Vidéo de la leçon: Représenter graphiquement des fonctions du second degré Mathématiques • Troisième préparatoire

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Dans cette leçon, nous allons apprendre à représenter graphiquement une fonction du second degré à l’aide d’un tableau de valeurs et d’un intervalle donné, ainsi qu’à identifier les caractéristiques de la représentation graphique.

Maintenant, les équations du second degré sont utilisées dans la vie courante. Elles sont utilisées dans les domaines de la science, des affaires et de l’ingénierie. Par exemple, elles peuvent déterminer les trajectoires des objets en mouvement, des balles rebondissantes en passant par les trajectoires de projectiles. Les entreprises peuvent les utiliser pour prévoir leurs revenus et concevoir des emballages pour minimiser le gaspillage. Nous pouvons utiliser des équations du second degré pour identifier les valeurs minimales et maximales de nombreuses variables différentes telles que la vitesse, les coûts et l’aire. En particulier, nous pouvons utiliser les représentations graphiques des fonctions du second degré pour déterminer facilement des informations sur les valeurs maximales et minimales et sur le moment où les valeurs résultantes sont nulles.

Pour ce faire, commençons par nous rappeler ce que nous entendons par une fonction du second degré. Il s’agit d’une fonction polynôme du second degré à variable unique. En d’autres termes, une fonction du second degré a la forme 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 pour certaines constantes 𝑎, 𝑏 et 𝑐, où 𝑎 ne peut pas être égal à zéro. Alors, pour cette fonction du second degré 𝑓 de 𝑥, 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥 est une fonction du second degré.

Considérons maintenant les représentations graphiques de deux équations du second degré. Nous commencerons par regarder 𝑦 est égal à 𝑥 au carré plus quatre et une deuxième équation de second degré 𝑦 est égale à moins 𝑥 au carré plus neuf. Les représentations graphiques ressemblent un peu à ceci. Et nous pourrions remarquer qu’elles ont une forme très similaire. Cette forme est connue sous le nom de parabole. En fait, toutes les équations du second degré ont cette forme. Et le signe de la valeur constante 𝑎, le coefficient de 𝑥 au carré, nous dit si la parabole s’ouvre vers le haut ou vers le bas. En particulier, si le coefficient de 𝑥 au carré est positif, si 𝑎 est supérieur à zéro, la parabole s’ouvre vers le haut. Et si 𝑎 est inférieur à zéro, la parabole s’ouvre vers le bas.

Identifions quelques points utiles sur notre représentation graphique, d’abord le point d’intersection avec l’axe des 𝑦, les point sur chaque représentation graphique qui passe par l’axe des 𝑦. Dans ces cas, les points d’intersection avec l’axe des 𝑦 sont respectivement quatre et neuf. Mais bien sûr nous pouvons nous rappeler que nous pouvons trouver la valeur du point d’intersection avec l’axe des 𝑦 en posant 𝑥 égal à zéro et en le remplaçant dans chacune de nos équations. Mais voyons ce qui se passe si nous remplaçons 𝑥 égal à zéro dans la forme générale de notre fonction du second degré. Nous obtenons 𝑎 fois zéro au carré plus 𝑏 fois zéro plus 𝑐, ce qui est simplement 𝑐. Donc, en fait, la valeur du point d’intersection avec l’axe des 𝑦 d’une fonction du second degré sous cette forme est simplement 𝑐. Ou nous pouvons dire qu’il a pour coordonnées zéro, 𝑐.

De la même manière, nous pouvons en fait trouver les points d’intersection avec l’axe des 𝑥 s’ils existent en replaçant 𝑦 égal à zéro ou 𝑓 de 𝑥 égal à zéro et en résolvant pour trouver 𝑥. Démontrons cela dans notre premier exemple.

Identifiez les points d’intersection avec l’axe des 𝑥 de la fonction du second degré 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré moins un.

Et puis nous avons une représentation graphique de cette fonction indiquée. Maintenant, en fait, il y a deux façons de répondre à cette question alors. Nous pourrions simplement regarder les coordonnées des points où cette représentation graphique passe par l’axe des 𝑥. En fait, nous utiliserons cette technique pour vérifier notre réponse. Au lieu de cela, nous rappelons que les points d’intersection avec l’axe des 𝑥 aient lieu lorsque 𝑓 de 𝑥 ou 𝑦 est égal à zéro. Dans ce cas, nous devons donc poser l’expression 𝑥 au carré moins un égale à zéro et résoudre pour trouver 𝑥. Nous pourrions factoriser l’expression du membre gauche, ou nous pouvons simplement en ajouter un aux deux membres pour obtenir 𝑥 au carré égal à un. Et puis nous pouvons prendre la racine carrée des deux membres de cette équation, en nous rappelant qu’en fait nous devrons prendre à la fois la racine carrée positive et négative de un. Donc 𝑥 est égal à plus ou moins la racine carrée de un. Mais bien sûr, la racine carrée de un est simplement un. Donc 𝑥 est soit égal à un, soit moins un.

Nous pouvons désigner ceux-ci en utilisant des indices et travailler dans l’ordre croissant. Donc 𝑥 indice un est égal à moins un et 𝑥 indice deux est égal à un. Vérifions-les sur la représentation graphique. Nous commençons par identifier les points auxquels la représentation graphique passe par l’axe des 𝑥, comme indiqué. Ensuite, nous regardons l’échelle. En fait, nous observons que quatre petits carrés sont équivalents à deux unités. Ceci signifie que deux petits carrés doivent être égaux à une unité. Ces points sont donc bien moins un et un. Les points d’intersection avec l’axe des 𝑥 de la fonction du second degré donnée sont 𝑥 indice un est égal à moins un et 𝑥 indice deux est égal à un.

Maintenant, avant de continuer, examinons un peu plus cette représentation graphique. On remarque d’abord que le point où la courbe change de direction est en fait le point minimum. C’est le point de la courbe qui donne la plus petite valeur de sortie possible de la fonction. Nous voyons également que si nous traçons une droite verticale passant par ce point, passant par le point où la direction de la courbe change, cette droite est l’axe de symétrie. Et bien sûr ce point a un nom spécial. C’est ce qu’on appelle le sommet. Et le sommet est vraiment utile car il nous indique la valeur de sortie minimale ou maximale de la fonction en fonction du signe du coefficient de 𝑥 au carré. Et l’on peut noter que puisque les paraboles sont symétriques par rapport à la droite verticale passant par leur axe de symétrie, cette droite doit en fait se situer à mi-chemin entre les points d’intersection avec l’axe des 𝑥, si elles existent. En fait, elle se situera à mi-chemin entre toutes les valeurs comme indiqué sur la courbe représentative avec les mêmes valeurs de sortie.

Résumons toutes les propriétés des fonctions quadratiques et de leurs représentations graphiques. Rappelez-vous, pour la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, si 𝑎 est positif, la représentation graphique s’ouvre vers le haut et s’il est négatif, elle s’ouvre vers le bas. Le point d’intersection avec l’axe des 𝑦, qui pourrait être trouvé en fixant 𝑥 égal à zéro, est en fait simplement donnée par le point zéro, 𝑐. Et cela peut être zéro, un ou deux points d’intersection avec l’axe des 𝑥.

Maintenant, ces points d’intersection avec l’axe des 𝑥 peuvent être trouvées si elles existent en résolvant l’équation 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro. L’unique point de la fonction où la courbe change de direction est appelé son sommet, et ce sera soit un maximum soit un minimum. Et bien sûr ces paraboles sont symétriques par rapport à la droite verticale passant par leur sommet. Nous avons également vu que l’axe de symétrie se situe à mi-chemin entre les points d’intersection avec l’axe des 𝑥, s’ils existent.

Dans notre prochain exemple, nous allons identifier l’axe de symétrie pour une courbe représentative de second degré donnée.

Identifiez l’axe de symétrie de la fonction de second degré 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré moins un.

Rappelez-vous, lorsque nous parlons de l’axe de symétrie d’une courbe représentative du second degré, nous parlons de la droite verticale qui passe par son sommet ou son point où la courbe change de direction. Maintenant, bien que nous puissions utiliser la représentation graphique pour le faire, nous allons utiliser un fait supplémentaire ici. C’est-à-dire, l’axe de symétrie se situera en fait exactement à mi-chemin entre les points d’intersection de l’axe des 𝑥 de la courbe représentative. En fait, il se situera à mi-chemin entre toutes les valeurs qui ont la même valeur de sortie.

Mettons 𝑓 de 𝑥 égal à zéro afin de trouver la valeur des points d’intersection avec l’axe des 𝑥 puis vérifions cela en regardant la courbe représentative. Lorsque nous le faisons, nous obtenons 𝑥 au carré moins un est égal à zéro. Nous ajoutons un aux deux membres, puis nous prenons la racine carrée positive et négative de un. Donc 𝑥 est racine un ou moins racine un, et les deux points d’intersection avec l’axe des 𝑥 sont moins un et un. Et nous pouvons voir qu’ils correspondent effectivement aux valeurs de notre courbe représentative.

Nous avons dit que l’axe de symétrie se situerait en fait exactement à mi-chemin entre ces deux valeurs. Et bien sûr, nous trouvons leur milieu en trouvant leur valeur moyenne. Nous les additionnons et divisons par deux. C’est moins un plus un, ce qui est zéro, divisé par deux, ce qui est toujours zéro. Et donc l’axe de symétrie passera par le point 𝑥 est égal à zéro, et c’est une droite verticale. Par conséquent, l’axe de symétrie a l’équation 𝑥 égale à zéro.

En observant la courbe représentative, ceci semble en effet probable. Mais vérifions en choisissant des valeurs de 𝑥 qui ont la même valeur de sortie. Le point exactement à mi-chemin entre moins quatre et quatre est zéro, ce qui nous confirme que l’axe de symétrie de notre fonction de second degré est 𝑥 est égal à zéro.

Jusqu’à présent, nous avons utilisé des représentations graphiques et leurs équations pour identifier diverses caractéristiques. Dans notre prochain exemple, nous montrerons comment nous pouvons réellement utiliser un tableau de valeurs pour nous aider à tracer la courbe représentative d’une fonction de second degré.

Laquelle des représentations graphiques suivantes représente l’équation 𝑓 de 𝑥 est égal à moins deux 𝑥 au carré plus neuf 𝑥 moins sept ?

Nous pouvons répondre à cette question de deux manières. Mais la première chose que nous allons faire est d’établir si la représentation graphique de notre fonction s’ouvre vers le haut ou vers le bas. Premièrement, nous savons que si nous avons l’équation 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 et que la valeur de 𝑎 est positive, la représentation graphique s’ouvre vers le haut. S’il est négatif, elle s’ouvre vers le bas.

Maintenant, pour notre fonction, la valeur de 𝑎 est moins deux. C’est donc négatif. Cela signifie que la fonction s’ouvre vers le bas. Et on peut donc faire abstraction des fonctions qui s’ouvrent vers le haut. C’est la fonction représentée par la représentation graphique (B) et celle représentée par la représentation graphique (E).

Maintenant que nous avons fait cela, nous allons tracer un tableau de valeurs pour identifier les points par lesquels passe cette représentation graphique. Nous devrons le faire pour une variété de valeurs de 𝑥. Commençons par 𝑥 est égal à zéro. C’est 𝑓 de zéro est égal à moins deux fois zéro au carré plus neuf fois zéro moins sept. Et c’est moins sept. Ainsi, lorsque 𝑥 est égal à zéro, la valeur de la fonction est moins sept. Et cela signifie en fait que le point d’intersection avec l’axe des de notre fonction est moins sept.

Mais bien sûr l’autre technique que nous aurions pu utiliser est d’identifier cela pour la fonction 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, le point d’intersection avec l’axe des 𝑦 a pour coordonnées zéro, 𝑐. L’une ou l’autre technique ici, remplaçant ou identifiant la caractéristique de la représentation graphique, est également acceptable.

Nous allons maintenant choisir des valeurs positives et négatives des 𝑥 pour satisfaire chacune des représentations graphiques qui nous ont été données. Tout d’abord, remplaçons 𝑥 égal à moins trois dans la fonction. Nous obtenons moins deux fois moins trois au carré plus neuf fois moins trois moins sept. C’est moins 52. De même, remplaçons 𝑥 égale moins deux. Lorsque nous le faisons, nous trouvons que 𝑓 de moins deux est moins 33. Et cela signifie que notre représentation graphique doit passer par le point moins deux, moins 33. En remplaçant les valeurs restantes, nous voyons que 𝑓 de moins un est moins 18, 𝑓 de un est zéro, 𝑓 de deux est trois et 𝑓 de trois est deux. En mettant les valeurs que nous avons sur nos représentations graphiques, nous voyons que nous ignorons complètement l’option (C). Nous remarquons que c’est le côté faux de l’axe des 𝑦. Et en fait la représentation graphique qui passe par ces points est la représentation graphique (A).

Maintenant, en fait, il y avait une méthode alternative ici. Nous avons commencé par identifier la forme de la représentation graphique. Nous avons vu qu’elle s’ouvrait vers le bas. Et nous avons trouvé la valeur de son point d’intersection avec l’axe des 𝑦. Nous aurions également pu définir 𝑓 de 𝑥 égal à zéro pour trouver les valeurs des points d’intersection avec l’axe des 𝑥. Cela nous aurait donné 𝑥 égal à un et 𝑥 égal à 3,5, ce qui correspond encore une fois à la fonction (A). Ainsi, la représentation graphique qui représente l’équation donnée est la représentation graphique (A).

Terminons en récapitulant certains des points clés de cette leçon. Dans cette leçon, nous avons appris qu’une fonction de second degré est de la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, où 𝑎 n’est pas égal à zéro. Nous avons appris que toutes les fonctions de second degré ont la forme d’une parabole, et qu’elles s’ouvrent vers le haut lorsque 𝑎 est positif et vers le bas lorsque 𝑎 est négatif. Et nous avons appris que même si nous pouvions supposer 𝑥 égal à zéro pour trouver la valeur du point d’intersection avec l’axe des 𝑦 de l’équation 𝑦 égale à 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, le point d’intersection avec l’axe des 𝑦 a en fait pour coordonnées zéro, 𝑐.

Nous avons appris que la valeur des points d’intersection avec l’axe des 𝑥, s’ils existent, peut être trouvée en résolvant 𝑓 de 𝑥 égal à zéro. Nous avons également appris que les représentations graphiques des fonctions de second degré ont un seul point appelé le sommet, et le signe nous dit si ce sera un maximum ou un minimum. Ce sommet se trouve à mi-chemin entre les points d’intersection avec l’axe des 𝑥. Et bien sûr les fonctions de second degré sont symétriques par rapport à la droite verticale qui passe par ce sommet, que nous appelons l’axe de symétrie.