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Étant donné la figure suivante, déterminez la mesure des angles 𝐴𝐶𝐵 et 𝐵𝐴𝐶 ainsi que la longueur du segment 𝐴𝐶. Arrondissez vos réponses au centième près.
On va commencer par calculer la mesure de l'angle 𝐴𝐶𝐵 en utilisant nos connaissances sur les rapports trigonométriques dans les triangles rectangles. On sait que sinus thêta égale l'opposé sur l'hypoténuse. Le cosinus thêta est égal à l'adjacent sur l'hypoténuse. Et la tangente thêta est égale à l'opposé sur l'adjacent. Pour se souvenir de ces trois rapports, on peut utiliser l'acronyme SOHCAHTOA.
Examinons maintenant comment on peut les utiliser pour résoudre la première partie de notre question. Le côté le plus long d'un triangle rectangle, qui est opposé à l'angle droit, est appelé l'hypoténuse. Le côté qui est opposé à l'angle avec lequel nous travaillons est le côté opposé. Enfin, le côté qui est à côté de l'angle avec lequel nous travaillons et de l'angle droit est appelé le côté adjacent. Dans cette question, on a des valeurs pour le côté opposé et le côté adjacent. On va donc utiliser le rapport de la tangente. En substituant nos valeurs, on a tangente thêta égale huit neuvièmes.
En appliquant la fonction arc tangente aux deux membres, on obtient thêta égale arc tangente de huit neuvièmes. En nous assurant que notre calculatrice est en mode degré, on peut saisir cette valeur, ce qui nous donne thêta égale 41,6335 etc... Arrondie au centième près, la mesure de l'angle 𝐴𝐶𝐵 est 41,63 degrés. On peut utiliser à nouveau le rapport de la tangente pour calculer la mesure de l'angle 𝐵𝐴𝐶, marqué alpha sur notre figure. Cette fois-ci, l'opposé et l'adjacent ont échangé leurs places. Et tangente alpha est égal à neuf sur huit. Si on prend la fonction arc tangente des deux côtés, on voit que alpha est égal à 48,3664 etc... La mesure de l'angle 𝐵𝐴𝐶 au centième près est de 48,37 degrés.
Une méthode alternative ici serait de considérer que alpha égale 90 degrés moins thêta puisque la somme des angles d'un triangle est 180 degrés. Cela veut dire que la mesure de l'angle 𝐵𝐴𝐶 aurait également pu être calculée en soustrayant 41,63 de 90.
La dernière partie de cette question nous demande de calculer la longueur du segment 𝐴𝐶. Il s'agit de l'hypoténuse de notre triangle. On peut la calculer en utilisant à nouveau les rapports trigonométriques. On peut aussi utiliser le théorème de Pythagore, qui stipule que 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré est égal à 𝑧 au carré, où 𝑧 est la longueur de l'hypoténuse du triangle et 𝑥 et 𝑦 sont les longueurs des deux autres côtés.
Dans cette question, on a 𝐴𝐵 au carré plus 𝐵𝐶 au carré est égale à 𝐴𝐶 au carré. Le côté gauche est égal à huit au carré plus neuf au carré, ce qui donne 145. On peut alors prendre la racine carrée des deux côtés, ce qui donne 𝐴𝐶 égale la racine carrée de 145. Puisque notre réponse doit être positive, 𝐴𝐶 sera égal à 12,0415 etc... Et au centième près, cela correspond à 12,04 unités de longueur. Les trois réponses à cette question sont : 41,63 degrés, 48,37 degrés et 12,04.
