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Déterminez la valeur de deux fois sécante de deux 𝜋 moins 𝜃 plus huit fois cotangente de deux 𝜋 moins 𝜃 sachant que quatre fois tangente de 𝜃 est égal à moins trois, où 𝜃 est dans l’intervalle ouvert entre 𝜋 sur deux et 𝜋.
Commençons par visualiser où 𝜃 se trouve sous la forme d’un angle en position standard. Nous rappelons que 𝜋 sur deux radians est égal à 90 degrés et que 𝜋 radians est égal à 180 degrés. Par conséquent, 𝜃 est dans le deuxième quadrant. On nous dit que quatre fois tangente de 𝜃 est égal à moins trois. Cette équation peut être résolue afin d’isoler tangente de 𝜃. Nous le faisons en divisant les deux côtés de l’équation par quatre. Le résultat est tangente de 𝜃 est égal à moins trois sur quatre. Nous rappelons qu’en ce qui concerne le point de coordonnées 𝑥, 𝑦 trouvé du côté terminal de l’angle 𝜃 en position standard, la tangente est définie comme 𝑦 sur 𝑥. Cela nous permettra de trouver le point exact par lequel passe le côté terminal de 𝜃 dans le deuxième quadrant.
Nous savons que dans le deuxième quadrant, toutes les valeurs 𝑥 sont négatives et toutes les valeurs 𝑦 sont positives. Dans notre cas, cela signifie que 𝑥 est égal à moins quatre et que 𝑦 est égal à plus trois. Nous traçons donc le point moins quatre, trois sur notre plan de coordonnées 𝑥𝑦. 𝜃 est notre angle principal, ce qui signifie que son côté initial est l’axe des 𝑥 positifs et que la demi-droite partant de l’origine et passant par moins quatre, trois est le côté terminal de 𝜃.
Maintenant, nous traçons un triangle rectangle dont l’hypoténuse est le segment entre l’origine et le point moins quatre, trois. L’hypoténuse fait un angle aigu avec l’axe des 𝑥 négatifs, que nous appelons 𝛼. 𝛼 est l’angle de référence, ce qui signifie qu’il s’agit toujours de l’angle aigu créé entre le côté terminal et l’axe des 𝑥. Contrairement à 𝜃, 𝛼 est à l’intérieur du triangle rectangle. Le côté opposé à l’angle 𝛼 a une longueur de trois et le côté adjacent à 𝛼 a une longueur de quatre. Cependant, nous indiquons le côté adjacent avec moins quatre car 𝑥 est toujours négatif dans le deuxième quadrant. Tangente de 𝛼 devrait être égal à tangente de 𝜃 tant que nous prenons en compte dans quel quadrant se trouve le triangle.
Pour être sûr que nous utilisons le bon signe, nous nous référons au cercle trigonométrique. Ce dernier nous aide à nous rappeler quelles fonctions trigonométriques sont positives dans chaque quadrant. Dans le premier quadrant, toutes les fonctions trigonométriques sont positives. Dans le deuxième quadrant, seuls le sinus et son inverse sont positifs. Par conséquent, la tangente est négative. Dans le troisième quadrant, seules les tangentes et leurs inverses sont positives. Dans le quatrième quadrant, seuls le cosinus et son inverse sont positifs. Par conséquent, la tangente est négative.
Dans cette question, on nous demande d’évaluer deux fois sécante deux 𝜋 moins 𝜃 plus huit fois cotangente de deux 𝜋 moins 𝜃 en utilisant les faits que nous venons d’illustrer dans le cercle trigonométrique. Il sera utile à ce stade de rappeler les définitions en fonction des coordonnées de la sécante et de la cotangente. Nous rappelons que la sécante est l’inverse de la fonction cosinus et que la cotangente est l’inverse de la fonction tangente. Puisque tangente est égal à 𝑦 sur 𝑥, cotangente est égal à 𝑥 sur 𝑦. Puisque cosinus est égal à 𝑥 sur 𝑟, sécante est égal à 𝑟 sur 𝑥. Nous avons les valeurs 𝑥 et 𝑦 nécessaires, donc nous savons que cotangente de 𝜃 est égal à moins quatre sur trois. Cependant, nous devons encore trouver 𝑟 avant de pouvoir évaluer cosinus ou sécante de 𝜃.
𝑟 est l’hypoténuse de notre triangle de référence. Puisque nous avons les deux autres côtés, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour trouver 𝑟. Après avoir substitué les coordonnées 𝑥 et 𝑦 et simplifié, nous constatons que 𝑟 au carré est égal à 25. Dans ce cas, nous ne prenons que la racine carrée positive. Ainsi, nous concluons que 𝑟 est égal à cinq. Il convient de noter que nous pourrions éviter d’utiliser le théorème de Pythagore ici en reconnaissant le triplet pythagoricien trois-quatre-cinq. Ensuite, il s’ensuit que cosinus de 𝜃 est égal à moins quatre sur cinq et sécante de 𝜃 est égal à cinq sur moins quatre. Nous allons maintenant faire de la place et passer aux prochaines étapes.
Nous avons trouvé sécante et cotangente de 𝜃. Seulement, pour évaluer l’expression donnée, nous devons trouver sécante et cotangente de deux 𝜋 moins 𝜃. Voyons maintenant comment la position de 𝜃 dans le deuxième quadrant se compare à la position de deux 𝜋 moins 𝜃. Nous savons que 𝜃 se trouve en tournant dans le sens trigonométrique, qui est le sens positif. Si nous tournons de 𝜃 dans le sens horaire, qui est le sens négatif, nous trouvons non seulement moins 𝜃, mais aussi deux 𝜋 moins 𝜃. En effet, les angles coterminaux en radians sont calculés en additionnant ou en soustrayant un multiple de deux 𝜋. Une autre façon d’y penser est que la rotation de deux 𝜋 radians équivaut à une rotation de 360 degrés, ou un cercle complet.
Maintenant, nous pouvons tracer le triangle de référence pour l’angle deux 𝜋 moins 𝜃. Notre nouveau triangle est trouvé par une simple symétrie du triangle d’origine par rapport à l’axe des 𝑥. Ce nouveau triangle rectangle a également un angle de référence 𝛼. Cependant, puisque nous sommes maintenant dans le troisième quadrant, la coordonnée 𝑦 sera négative. La coordonnée 𝑦 du point du côté terminal de deux 𝜋 moins 𝜃 est moins trois. Nous utiliserons le triangle orange pour déterminer cotangente et sécante de deux 𝜋 moins 𝜃. Il s’ensuit que cotangente de deux 𝜋 moins 𝜃 vaut moins quatre sur moins trois, ce qui se simplifie en plus quatre sur trois. Sécante de deux 𝜋 moins 𝜃 n’a pas changé de valeur, soit cinq sur moins quatre.
Avant d’intégrer ces valeurs dans l’expression d’origine, il peut être utile de vérifier que nos signes sont corrects en se référant au cercle trigonométrique. Selon ce dernier, seules les tangentes et les cotangentes sont positives dans le troisième quadrant. Par conséquent, il est logique que nous ayons trouvé que la cotangente est positive et que la sécante est négative. Nous allons maintenant faire de la place pour évaluer l’expression donnée. Nous substituerons quatre tiers pour cotangente de deux 𝜋 moins 𝜃 et moins cinq quarts pour sécante de deux 𝜋 moins 𝜃. Ensuite, nous allons additionner les produits de deux fois moins cinq quarts et de huit fois quatre tiers. Ensuite, pour ajouter moins dix quarts et trente-deux tiers, nous utilisons un dénominateur commun de 12, ce qui donne une somme de 98 sur 12. Cette fraction se simplifie en 49 sur six.
