nous verrons également comment former nous-mêmes la fonction d’optimisation et les contraintes éventuelles à partir d’une description formulée.

Nous rappelons tout d’abord quelques faits clés sur l’utilisation de la dérivation pour trouver les points critiques d’une fonction. Les points critiques d’une fonction sont les points dans son ensemble de définition où sa dérivée première, 𝑓 prime de 𝑥, égale zéro ou est indéfinie. Pour trouver la valeur de 𝑥 en un point critique, nous pouvons dériver la fonction pour trouver sa fonction du gradient, ou le coefficient directeur, puis l’égaler à zéro et résoudre l’équation qui en résulte. Nous pouvons trouver la valeur de la fonction elle-même au point critique en substituant la ou les valeurs 𝑥 dans la fonction.

Nous devons également nous rappeler de confirmer que notre point critique est bien un maximum ou un minimum en appliquant le test de la dérivée seconde. Rappelons qu’à un maximum local, la dérivée seconde 𝑓 double prime de 𝑥 sera négative, alors qu’à un minimum local, la dérivée seconde 𝑓 double prime de 𝑥 sera positive. Nous allons maintenant voir comment appliquer ces principes clés à certains problèmes d’optimisation.

Une fusée est lancée dans les airs. Sa hauteur, en mètres, en fonction du temps est donnée par la relation ℎ de 𝑡 égale moins 4.9𝑡 au carré plus 229𝑡 plus 234. Déterminez la hauteur maximale atteinte par la fusée.

On nous donne une équation pour la hauteur ℎ de cette fusée en fonction du temps 𝑡. Et on nous demande de déterminer la hauteur maximale que la fusée atteint. Pour ce faire, nous pouvons suivre certaines étapes clés. Tout d’abord, nous devons trouver une expression pour la dérivée première de notre fonction. Dans ce cas, c’est ℎ prime de 𝑡. En appliquant la règle de puissance de la dérivation, nous constatons que ℎ prime de 𝑡 égale moins deux fois 4.9𝑡 plus 229, ce qui est simplifié en 9.8𝑡 plus moins 229.

Ensuite, nous rappelons qu’aux points critiques de la fonction, la dérivée première égale zéro. Donc, nous allons prendre l’expression que nous avons trouvée pour ℎ prime de 𝑡, l’égaler à zéro, et ensuite résoudre l’équation résultante pour 𝑡. Nous ajoutons 9.8𝑡 aux deux côtés et divisons ensuite par 9.8 pour donner 𝑡 égale 229 sur 9.8, qui, comme nombre décimal, est 23.36734, ou 23.37 au centième près. Maintenant, c’est la valeur de 𝑡 où notre fonction ℎ de 𝑡 a un point critique. Nous ne savons pas encore si c’est un maximum. Et nous ne connaissons pas encore la hauteur que la fusée atteint en ce point.

Notre étape suivante est donc d’évaluer la fonction ℎ de 𝑡 lorsque 𝑡 égale 23.37. La substitution dans notre équation ℎ de 𝑡 donne ℎ de 23.37 égale moins 4.9 fois 23.37 au carré plus 229 fois 23.37 plus 234. Qui vaut 2909.56119, ou 2909.56 au centième près. Nous pensons que c’est la hauteur maximale atteinte par la fusée lorsque cela se produit au seul point critique de la fonction. Mais nous devons confirmer qu’il s’agit bien d’un maximum.

Pour ce faire, nous allons effectuer le test de la dérivée seconde. Nous allons évaluer la dérivée seconde ℎ double prime de 𝑡 en ce point critique. En dérivant notre expression pour ℎ prime de 𝑡, qui était moins 9.8𝑡 plus 229, nous trouvons que ℎ double prime de 𝑡 est égale à moins 9.8. Et en fait, nous n’avons pas besoin d’évaluer la dérivée seconde lorsque 𝑡 est 23.37 parce que c’est une constante. La dérivée seconde est la même pour toutes les valeurs de 𝑡.

Nous notons cependant que cette valeur est négative. Et donc, d’après le test de la dérivée seconde, notre point critique est un maximum. Maintenant, nous aurions pu le voir aussi si nous avions pensé à l’expression qui nous a été donnée pour ℎ en fonction de 𝑡, qui est une expression du second degré avec comme coefficient du terme de plus haut degré négatif. Et donc, la représentation graphique de 𝑡 contre ℎ serait une parabole inversée. Et nous savons qu’elle aura donc un point maximum plutôt qu’un minimum. Nous pouvons donc conclure que la hauteur maximale atteinte par la fusée, et nous avons confirmé qu’il s’agit bien d’un maximum, est de 2909.56 mètres, à deux décimales près.

Maintenant, il vaut la peine de souligner que dans cette question, chacune des dérivées a aussi des interprétations pratiques. La dérivée première de notre fonction, c’est-à-dire moins 9.8𝑡 plus 229, donne la vitesse de la fusée, qui diminue avec le temps. La dérivée seconde, qui n’est que la constante moins 9.8, donne l’accélération de la fusée, ou en fait la décélération. Qui est moins 9.8 mètres par seconde au carré. Et c’est la décélération due à la gravité.

Dans ce problème, la fonction que nous devions optimiser nous a été donnée. Mais ce sera plus souvent le cas dans les problèmes d’optimisation que nous devrons former nous-mêmes ces fonctions à partir d’une description formulée. Voyons comment cela fonctionne dans notre exemple suivant.

Trouvez deux nombres dont la somme est 156 et dont la somme des carrés est la plus petite possible.

Appelons ces deux numéros que nous ne connaissons pas encore 𝑥 et 𝑦. Ensuite, nous pouvons exprimer le fait que leur somme est 156 comme 𝑥 plus 𝑦 égale 156. Nous voulons minimiser la somme de leurs carrés, que nous pouvons appeler 𝑠. 𝑠 est égale à 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré. Pour ce faire, il faut trouver les valeurs de 𝑥 et 𝑦 pour lesquelles le taux de variation de 𝑠 par rapport à soit 𝑥 ou soit 𝑦, est égal à zéro. Cela signifie qu’il faut dériver 𝑠 par rapport à soit 𝑥, soit 𝑦.

Tout d’abord, nous devons écrire 𝑠 en fonction d’une seule variable. Le choix est tout à fait arbitraire dans ce problème. Nous pourrions effectuer un simple réarrangement de notre première équation pour donner 𝑦 égale 156 moins 𝑥, et ensuite substituer cette expression pour 𝑦 dans notre équation pour 𝑠, afin d’obtenir une équation en fonction de 𝑥 seulement. Ensuite distribuer les parenthèses et simplifier, ce qui donne 𝑠 égale deux 𝑥 au carré moins 312𝑥 plus 24336.

Rappelez-vous, nous cherchons à minimiser cette somme de carrés, il faut donc trouver les points critiques de 𝑠. Pour ce faire, nous devons trouver où la dérivée première de 𝑠 par rapport à 𝑥, c’est-à-dire d𝑠 by d𝑥, est égale à zéro. Nous pouvons utiliser la règle de la puissance pour déterminer cette dérivée. Et nous voyons que d𝑠 par d𝑥 égale quatre 𝑥 moins 312. Nous égalons ensuite cette dérivée à zéro et résolvons pour 𝑥. Nous ajoutons d’abord 312 de chaque côté, puis nous divisons par quatre, ce qui donne 𝑥 égale 78.

Ainsi, nous avons trouvé la valeur de 𝑥 en laquelle 𝑠 a un point critique. Mais il y a deux choses qu’il faut faire. Dans un instant, nous confirmerons qu’il s’agit bien d’un minimum. Mais d’abord, nous devons aussi trouver la valeur de 𝑦, ce que nous pouvons faire en substituant par la valeur de 𝑥 dans notre équation linéaire. Nous voyons que 𝑦 égale 156 moins 78, ce qui donne 78.

Pour confirmer que ce point critique est effectivement un minimum. Nous devons trouver la dérivée seconde de la fonction 𝑠 par rapport à 𝑥. Dériver d𝑠 par d𝑥 donne à nouveau d deux 𝑠 par d𝑥 au carré égale quatre. La dérivée seconde de 𝑠 par rapport à 𝑥 est donc constante pour toutes les valeurs de 𝑥. Et surtout, elle est positive, ce qui confirme que ce point critique est effectivement un minimum. Donc les deux nombres dont la somme est 156, et dont la somme des carrés est minimale sont 78 et 78.

Dans cet exemple, nous avons vu comment configurer nous-mêmes la fonction d’optimisation et les contraintes éventuelles à partir des informations données dans la question. Nous allons maintenant voir comment le faire à nouveau avec un exemple plus pratique.

Un fil de 41 centimètres de long est utilisé pour faire un rectangle. Quelles sont les dimensions qui rendent son aire maximale ?

Maintenant, il est important ici de ne pas faire juste des essais et erreurs. Nous devons utiliser une méthode d’optimisation appropriée pour trouver les dimensions qui donneront la plus grande aire possible pour ce rectangle, sujet à la contrainte que nous n’avons que 41 centimètres de fil.

Considérons donc un rectangle de longueur 𝑙 centimètres et de largeur 𝑤 centimètres. Nous devons maximiser son aire, qui pour un rectangle est sa longueur multipliée par sa largeur. Sujet à la contrainte selon laquelle le périmètre de ce rectangle doit être égal à 41. Le périmètre d’un rectangle est le double de sa longueur plus le double de sa largeur. Ainsi, nous avons la contrainte deux 𝑙 plus deux 𝑤 égale 41.

Maintenant, afin de maximiser cette aire, nous allons devoir utiliser la dérivation pour trouver les points critiques de cette fonction 𝐴. Mais avant de pouvoir le faire, nous devons écrire 𝐴 en fonction d’une seule variable. Le choix d’utiliser 𝑙 ou 𝑤 est totalement arbitraire. J’ai donc choisi de réorganiser l’équation du premier degré pour donner 𝑙 égale 41 moins deux 𝑤 sur deux. En substituant cette expression de 𝑙 dans notre formule d’aire, nous obtenons 𝐴 égale 41 moins deux 𝑤 sur deux fois 𝑤. Et en distribuant les parenthèses, nous avons 41𝑤 sur deux moins 𝑤 au carré.

Pour déterminer les points critiques de la fonction 𝐴, on détermine d’abord sa dérivée première, d𝐴 par d𝑤, qui, en utilisant la règle de dérivation de puissance, égale 41 sur deux moins deux 𝑤. Nous égalons ensuite cette expression à zéro et résolvons l’équation résultante pour 𝑤. Nous ajoutons deux 𝑤 à chaque côté, puis nous divisons par deux, ce qui donne 𝑤 égale 41 sur quatre. Nous avons donc trouvé la largeur du rectangle où l’aire a un point critique.

Nous devons aussi déterminer la longueur, et nous le faisons en remplaçant par cette valeur de 𝑤 dans notre expression pour 𝑙, ce qui donne 41 moins deux fois 41 sur quatre le tout sur deux. Et cela est simplifié aussi à 41 sur 4. Cependant, nous n’avons pas encore terminé. Nous savons que ces valeurs de 𝑤 et 𝑙 donnent un point critique pour l’aire. Mais nous n’avons pas encore confirmé qu’il s’agit bien d’un maximum. Pour vérifier cela, nous devons effectuer le test de la dérivée seconde. Nous trouvons d deux 𝐴 par d𝑤 au carré, ce qui est égal à moins deux.

Maintenant, c’est une constante pour toutes les valeurs de 𝑤. Mais plus précisément, il s’agit d’une constante négative. Et comme la dérivée seconde est strictement inférieure à zéro, cela confirme que notre point critique est bien un maximum. Ainsi, nous avons constaté que la longueur et la largeur qui rendent l’aire de ce rectangle maximale, sujet à la contrainte de périmètre donnée, comme décimaux, sont toutes deux de 10.25 centimètres.

Maintenant, nous remarquons que la longueur et la largeur de ce rectangle sont en fait les mêmes, ce qui en fait un carré. Ceci illustre un point général des problèmes d’optimisation où l’on cherche à maximiser une aire relativement à une contrainte de longueur. L’aire maximale sera atteinte lorsque les dimensions sont aussi similaires que possible, c’est-à-dire lorsque le rapport entre les dimensions est aussi proche que possible de un à un.

Dans le cas d’un problème impliquant un rectangle, il s’avérera toujours que la forme sera en fait un carré. Mais bien sûr, nous devons toujours faire le calcule. Pour le montrer. Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment maximiser la somme des volumes de deux formes tridimensionnelles soumises à une contrainte d’aire.

Sachant que la somme des aires d’une sphère et d’un cylindre circulaire droit est 1000𝜋 centimètres carrés, et que leurs rayons sont égaux, déterminez le rayon de la sphère qui rend la somme de leurs volumes maximale.

Donc, dans cette question, on nous demande de maximiser la somme des volumes de deux solides tridimensionnels, sous réserve d’une contrainte sur la somme de leurs aires. Commençons par noter les formules pour les aires de la sphère et du cylindre circulaire droit. Et comme leurs rayons sont les mêmes, nous pouvons utiliser la même lettre 𝑟 pour les deux. Pour la sphère, son aire est donnée par quatre 𝜋𝑟 au carré. Pour le cylindre, son aire est de deux 𝜋𝑟 au carré plus deux 𝜋𝑟ℎ, où ℎ représente la hauteur du cylindre.

Comme la somme de ces aires est 1000𝜋 centimètres carrés, nous pouvons former une équation, quatre 𝜋𝑟 au carré plus deux 𝜋𝑟 au carré plus deux 𝜋𝑟ℎ égale 1000𝜋. Nous pouvons ensuite rassembler les termes similaires au côté gauche et les diviser par 𝜋, car il s’agit d’un diviseur commun à tous les termes. Nous pourrions aussi diviser par deux, comme tous les coefficients sont pairs, pour obtenir trois 𝑟 au carré plus 𝑟ℎ égale 500. Nous ne pouvons rien faire de plus avec cette équation pour l’instant, car nous avons deux inconnues, 𝑟 et ℎ. Donc, ensuite, nous rappelons les formules pour le volume d’une sphère et le volume d’un cylindre.

Le volume d’une sphère est quatre tiers fois 𝜋 fois son rayon au cube. Et le volume d’un cylindre est 𝜋 fois son rayon au carré fois sa hauteur. Ainsi, nous savons que le volume total de ces deux solides est quatre tiers 𝜋𝑟 au cube plus 𝜋𝑟 au carré ℎ. Nous voulons maximiser la somme de ces volumes, 𝑉 total. Maintenant, cela sera maximisé lorsque son taux de variation par rapport à soit 𝑟, soit ℎ sera égal à zéro, et cela arrivera lorsque sa dérivée première sera égale à zéro. Mais avant de pouvoir dériver, il faut exprimer 𝑉 total en fonction d’une seule variable.

Il est beaucoup plus simple de réarranger la contrainte d’aire de surface pour donner une expression pour ℎ en fonction de 𝑟 que pour donner une expression pour 𝑟 en fonction de ℎ. Nous avons ℎ égale 500 moins trois 𝑟 au carré sur 𝑟. Nous pouvons alors substituer avec ℎ dans notre expression du volume total de sorte qu’elle soit en fonction de 𝑟 seulement. Nous pouvons annuler un diviseur de 𝑟 au deuxième terme et ensuite distribuer les parenthèses pour donner quatre tiers 𝜋𝑟 au cube plus 500𝜋𝑟 moins trois 𝜋𝑟 au cube. Nous avons une expression pour 𝑉 total en fonction de 𝑟 seulement.

Ensuite, nous devons trouver la dérivée première d𝑉 total par d𝑟, donc nous allons créer un peu d’espace pour le faire. En appliquant la règle de puissance de la dérivation, nous constatons que la dérivée de 𝑉 total par rapport à 𝑟 est égale à quatre tiers 𝜋 fois trois 𝑟 au carré plus 500𝜋 moins trois 𝜋 fois trois 𝑟 au carré, ce qui simplifie à 500𝜋 moins cinq 𝜋𝑟 au carré. Ensuite, pour trouver les points critiques, nous devons égaler cette dérivée à zéro et résoudre pour 𝑟.

Nous pouvons diviser par cinq 𝜋, et on obtient zéro égale 100 moins 𝑟 au carré. Ajouter 𝑟 au carré aux deux côtés donne 𝑟 au carré égale 100. Et nous trouvons alors 𝑟 en déterminant la racine carrée. Il suffit de prendre la racine carrée positive car le rayon d’un solide doit être une valeur positive. Ainsi, nous voyons que 𝑟 égale 10. Nous savons maintenant que le volume combiné de ces deux solides a un point critique lorsque le rayon égale 10. Mais nous devons maintenant confirmer qu’il s’agit d’un maximum.

Nous effectuons le test de la dérivée seconde. Dériver notre expression pour d𝑉 total par d𝑟 à nouveau, par rapport à 𝑟, donne moins 10𝜋𝑟. Et évaluer ceci quand 𝑟 égale 10 donne moins 100𝜋. C’est une valeur négative, ce qui confirme que le point critique est bien un maximum. Ainsi, nous avons trouvé que le rayon de la sphère ainsi que le rayon du cylindre circulaire droit qui maximise la somme de leurs volumes, sujet à la contrainte d’aire donnée, est de 10 centimètres.

Résumons les points clés que nous avons vus dans cette vidéo. Premièrement, les principes clés de dérivation peuvent être appliqués aux problèmes d’optimisation. C’est un problème où l’on veut déterminer la valeur maximale ou minimale d’une fonction. Nous savons que les points critiques d’une fonction se produisent lorsque sa dérivée première égale zéro ou est indéfinie. Une fois que nous avons trouvé un point critique, nous devons toujours confirmer qu’il s’agit bien d’un maximum ou d’un minimum en effectuant le test de la dérivée seconde. Et nous avons vu qu’il peut être nécessaire pour nous de former nous-mêmes la fonction d’optimisation et toutes les contraintes à partir d’une description donnée.

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