Fiche explicative de la leçon: Représenter graphiquement des fonctions du second degré Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à représenter graphiquement une fonction du second degré à l’aide d’un tableau de valeurs et d’un intervalle donné, ainsi qu’à identifier les caractéristiques du graphique.

Les équations du second degré sont utilisées dans la vie quotidienne, dans les sciences, les affaires et l’ingénierie. Elles peuvent déterminer les trajectoires des objets en mouvement, des balles rebondissantes en passant par les trajectoires de projectiles. Les entreprises peuvent les utiliser pour prévoir leurs revenus et concevoir des emballages pour minimiser le gaspillage. Nous pouvons utiliser des équations du second degré pour identifier les valeurs minimales et maximales de nombreuses variables différentes telles que la vitesse, les coûts et l’aire. Cela signifie que nous pouvons utiliser des équations du second degré pour analyser ces scénarios. En particulier, nous pouvons utiliser les graphiques des fonctions du second degré pour déterminer facilement des informations sur les valeurs maximales et minimales et sur le moment où les valeurs résultantes sont nulles.

Pour ce faire, commençons par rappeler ce que nous entendons par une fonction du second degré : il s’agit d’une fonction polynomiale du deuxième degré à variable unique. Cela signifie que les fonctions du second degré ont la forme , pour certaines constantes et avec non nul. Une équation du second degré est une équation sous la forme avec une fonction du second degré.

On comprend mieux les équations du second degré en regardant leurs courbes. Par exemple, regardons les graphiques des deux équations du second degré et .

Notons que ces graphiques ont une forme très similaire, connue sous le nom de parabole. En fait, toutes les équations du second degré ont cette forme et le signe de la constante nous indique si la parabole s’ouvre vers le haut ou le bas. Si , alors la parabole s’ouvre vers le haut, et si , la parabole s’ouvre vers le bas. Nous pouvons le voir sur les deux graphiques donnés ; le premier affiche un coefficient directeur positif et sa courbe s’ouvre vers le haut, tandis que le seconde affiche un coefficient directeur négatif et sa courbe s’ouvre vers le bas.

Il y a aussi de nombreux points utiles que nous pouvons identifier pour nous aider à déterminer et à transmettre des informations sur les graphiques.

Premièrement, nous rappelons que l’intersection d'un graphique avec l’axe des sera le point sur le graphique où , où la courbe coupe . Dans le premier graphique, il s’agit de , et dans le second, c’est . Cela nous indique les résultats de l’équation du second degré pour . Il est à noter que nous pouvons trouver l'intersection avec l’axe des de la courbe de la fonction pour . Nous avons . Donc, l’intersection avec l’axe des est .

Deuxièmement, les intersections de la courbe avec l’axe des sont les points sur le graphique avec , là où la courbe coupe . On peut voir que la première courbe ne coupe pas l’axe des et la seconde coupe l’axe en deux points et . Les abscisses pour ces points nous indiquent les valeurs pour lesquelles la fonction donne 0.

Il est à noter que puisque les ordonnées pour les intersections avec l’axe des sont égales à 0, on ne parle souvent que des abscisses de ces points. Par exemple, on pourrait dire que l'intersection avec l’axe des pour le deuxième graphique est en et 3. De la même manière, on pourrait dire que l'intersection avec l’axe des de la deuxième courbe est en 9.

Dans notre premier exemple, nous allons déterminer l'intersection avec l’axe des pour une courbe du second degré à partir de son graphique.

Exemple 1: Identifier les abscisses des intersections avec l’axe des 𝑥 d’une équation du second degré à partir de son graphique

Identifiez l’intersection avec l’axe des pour la fonction du second degré .

Réponse

On rappelle que les intersections d’un graphique avec l’axe des sont les coordonnées des points où la courbe coupe . En d’autres termes, ce sont les points sur la courbe avec les ordonnées égales à 0. Nous pouvons voir qu’il y a deux tels points et nous pouvons les marquer sur notre diagramme.

Par conséquent, l’intersection avec l’axe des est et .

Nous pouvons voir que des points tels que les intersections avec les axes des et des peuvent nous aider à déterminer les caractéristiques du graphique d’une fonction du second degré. Une façon de tracer un graphique d’une fonction du second degré consiste à utiliser un tableau de valeurs. Par exemple, disons que nous voulons tracer , avec . Nous construisons un tableau des valeurs de et nous calculons les résultats correspondants de .

On peut calculer en remplaçant dans la fonction comme suit (et souvenez-vous d’être prudents lors de la mise au carré des nombres négatifs) : 

Nous suivons le même processus pour tous les entiers dans l’intervalle donné pour obtenir le tableau suivant.

Chaque colonne du tableau nous donne les coordonnées d’un point sur le graphique de . Nous pouvons tracer ces points sur un repère, puis réaliser une parabole avec les points afin de tracer la courbe .

Une propriété intéressante que nous pouvons remarquer sur ce graphique est que la courbe est symétrique par rapport à . Nous pouvons également voir cela en notant que les résultats dans le tableau sont symétriques par rapport à . Chaque parabole a une symétrie verticale (appelée axe de symétrie) ; cependant, ce n’est pas toujours la droite .

Pour donner un exemple, regardons le graphique suivant . Nous pouvons étiqueter l’intersection avec l’axe des , l’intersection avec l’axe des et l’axe de symétrie comme indiqué.

Dans ce cas, la parabole est symétrique par rapport à la droite . On voit que cette symétrie passe par le point où la parabole change de direction. Ce point est appelé le sommet, et il nous dira les valeurs maximales ou minimales de la fonction en fonction du signe de . On peut noter que, comme les paraboles sont symétriques par rapport à une droite verticale, cette droite doit se situer à mi-chemin entre l’intersection avec l’axe des (si la parabole coupe l’axe des ). En fait, elle se situera à mi-chemin entre n’importe quels valeurs de ayant les mêmes résultats.

Nous pouvons résumer toutes ces propriétés des fonctions du second degré et leurs graphiques comme suit.

Dans notre prochain exemple, nous identifierons l’axe de symétrie pour une courbe d’une fonction du second degré donnée.

Exemple 2: Identifier l’axe de symétrie d’une fonction du second degré donnée

Identifier l’axe de symétrie de la fonction du second degré .

Réponse

On commence par rappeler que l’axe de symétrie de toutes les courbes du second degré est la droite passant par le sommet. Nous rappelons également que le sommet d’un courbe du second degré est souvent appelé le point où la courbe change de direction.

Nous pouvons trouver les coordonnées de ce point à partir du graphique donné ou en rappelant que l’axe de symétrie sera situé à mi-chemin entre les points où la courbe coupe l’axe des .

On voit sur le diagramme que les points où la courbe coupe l’axe des sont et 1. Le point à mi-chemin de ces valeurs est

Par conséquent, l’axe de symétrie est la droite . On peut aussi noter que le sommet est le point d’intersection entre la courbe et l’axe de symétrie, qui a pour coordonnées .

Plus tôt, nous avons montré comment nous pouvons utiliser un tableau de valeurs (tableau des fonctions) pour nous aider à dessiner le graphique d’une courbe du second degré symétrique par rapport à . On peut, en fait, utiliser une méthode similaire pour toute fonction du second degré. En particulier, nous voulons trouver les coordonnées de son sommet et toute intersection (si possible).

Par exemple, si nous voulons dessiner le graphique de , nous pourrions évaluer la fonction sur un ensemble de valeurs de pour déterminer les coordonnées des points sur la courbe. Essayons les entiers de à 2.

On voit que

Nous pouvons évaluer le reste des entiers de la même manière pour obtenir le tableau suivant.

Nous voulons tracer le graphique en utilisant ce tableau, et pour ce faire, nous voulons trouver les coordonnées du sommet du graphique. En regardant le tableau, nous pouvons voir qu’il y a une valeur répétée de  : 

Cela signifie que le sommet se situe à mi-chemin entre ces points sur la droite .

On peut trouver les coordonnées du sommet en évaluant à . Nous avons

Ainsi, les coordonnées du sommet sont .

Nous pouvons ensuite tracer ces cinq points sur le plan de coordonnées et relier les points avec une parabole. On obtient le dessin suivant.

Voyons maintenant quelques exemples de courbes du second degré en utilisant un tableau de valeurs.

Exemple 3: Tracé d’une courbe du second degré et recherche de ses intersections et du sommet

1. En complétant le tableau des valeurs pour , identifiez le graphique correct de la fonction du second degré sur le domaine .

   					0

2. 

   

   

   Identifiez les points d’intersection avec l’axe des de la fonction du second degré donnée.
3. Identifiez les points d’intersection avec l’axe des de la fonction du second degré donnée.
4. Identifiez l’axe de symétrie de la fonction quadratique donnée.
5. Identifiez le sommet de la fonction du second degré donnée.

Réponse

Partie 1

On commence par compléter le tableau des valeurs. Pour ce faire, nous devons évaluer la fonction pour les valeurs données de  ; nous avons

On peut alors compléter le tableau des valeurs.

					0
	0				0

Chaque colonne nous donne alors les coordonnées et d’un point qui se trouve sur le graphique. Nous pouvons voir que et que , l’axe de symétrie sera donc entre ces valeurs .

Nous pouvons tracer ces points sur le plan de coordonnées et les relier avec une forme parabolique pour tracer la courbe ; notons que le domaine de la fonction est donc on ne trace pas le graphique de la fonction pour les valeurs de en dehors de cet intervalle.

Voici le graphique donné dans l’option E.

Partie 2

Il y a deux méthodes que nous pouvons utiliser pour déterminer quand la courbe coupe l’axe des . Premièrement, on peut voir les points quand la courbe coupe l’axe des sur le graphique, ce sont et . Deuxièmement, on peut utiliser le tableau pour voir que et .

En utilisant l’une ou l’autre méthode, on peut voir que les points qui coupent l’axe des sont et .

Partie 3

On peut voir sur le graphique que le point quand la courbe coupe l’axe des est aussi . On peut également rappeler que le point quand la courbe coupe l’axe est .

Dans les deux cas, le point quand la courbe coupe l’axe des est .

Partie 4

On rappelle que l’axe de symétrie est un axe de symétrie vertical pour la parabole. Nous pouvons identifier l’axe de symétrie à partir du graphique.

La parabole est symétrique par rapport à la droite . Il convient également de noter que nous pouvons voir cela dans le tableau.

On voit que et  ; ils ont la même valeur, donc l’axe de symétrie doit être au milieu. Comme , l’axe de symétrie est .

Nous aurions aussi pu utiliser le fait que la droite de symétrie sera à mi-chemin entre les points qui coupent l’axe des  : 

L’axe de symétrie est donc la droite

Partie 5

Le sommet de la parabole est le point où la courbe change de direction. Nous pouvons le voir sur le graphique ou, nous pouvons aussi utiliser le fait que le sommet se situe sur l’axe de symétrie.

On voit que le sommet a les coordonnées .

Dans nos deux derniers exemples, nous identifierons la réalisation correcte d’une courbe du second degré en construisant un tableau de valeurs.

Exemple 4: Identifier le graphique d’une courbe du second degré

Lequel des graphiques suivants représente l’équation tracé pour  ? 

Réponse

On peut tracer la courbe d’une équation du second degré en rappelant que les coordonnées de tout point sur la courbe d’une fonction ont la forme . Cela signifie que nous pouvons tracer le graphique d’une fonction en évaluant la fonction pour différentes valeurs. Nous le faisons en complétant un tableau.

On dit que et nous avons

Ceci donne le tableau suivant.

	0	1	2	3	4	5

On peut noter que . Ainsi, l’axe de symétrie de la courbe sera à mi-chemin entre les valeurs à 2,5.

L’axe de symétrie de la parabole est donc . On peut déterminer les coordonnées du sommet en utilisant dans la fonction pour obtenir

Le sommet de la parabole est donc .

Nous pouvons maintenant tracer une parabole reliant ces points ; il est important de noter que nous traçons notre fonction pour avoir les valeurs comprises entre 0 et 5. Cela nous donne ce qui suit.

Voici le graphique donné dans l’option C.

Il est à noter que nous pouvons vérifier notre réponse (ou éliminer les autres options) en utilisant les propriétés des graphiques du second degré. Par exemple, nous voyons que le coefficient directeur de la fonction du second degré donné est 1. Comme il est positif, nous savons que la parabole doit s’ouvrir vers le haut.

Voyons un autre exemple d’identification du graphique correct d’une fonction du second degré.

Exemple 5: Identifier le graphique d’une courbe du second degré

Lequel des graphiques suivants représente l’équation tracée pour  ? 

Réponse

Il y a plusieurs façons différentes de répondre à cette question. Par exemple, nous pourrions éliminer des options en utilisant les propriétés des courbes du second degré et l’équation donnée. Ici, nous allons tracer un graphique de la fonction du second degré, puis nous déterminerons quelle option correspond à notre tracé.

Pour ce faire, nous rappelons que les coordonnées de tout point sur le graphique d’une fonction ont la forme . Cela signifie que nous pouvons tracer le graphique d’une fonction en évaluant la fonction pour différentes valeurs. Nous le faisons en complétant un tableau. On dit que et nous avons

Ceci donne le tableau suivant.

	0	1	2	3	4
		0	2	0

On peut noter que les résultats de la fonction sont symétriques par rapport à , le sommet de la parabole est donc .

On peut alors tracer une parabole reliant ces cinq points, et il est important de noter que nous traçons notre fonction pour avoir des valeurs de comprises entre 0 et 4. Cela nous donne ce qui suit.

Voici le graphique donné dans l’option A.

Notons que nous pouvons vérifier notre réponse (ou éliminer les autres options) en utilisant les propriétés des graphiques des fonctions du second degré. Par exemple, on voit que le coefficient directeur du second degré est . Comme il est négatif, on sait que la parabole doit s’ouvrir vers le bas.

Terminons en récapitulant certains points importants de cette fiche explicative.