Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer une mesure d’angle manquante dans un triangle rectangle en utilisant la fonction trigonométrique appropriée pour les longueurs de deux côtés.
Lorsque vous travaillez avec la trigonométrie dans un triangle rectangle, il est utile de rappeler l’acronyme « SOH CAH TOA ». Cela nous aide à nous souvenir des définitions des rapports trigonométriques sinus, cosinus et tangente en fonction des côtés par rapport à un angle que nous appelons le côté opposé, le côté adjacent et l’hypoténuse. Citons les rapports ici.
Rapports trigonométriques
L’hypoténuse est toujours le côté le plus long du triangle rectangle, le côté opposé est le côté directement opposé à l’angle concerné, et le côté adjacent est le côté situé à côté de l’angle (qui n’est pas l’hypoténuse). Un exemple est donné ici.
Afin de déterminer les mesures d’angles inconnus dans les triangles rectangles (en utilisant la trigonométrie), nous devons avoir confiance en notre capacité à étiqueter correctement le triangle en fonction du côté opposé, du côté adjacent et de l’hypoténuse, et nous rappeler correctement les rapports trigonométriques. Une fois que nous sommes satisfaits de ces deux choses, nous sommes en mesure de commencer à résoudre des problèmes de trigonométrie en déterminant la mesure d’un angle inconnu. On peut toujours trouver la mesure manquante d’un angle dans un triangle rectangle à partir de deux de ses côtés en utilisant la démarche suivante.
Comment : Déterminer l’angle manquant dans un triangle rectangle à partir de deux de ses côtés
- Si on ne nous donne pas une figure du triangle rectangle, alors commençons par tracer les informations données.
- Étiquetez les côtés du triangle rectangle en fonction de leurs positions par rapport à l’angle que nous voulons déterminer.
- Utilisez l’acronyme « SOH CAH TOA » pour déterminer quel rapport trigonométrique comprend les longueurs des côtés connues.
- Nous utilisons le bouton Shift puis le rapport trigonométrique sur la calculatrice suivi du rapport des longueurs connues pour déterminer la mesure de l’angle.
Par exemple, si on sait que , alors on appuie sur ce qui suit
Commençons par regarder un exemple.
Exemple 1: Déterminer la mesure d’un angle inconnu dans un triangle rectangle
Pour la figure donnée, déterminez la mesure de l’angle , à la seconde près.
Réponse
Notre première étape pour répondre à cette question consiste à étiqueter le triangle par rapport à l’angle .
Remarquez ici que nous avons entouré A et H, car ce sont les deux côtés dont nous connaissons les longueurs. Si nous nous rappelons ensuite l’acronyme « SOH CAH TOA », nous pouvons voir que « CAH » est le seul qui contient les lettres A et H, ce qui signifie que nous devons utiliser le rapport cosinus. Rappelons que
Nous substituons maintenant les valeurs de A et H pour trouver que
En utilisant nos calculatrices, nous pouvons trouver en calculant , un exemple de la suite de boutons sur laquelle nous pourrions avoir besoin d’appuyer est . Cependant, les boutons exacts varieront d’une calculatrice à l’autre.
Si on calcule alors cela, on obtient
Dans certaines questions, on peut nous demander de calculer les mesures de tous les angles inconnus dans un triangle rectangle. Dans ce cas, nous devons utiliser la trigonométrie pour trouver l’un des angles inconnus, puis nous pouvons utiliser le fait que les mesures des angles dans un triangle ont une somme de . Regardons un exemple où c’est le cas.
Exemple 2: Déterminer les mesures de tous les angles inconnus dans un triangle rectangle
Pour la figure donnée, déterminez les mesures de et , à la seconde près.
Réponse
Notre première étape consiste à choisir l’un des deux angles inconnus à calculer en premier. Ici, nous allons commencer par déterminer , que nous appellerons . On peut alors étiqueter les côtés du triangle par rapport à l’angle comme indiqué.
Nous avons entouré O et A, car ce sont les longueurs que nous connaissons. Si nous nous rappelons alors l’acronyme « SOH CAH TOA », nous pouvons voir que nous devons utiliser le rapport tangent, car « TOA » contient les lettres O et A. Rappelons que
En substituant les longueurs O et A, on obtient
En utilisant nos calculatrices, nous pouvons trouver en calculant , un exemple de la suite de boutons sur laquelle nous pourrions avoir besoin d’appuyer est . Cependant, les boutons exacts varieront d’une calculatrice à l’autre.
Si on calcule cela, on constate que
Pour trouver la mesure du deuxième angle inconnu dans le triangle, nous devons utiliser le fait que la somme des mesures des angles dans un triangle est égale à . Si on appelle , on a
Cela se simplifie en et en soustrayant 128,66 des deux membres, nous constatons que
Dans certaines questions de trigonométrie, on ne nous donne pas de figure et une partie des compétences dans la question est de tracer une figure appropriée. Dans l’exemple suivant, nous montrerons cette compétence.
Exemple 3: Résoudre des triangles en utilisant la trigonométrie
est un triangle rectangle en où et . Déterminez la longueur à la centimètre près, et les mesures des angles et à la degré près.
Réponse
Nous commençons par tracer une figure. Il est généralement utile d’essayer de tracer des figures approximatives à l’échelle. Ce n’est pas complètement nécessaire, mais cela nous aide à vérifier que nos réponses sont raisonnables en les comparant à la figure. On trace un triangle et on indique les longueurs des arêtes que nous connaissons.
La première chose que l’on nous a demandé de trouver est la longueur . Pour ce faire, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore, qui énonce que où est la longueur de l’hypoténuse. Dans le triangle qu’on nous a donné, est l’hypoténuse. Ainsi, nous pouvons écrire le théorème de Pythagore pour le triangle comme suit :
Par conséquent,
En remplaçant par et , nous avons
En prenant la racine carrée, on a à la centimètreprès.
Nous devons maintenant trouver les mesures des angles en et . Pour ce faire, nous pouvons déterminer l’un des angles, puis utiliser le fait que les angles d’un triangle ont une somme de . On trouvera la mesure de , que nous désignerons par . Pour savoir quel rapport trigonométrique nous devrions utiliser, nous devons d’abord étiqueter les côtés du triangle. Nous savons que est l’hypoténuse. Étant donné que nous considérons , est le côté opposé et est le côté adjacent.
Comme nous connaissons les longueurs de tous les côtés, nous pouvons utiliser n’importe quel rapport trigonométrique. Cependant, il est préférable d’utiliser les deux longueurs qui nous ont été données dans la question. Il y a deux bonnes raisons à cela. Premièrement, cela signifie que si nous commettons une erreur en calculant le troisième côté, cela n’affectera pas notre réponse à cette partie de la question. Deuxièmement, nous pourrions facilement faire des erreurs d’arrondissement si nous utilisons la longueur du troisième côté car sa forme exacte n’est pas un nombre entier. Par conséquent, nous aimerions calculer en utilisant le côté opposé et l’hypoténuse. Cela signifie que nous utiliserons le sinus :
En substituant dans les longueurs du côté opposé () et l’hypoténuse (), nous avons
On peut trouver en utilisant nos calculatrices pour déterminer , un exemple de la suite de boutons sur laquelle nous pourrions avoir besoin d’appuyer est . Cependant, les boutons exacts varieront d’une calculatrice à l’autre.
Si on calcule cela, on constate que à la degré près. Par conséquent, à la degré près.
On peut maintenant utiliser le fait que les angles d’un triangle ont une somme de pour trouver . Comme nous avons
En substituant dans les valeurs de et , nous avons à la degré près.
Les questions de trigonométrie peuvent aussi être présentées comme des problèmes écrits. Lorsque c’est le cas, si un schéma associé n’est pas donné, cela vaut toujours la peine d’en tracer un. Un exemple de ce type de question serait le suivant.
Exemple 4: Utiliser la trigonométrie pour déterminer la mesure d’angles dans des trapèzes
est un terrain en forme de trapèze où est parallèle à et . Déterminez sachant que , et . Donnez la réponse à la seconde près.
Réponse
On peut commencer par mettre en surbrillance sur la figure :
On peut tracer une perpendiculaire issue de sur en un point .
On voit que le triangle est un triangle rectangle en . On détermine la longueur de en notant que . Nous pouvons utiliser cela avec le fait que pour trouver . Remplacer dans l’équation nous donne
On soustrait 20 des deux membres de l’équation pour obtenir
Nous pouvons ajouter ceci sur notre figure.
Nous pouvons déterminer en notant qu’il s’agit d’un angle dans un triangle rectangle avec deux longueurs de côtés connues, donc nous pouvons déterminer la mesure de cet angle en utilisant la trigonométrie.
Pour ce faire, nous commençons par étiqueter les côtés du triangle rectangle en fonction de leurs positions par rapport à . On voit que est le côté adjacent à dans le triangle rectangle et que est l’hypoténuse du triangle rectangle puisqu’il est opposé à l’angle droit.
Nous pouvons maintenant vouloir déterminer le rapport trigonométrique pertinent. Pour ce faire, nous utiliserons l’acronyme « SOH CAH TOA » pour nous aider à nous rappeler les rapports donnés par chaque fonction trigonométrique.
Nous connaissons les longueurs du côté adjacent à l’angle et de l’hypoténuse, nous utiliserons donc la fonction cosinus
Nous pouvons utiliser notre calculatrice pour évaluer cette expression. On utilise les valeurs d’entrée suivantes
Cependant, les boutons exacts nécessaires peuvent être différents sur d’autres calculatrices.
Cela nous donne
Ainsi, à la seconde, près.
Exemple 5: Résoudre des problèmes écrits en utilisant la trigonométrie
Une échelle de 5 m est posée contre un mur perpendiculaire de sorte que sa base est à 2 m du mur. Calculez l’angle entre l’échelle et le sol, en donnant votre réponse à la seconde près.
Réponse
Notre première étape pour résoudre une telle question est de tracer un schéma correspondant à la situation.
Sur cette figure, par rapport à l’angle , nous avons marqué les côtés dont nous connaissons les longueurs. Nous connaissons ici la longueur du côté adjacent et de l’hypoténuse, alors nous avons besoin d’utiliser le rapport cosinus pour trouver la mesure de l’angle inconnu. Nous savons que
Si on substitue dans les longueurs A et H, on obtient
On peut trouver en utilisant nos calculatrices pour déterminer , un exemple de la suite de boutons sur laquelle nous pourrions avoir besoin d’appuyer est . Cependant, les boutons exacts varieront d’une calculatrice à l’autre.
En calculant cela, nous trouvons que
Nous terminerons en passant en revue un dernier problème.
Exemple 6: Résoudre des problèmes écrits en utilisant la trigonométrie
La hauteur d’une piste de ski est de 16 mètres et sa longueur est de 20 mètres. Déterminez la mesure de en donnant la réponse à la seconde près.
Réponse
Dans cette question, nous avons la chance d’obtenir une figure associée, ce qui signifie que nous n’avons pas besoin de la tracer nous-mêmes. Notre première étape consiste à étiqueter les côtés par rapport à l’angle thêta.
Ici, nous connaissons les longueurs du côté opposé et de l’hypoténuse et, par conséquent, nous devons utiliser le rapport sinus pour déterminer la mesure de l’angle inconnu. Rappelons que Si on substitue dans les longueurs O et H, on obtient
On peut trouver en utilisant nos calculatrices pour déterminer , un exemple de la suite de boutons sur laquelle nous pourrions avoir besoin d’appuyer est . Cependant, les boutons exacts varieront d’une calculatrice à l’autre.
En calculant cela, nous trouvons que
Points clés
- Lorsque nous travaillons avec des triangles rectangles, nous utilisons les termes opposé, adjacent et hypoténuse pour désigner les côtés du triangle. L’hypoténuse est toujours opposée à l’angle droit et représente le côté le plus long. Le côté opposé et le côté adjacent sont étiquetés par rapport à un angle donné souvent noté . Le côté adjacent est le côté situé à côté de l’angle qui n’est pas l’hypoténuse. Quant au côté opposé, c’est le dernier côté du triangle. On l’appelle le côté opposé car il est opposé à l’angle donné.
- Rappelons l’acronyme « SOH CAH TOA », où O signifie le côté opposé, A représente le côté adjacent, H représente l’hypoténuse, et est l’angle. Les rapports trigonométriques sont
- On peut déterminer la mesure d’un angle en fonction des longueurs des côtés en utilisant le bouton Shift puis le rapport trigonométrique sur la calculatrice suivi du rapport des longueurs connues.
