Video Transcript
Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer une mesure d'angle manquante dans un triangle rectangle en utilisant la fonction trigonométrique inverse appropriée étant données deux longueurs de deux côtés.
Commençons par rappeler une partie du vocabulaire lié aux triangles rectangles. Considérons ce triangle rectangle avec un des angles non droits appelé 𝜃. L’hypoténuse d’un triangle rectangle est son côté le plus long, qui est toujours le côté directement opposé à l’angle droit. Par rapport à l’angle que nous avons appelé 𝜃, le côté en face de cet angle est appelé le côté opposé. Et le côté entre l’angle droit et l’angle 𝜃 est appelé côté adjacent.
Souvent, nous les abrègerons par opp, adj et hyp ou simplement par O, A et H. Les trois rapports trigonométriques sinus, cosinus et tangente décrivent les rapports entre les longueurs de côté du triangle. Pour une valeur donnée de 𝜃, le rapport entre chaque paire de longueurs de côté est constant, quelle que soit la taille du triangle.
Nous pouvons utiliser l’acronyme SOHCAHTOA pour nous aider à nous souvenir des définitions des trois formules trigonométriques. La première lettre de chaque terme fait référence à la formule trigonométrique, sinus, cosinus ou tangente. Et les deux lettres suivantes se réfèrent au numérateur et au dénominateur des côtés impliqués dans le quotient. Donc, SOH nous indique que le sinus de l’angle 𝜃 est égal à la longueur du côté opposé divisée par la longueur de l’hypoténuse, O sur H. Cosinus de 𝜃 est égal au côté adjacent sur l’hypoténuse. Et tangente de 𝜃 est égale au côté opposé sur le côté adjacent. Vous devez déjà être à l’aise avec l’utilisation de ces trois formules trigonométriques pour calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de la longueur d’un des deux autres côtés et de la mesure d’un des angles non droits.
Dans cette vidéo, nous allons nous concentrer sur la recherche de la mesure d’un angle à partir des longueurs de deux côtés du triangle. Nous allons pour cela devoir utiliser les fonctions trigonométriques réciproques. Ce sont essentiellement les fonctions qui effectuent les opérations inverses des fonctions sinus, cosinus et tangente. Elles sont désignées par l’exposant moins un. Et elles représentent les fonctions sinus réciproque, cosinus réciproque et tangente réciproque. Elles sont également appelées arc sinus, arc cosinus et arc tangente.
Ces fonctions trigonométriques réciproques nous fournissent une autre façon de décrire la relation entre un angle et les valeurs de ses trois formules trigonométriques. Nous les interprétons comme suit. S’il existe une valeur 𝑥 telle que 𝑥 égale sinus 𝜃, alors nous pouvons écrire de manière équivalente que 𝜃 égal sinus moins un de 𝑥. De la même manière, s’il existe une valeur 𝑦 telle que 𝑦 égale cosinus 𝜃, alors 𝜃 égal cosinus moins un de 𝑦. Et si 𝑧 égale tangente 𝜃, alors 𝜃 égale tangente moins un de 𝑧.
Il est important de préciser ici que cette notation ne représente pas l’inverse. Sinus moins un de 𝑥 ne signifie pas un sur sinus 𝑥. Par conséquent, si nous connaissons la valeur de l’une des trois rapports trigonométriques pour un angle 𝜃, nous pouvons suivre le raisonnement inverse et trouver l’angle associé à cette valeur en appliquant la fonction trigonométrique réciproque. Pour accéder à ces fonctions sur une calculatrice, il faut généralement appuyer sur la touche « Shift » ou « Seconde », puis sur la touche sin, cos ou tan pour obtenir la réciproque de chaque fonction.
Voyons un exemple d’utilisation de ces fonctions réciproques pour déterminer la mesure d’un angle à partir de deux longueurs de côté dans un triangle rectangle.
Pour la figure ci-dessous, calculez la mesure de l’angle 𝜃 en degrés au centième près.
En observant la figure, nous constatons que le triangle est rectangle et que 𝜃 représente la mesure de l’un des angles non droits. Nous connaissons également la longueur de deux côtés du triangle rectangle. Ils mesurent trois et huit unités. Nous pouvons donc aborder ce problème à l’aide de la trigonométrie.
La première étape de tout problème de trigonométrie est d’identifier les trois côtés du triangle par rapport à l’angle 𝜃. Le côté directement opposé à l’angle droit est l’hypoténuse, que nous désignons par H. Le côté directement opposé à l’angle 𝜃 est le côté opposé, noté O. Et le côté entre l’angle 𝜃 et l’angle droit est le côté adjacent, désigné par A.
Nous rappelons maintenant l’acronyme SOHCAHTOA qui nous aide à décider quelle formule trigonométrique nous devons utiliser pour ce problème. Les deux longueurs de côté que nous connaissons sont le côté adjacent et l’hypoténuse. Nous allons donc utiliser le cosinus. Le cosinus d’un angle 𝜃 est égal à la longueur du côté adjacent sur la longueur de l’hypoténuse. En remplaçant par les longueurs de ce triangle, on obtient cosinus 𝜃 égale trois sur huit.
Nous devons maintenant trouver la valeur de 𝜃, ce qui signifie que nous devons appliquer la fonction cosinus réciproque. C’est la fonction qui effectue l’opération inverse de la fonction cosinus. Donc si cosinus 𝜃 égale trois sur 8, quelle est la valeur de 𝜃 ? Eh bien, 𝜃 égale cosinus moins un de trois sur 8.
Nous pouvons ensuite l’évaluer sur une calculatrice, en nous assurant qu’elle est paramétrée en mode degré. Pour accéder à la fonction cosinus réciproque, il faut généralement appuyer sur shift ou seconde, puis sur la touche cos de la calculatrice. La calculatrice nous donne 67,975. Puis nous arrondissons au centième comme demandé dans la question. Par conséquent, en appliquant la fonction cosinus réciproque dans ce triangle rectangle, nous avons montré que la mesure de l’angle 𝜃 est de 67,98 degrés au centième près.
Étudions maintenant un autre exemple dans lequel nous devons déterminer les mesures de deux angles dans un triangle rectangle.
Pour la figure ci-dessous, calculez les mesures de l’angle 𝐴𝐶𝐵 et de l’angle 𝐵𝐴𝐶 en degrés au centième près.
Nous avons un triangle rectangle pour lequel nous connaissons la longueur de deux côtés. Nous pouvons donc aborder ce problème en utilisant la trigonométrie. La première étape dans un problème comme celui-ci consiste à identifier les côtés du triangle. Mais nous devons d’abord savoir par rapport à quel angle nous les identifions. Commençons par l’angle 𝐴𝐶𝐵, désigné par 𝑥 sur notre schéma. L’hypoténuse d’un triangle rectangle est toujours le même côté. C’est le côté directement opposé à l’angle droit. Le côté opposé est le côté en face de l’angle que l’on recherche. Donc le côté opposé à l’angle 𝑥 est le côté 𝐴𝐵. Et enfin, le côté adjacent est le côté entre notre angle et l’angle droit. C’est le côté 𝐵𝐶.
Nous pouvons maintenant rappeler l’acronyme SOHCAHTOA qui nous aide à décider quelle formule trigonométrique - sinus, cosinus ou tangente - nous devons utiliser pour répondre à cette question. Les côtés dont nous connaissons la longueur sont les côtés opposés et adjacents. Nous allons donc utiliser la tangente. Pour un angle 𝜃 dans un triangle rectangle, elle est égale à la longueur du côté opposé sur la longueur du côté adjacent. En remplaçant 𝜃 par l’angle 𝑥, le côté opposé par quatre et le côté adjacent par cinq, on obtient l’équation tangente 𝑥 égale quatre sur cinq.
Pour déterminer la valeur de 𝑥, nous devons alors appliquer la fonction tangente réciproque qui nous permet de demander que si tangente 𝑥 est quatre sur cinq, quelle sera la valeur de 𝑥. En l’évaluant sur une calculatrice et en s’assurant qu’elle est paramétrée en mode degré, on obtient 38,659. Nous pouvons l’arrondir au centième, ce qui donne 38,66. Nous avons donc trouvé la mesure du premier angle.
Pour calculer la mesure du deuxième angle du triangle, nous pouvons choisir entre plusieurs méthodes. Nous pouvons utiliser à nouveau la trigonométrie ou la propriété selon laquelle la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180 degrés. Cette deuxième méthode est la plus efficace. La mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶 est donc égale à 180 degrés moins 90 degrés pour l’angle droit, moins 38,66 degrés pour l’angle 𝐴𝐶𝐵, ce qui donne 51,34 degrés. Nous avons donc déterminé les mesures des deux angles.
Si nous avions souhaité utiliser la trigonométrie, nous aurions dû renommer les côtés du triangle par rapport à cet angle et les côtés opposés et adjacents seraient inversés. Nous aurions à nouveau utilisé la tangente, mais tangente 𝑦 serait cette fois égal à cinq sur quatre. Nous aurions alors 𝑦 égale tangente moins un de cinq sur quatre, qui est en effet égal à 51,34 au centième près.
Nous concluons donc que la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐵 est de 38,66 degrés et que la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶 est de 51,34 degrés, arrondies chacune au centième près.
Les deux problèmes que nous avons étudiés jusqu’à présent fournissaient un schéma du triangle rectangle sur lequel se baser. Mais ce n’est pas le cas de tous les problèmes de trigonométrie. Et une des compétences clés pour résoudre un tel problème est de savoir tracer un schéma approprié. Prenons maintenant un exemple de cela.
𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐵, où 𝐵𝐶 égale 10 centimètres et 𝐴𝐶 égale 18 centimètres. Calculez la longueur de 𝐴𝐵 en donnant votre réponse au centimètre près, ainsi que les mesures des angles 𝐴 et 𝐶, en donnant votre réponse au degré près.
Aucun schéma n’est donné dans ce problème. Nous devons donc commencer par en tracer un nous-mêmes. Il est indiqué que 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐵, ce qui signifie que c’est l’angle 𝐵 qui est l’angle droit. Nous savons également que 𝐵𝐶 mesure 10 centimètres et 𝐴𝐶 mesure 18 centimètres. Nous devons alors calculer la longueur 𝐴𝐵 et les mesures des deux autres angles de ce triangle.
Commençons par la longueur de 𝐴𝐵. Comme il s’agit d’un triangle rectangle dont nous connaissons deux longueurs de côté, nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la longueur du troisième côté. Il stipule que dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés les plus courts est égale au carré de l’hypoténuse. Dans notre triangle, les deux côtés les plus courts sont 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶 et l’hypoténuse est 𝐴𝐶. Nous avons donc l’équation 𝐴𝐵 carré plus 𝐵𝐶 carré égale 𝐴𝐶 carré.
Remplacer 𝐵𝐶 par 10 et 𝐴𝐶 par 18 donne 𝐴𝐵 carré plus 10 au carré égale 18 au carré. Cela donne 𝐴𝐵 carré plus 100 égale 324. Donc, 𝐴𝐵 carré égale 224. 𝐴𝐵 est alors égal à racine carrée de 224, soit 14,9666, ou 15 centimètres arrondi à l’entier le plus proche. Nous avons donc trouvé la longueur de 𝐴𝐵. Et nous devons maintenant calculer les mesures des deux angles. Considérons d’abord l’angle 𝐴.
Nous commençons par identifier les trois côtés du triangle par rapport à cet angle. Le côté en face de 𝐴, 𝐵𝐶, est le côté opposé. Le côté entre cet angle et l’angle droit est le côté adjacent. Et le côté directement opposé à l’angle droit est l’hypoténuse. Nous pouvons ensuite rappeler l’acronyme SOHCAHTOA pour nous aider à décider quelle formule trigonométrique utiliser pour calculer cet angle.
Comme nous connaissons maintenant les longueurs des trois côtés du triangle, nous pouvons utiliser les trois formules. Mais il est plus prudent d’utiliser les deux côtés dont la longueur est donnée dans l’énoncé au cas où nous aurions fait une erreur dans le calcul de la longueur 𝐴𝐵. Nous allons donc utiliser le sinus. Il est défini par sinus 𝜃 égale côté opposé sur hypoténuse. En remplaçant le côté opposé par 10 et l’hypoténuse par 18, et en utilisant 𝐴 pour représenter l’angle en 𝐴, on obtient sinus 𝐴 égale 10 sur 18. Pour calculer 𝐴, nous devons appliquer la fonction sinus réciproque, ce qui donne 𝐴 égale sinus moins un de 10 sur 18. En l’évaluant sur une calculatrice paramétrée en mode degré, nous obtenons 33,748 ou 34 arrondi au degré le plus proche.
Nous devons enfin calculer la mesure du troisième angle du triangle. Et comme la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180 degrés, nous l’obtenons en soustrayant les mesures des deux autres angles à 180 degrés, ce qui donne 56 degrés. Nous avons donc terminé cette question. La longueur de 𝐴𝐵 au centimètre près est de 15 centimètres. Les mesures de l’angle 𝐴 et de l’angle 𝐶 sont respectivement 34 et 56 degrés, chacune arrondie au degré le plus proche.
Les problèmes de trigonométrie peuvent également être sous la forme d’un énoncé décrivant une situation réelle. Dans ce cas, un schéma n’est pas toujours fourni. Et une partie clé de la réponse est de savoir en tracer un à partir des informations données dans l’énoncé. Étudions un dernier exemple.
Une échelle de cinq mètres repose contre un mur vertical de telle sorte que sa base est à deux mètres du mur. Calculez l’angle entre l’échelle et le sol en donnant votre réponse au centième près.
Aucun schéma n’accompagne cette question. La première étape est donc d’en tracer un. Nous avons une échelle reposant contre un mur vertical. Le triangle formé par l’échelle, le sol et le mur est un triangle rectangle. Et c’est en fait tout ce dont nous avons besoin pour ce schéma. L’échelle mesure cinq mètres de long et sa base est à deux mètres du mur. Nous devons déterminer l’angle entre l’échelle et le sol. Il s’agit donc de cet angle ici, que nous appelons 𝑥.
Nous avons un triangle rectangle pour lequel nous connaissons les longueurs de deux côtés. Et nous souhaitons calculer la mesure d’un angle. Nous pouvons donc appliquer la trigonométrie. Nous commençons par identifier les trois côtés du triangle par rapport à l’angle 𝑥. Nous avons donc le côté opposé, le côté adjacent et l’hypoténuse. Nous rappelons ensuite l’acronyme SOHCAHTOA pour nous aider à décider quelle formule trigonométrique nous devons utiliser dans ce problème. Les longueurs de côté que nous connaissons sont celles du côté adjacent et de l’hypoténuse. Nous allons donc utiliser le cosinus. Il est égal à la longueur du côté adjacent sur la longueur de l’hypoténuse. En remplaçant le côté adjacent par 2 et l’hypoténuse par cinq, on obtient cosinus 𝑥 égale deux sur cinq.
Pour trouver la valeur de 𝑥, nous devons appliquer la fonction cosinus réciproque, ce qui donne 𝑥 égale cosinus moins un de deux sur cinq. En l’évaluant sur une calculatrice qui doit être paramétrée en mode degré, on obtient 66,421. On arrondit enfin la réponse au centième. Et nous avons ainsi trouvé que l’angle entre l’échelle et le sol est de 66,42 degrés.
Résumons maintenant les points clés de cette vidéo. Nous avons commencé par rappeler le vocabulaire associé aux trois côtés d’un triangle rectangle : côté opposé, côté adjacent et hypoténuse. Nous avons ensuite rappelé les trois formules trigonométriques - sinus, cosinus et tangente - et l’acronyme SOHCAHTOA qui peut nous aider à nous souvenir de leurs définitions.
Nous avons ensuite appris que nous pouvons calculer la mesure d’un angle en appliquant les fonctions trigonométriques réciproques, qui prennent la valeur de l’une de ces trois rapports et donnent l’angle qui lui est associé. Nous avons vu que nous pouvons appliquer ces méthodes à une variété de problèmes impliquant des triangles rectangles, y compris des problèmes avec énoncé décrivant une situation réelle.
