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Écrivez l’équation représentée par le graphique ci-dessous. Donnez votre réponse sous la forme développée.
Dans cette question, on nous donne le graphique d’une fonction du second degré et on nous demande de l’utiliser pour déterminer l’équation de la fonction sous forme développée. On commence par rappeler que la forme développée d’une équation du second degré est 𝑦 égale 𝑎 𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes. Cela signifie qu’on va devoir déterminer les valeurs de ces constantes à partir du graphe. Pour trouver la valeur de 𝑐, on peut remplacer 𝑥 par zéro dans l’équation du second degré. Tous les termes de l’équation ont maintenant un facteur de zéro, à l’exception du terme constant. Donc l’équation se simplifie en 𝑦 égale 𝑐.
Par conséquent, quand 𝑥 égale zéro, on a 𝑦 égale 𝑐. Sur le graphique, cela correspond à l’ordonnée de l’intersection avec l’axe des 𝑦. Et on peut voir qu’elle est égale à moins 16, donc 𝑐 est égal à moins 16. Notons que cela se vérifie dans le cas général : pour toute équation du second degré sous forme développée, l’ordonnée de l’intersection avec l’axe des 𝑦 est égale au terme constant 𝑐. Nous avons donc montré que notre équation est de la forme 𝑦 égale 𝑎 𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 moins 16. On peut déterminer les valeurs de 𝑎 et 𝑏 en les remplaçant dans l’équation par les coordonnées de points connus de la courbe.
Sur le graphe, on peut voir que les abscisses des intersections avec l’axe des 𝑥 sont moins huit et deux. Donc les points de coordonnées moins huit, zéro et deux, zéro appartiennent à la courbe. Par conséquent, les coordonnées de ces points vérifient notre équation du second degré. Si on remplace 𝑥 par deux et 𝑦 par zéro dans notre équation, cela nous donnera une équation en fonction de 𝑎 et 𝑏. Donc on a zéro égale 𝑎 fois deux au carré plus 𝑏 fois deux moins 16. Cela se simplifie en zéro égale quatre 𝑎 plus deux 𝑏 moins 16. En additionnant 16 des deux côtés de l’équation, on obtient 16 égale quatre 𝑎 plus deux 𝑏.
C’est une équation linéaire à deux inconnues, donc on ne peut pas la résoudre. Mais on peut procéder de la même façon avec notre seconde intersection avec l’axe des abscisses. On aura alors un système de deux équations à deux inconnues qu’on pourra résoudre. En remplaçant 𝑦 par zéro et 𝑥 par moins huit dans l’équation, on obtient zéro égale 𝑎 fois moins huit au carré plus 𝑏 fois moins huit moins 16. Ce qui nous donne zéro égale 64𝑎 moins huit 𝑏 moins 16. On remarque que les trois termes de l’équation ont un diviseur commun, huit. Donc on peut simplifier l’équation en divisant par huit des deux côtés. On obtient alors zéro égale huit 𝑎 moins 𝑏 moins deux. Puis on ajoute deux de chaque côté de l’équation pour obtenir deux égale huit 𝑎 moins 𝑏.
On a maintenant deux équations linéaires à deux inconnues. Elles forment un système d’équations qu’on peut résoudre. Faisons un peu de place pour résoudre notre système et déterminer les valeurs de 𝑎 et 𝑏. Il existe plusieurs façons de résoudre un système d’équations, mais ici nous n’en verrons qu’une. On remarque que les coefficients de 𝑏 sont de signes opposés dans les deux équations et qu’on peut multiplier la seconde équation par deux pour obtenir des termes en 𝑏 de même valeur absolue mais de signes opposés, deux 𝑏 et moins deux 𝑏. En multipliant la seconde équation par deux, on obtient quatre égale 16𝑎 moins deux 𝑏. On peut maintenant additionner nos deux équations pour éliminer l’inconnue 𝑏. Cela nous donne 16 plus quatre égale quatre 𝑎 plus 16𝑎 et les termes en 𝑏 sont éliminés.
On peut maintenant simplifier et résoudre l’équation. L’équation se simplifie en 20 égale 20𝑎. On divise par 20 des deux côtés de l’équation et on obtient 𝑎 égale un. On peut maintenant déterminer la valeur de 𝑏 en remplaçant 𝑎 par un dans l’une ou l’autre des équations de notre système. En remplaçant 𝑎 par un dans la première équation, on obtient 16 égale quatre fois un plus deux 𝑏. On peut ensuite simplifier cette équation et la résoudre pour trouver 𝑏. On a 16 égale quatre plus deux 𝑏. On soustrait quatre des deux côtés de l’équation pour obtenir 12 égale deux 𝑏. Enfin, en divisant l’équation par deux, on trouve que 𝑏 est égal à six.
Il y a plusieurs façons de vérifier notre réponse. Tout d’abord, on peut observer que la parabole s’ouvre vers le haut. Cela signifie que la valeur de 𝑎 doit être positive. Ensuite, on peut remplacer 𝑎 et 𝑏 par nos valeurs dans la seconde équation pour s’assurer qu’elles la vérifient. On peut maintenant remplacer 𝑎 par un, 𝑏 par six et 𝑐 par moins 16 dans notre équation générale du second degré pour obtenir que l’équation du second degré représentée par le graphique est 𝑦 égale 𝑥 au carré plus six 𝑥 moins 16 sous forme développée.
