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Leçon : Utiliser des dérivées dans les problèmes d'optimisation

Feuille d'activités • 16 Questions

Q1:

Détermine les deux nombres dont la somme vaut 96 et qui sont les plus grands possibles.

  • A48, 48
  • B 4 8 , 144
  • C192, 9 6
  • D 1 9 2 , 288

Q2:

Trouve deux nombres dont la somme vaut 156 et dont la somme de leurs carrés est la plus petite possible.

  • A78; 78
  • B 3 4 4 ; 500
  • C148; 8
  • D 4 5 2 ; 608

Q3:

Calcule le volume maximal d’un cylindre de révolution dont la surface totale est d’aire 2 4 𝜋 cm2.

  • A 1 6 𝜋 cm3
  • B 8 𝜋 cm3
  • C 16 cm3
  • D 4 𝜋 cm3

Q4:

On considère un pavé droit de base carrée et dont la somme des longueurs de toutes les arêtes vaut 12 cm. Détermine les dimensions qui rendent le volume maximal.

  • A 1 cm, 1 cm, 1 cm.
  • B 2 cm, 2 cm, 2 cm.
  • C 4 cm, 2 cm, 6 cm.
  • D 1 cm, 2 cm, 2 cm.

Q5:

Une fenêtre est faite d'un demi-cercle au-dessus d'un rectangle, avec le diamètre du demi-cercle égal à la largeur du rectangle. Étant donné que le périmètre de la fenêtre est égal à 30 m, détermine le rayon du demi-cercle qui maximise l'aire de la fenêtre.

  • A 3 0 4 + 𝜋 m
  • B 4 + 𝜋 3 0 m
  • C 1 4 + 𝜋 m
  • D 3 0 2 + 𝜋 m
  • E 2 + 𝜋 𝜋 m

Q6:

Détermine les coordonnées des points de la courbe d’équation 𝑦 = 2 𝑥 + 2 1 2 qui sont les plus proches du point de coordonnées ( 6 ; 0 ) .

  • A 7 ; 7 , 7 ; 7
  • B 5 ; 3 1 , 5 ; 3 1
  • C 4 ; 1 3 , 4 ; 1 3
  • D 7 ; 3 5 , 7 ; 3 5

Q7:

Un morceau de carton rectangulaire a pour dimensions 10 cm et 16 cm. On découpe des carrés identiques de côté 𝑥 cm sur chaque coin du carton, et on forme une boîte sans couvercle. Calcule les dimensions de cette boîte pour qu’elle admette un volume maximal.

  • A 2 cm, 6 cm, 12 cm
  • B 6 cm, 2 cm, 4 cm
  • C 6 cm, 4 cm, 10 cm
  • D 2 cm, 8 cm, 14 cm

Q8:

On considère un secteur circulaire d'aire 16 cm2. Calcule le rayon 𝑟 qui réduit son périmètre au minimum, puis détermine la mesure de l'angle correspondant 𝜃 en radians.

  • A 𝑟 = 4 c m , 𝜃 = 2 r a d
  • B 𝑟 = 4 c m , 𝜃 = 1 2 r a d
  • C 𝑟 = 1 6 c m , 𝜃 = 1 8 r a d
  • D 𝑟 = 8 c m , 𝜃 = 1 2 r a d
  • E 𝑟 = 4 c m , 𝜃 = 1 1 6 r a d

Q9:

Un réservoir vertical de forme cylindrique et de capacité 3 8 4 𝜋 m3 est construit avec un dessus hémisphérique bombé. Si le coût de peinture du dessus égale trois fois celui des côtés, alors quelles dimensions rendront-elles le coût de peinture minimal?

  • A rayon = 4 m, hauteur = 24 m
  • B rayon = 3 m, hauteur = 30 m
  • C rayon = 8 m, hauteur = 24 m
  • D rayon = 6 m, hauteur = 36 m
  • E rayon = 5 m, hauteur = 8 m

Q10:

Quelle est l’aire maximale d’un triangle isocèle inscrit dans un cercle de rayon 47 cm? Arrondis le résultat au centième près.

Q11:

Sachant que la somme de l’aire d’une sphère et celle d’un cylindre de révolution est égale à 1 0 0 0 𝜋 cm2, et que leurs rayons sont égaux, détermine la longueur du rayon de la sphère qui rend la somme de leurs volumes maximale.

Q12:

Une roquette est tirée en l’air. Son altitude, en mètres, est donnée comme une fonction du temps par . Détermine l’altitude maximale que la roquette atteint.

Q13:

Une échelle est placée contre un bâtiment et touche aussi le sommet d’une barrière. La barrière est haute de 6 m et se situe à 6,25 m du bâtiment. Quelle est la longueur minimale de l’échelle? Arrondis au millième près.

Q14:

On souhaite construire un terrain de sport de forme rectangulaire avec deux demi-cercles en largeur. Le périmètre du terrain doit être égal à 594 m. Quelle est l’aire maximale?

  • A 8 8 2 0 9 𝜋 m2
  • B 1 7 6 4 1 8 𝜋 m2
  • C 176 418 m2
  • D 88 209 m2

Q15:

Un cylindre circulaire droit sans couvercle a un volume de 50 mètres cubes. Quel rayon donnera une aire de surface minimale pour ce cylindre?

Q16:

Un fil métallique de 41 cm de longueur est utilisé pour former un rectangle. Quelles dimensions donnent l’aire maximale?

  • A 4 1 4 cm, 4 1 4 cm
  • B 4 1 2 cm, 4 1 2 cm
  • C 4 1 3 cm, 4 1 6 cm
  • D 4 1 3 cm, 8 2 3 cm
  • E 4 1 5 cm, 1 2 3 1 0 cm
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